Tối đa?

36

mà còn để “đảo ngược” - để đặt trước ước tính này hoặc ước tính khác cho (một hoặc nhiều) góc $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \dots, \alpha^{(N)}$ hoặc $\phi^{(1)}, \phi^{(2)}, \dots, \phi^{(N)}$ và đặt câu hỏi về số lượng $n$ điểm của mặt phẳng hoặc không gian mà những ước tính này có thể được thỏa mãn. Ở đây chúng tôi sẽ giới hạn ở đây chỉ có hai ví dụ về sản phẩm như vậy bài toán, dường như thuộc về cùng một Pal Erdős.

Bài toán 15. Ở $n$ điểm bao nhiêu
a) trên máy bay,
b) trong không gian
liệu chúng có thể được sắp xếp sao cho tất cả những điểm cười được hình thành này không quá $90^\circ$ không?
Bài toán 16. Ở $n$ điểm bao nhiêu
a) trên máy bay,
b) trong không gian
liệu chúng có thể được sắp xếp sao cho tất cả những điểm cười được hình thành này không quá $90^\circ$ không?
Như vậy, trong bài toán 15 cần sắp xếp các điểm sao cho tất cả các góc $\alpha^{(i)}$ hoặc $\phi^{(i)}$ đều không lớn hơn $90^\circ$; trong bài toán 16, bất đẳng thức không nghiêm ngặt được thay thế bằng bất đẳng thức nghiêm ngặt. P. Erdős chỉ ra bài toán 15a và 16a đơn giản và đưa ra gợi ý về đáp án cho các bài toán 156 và 166. Bài toán 156 được giải lần đầu tiên vào năm 1962 bởi các nhà toán học nổi tiếng L. Danzer và B. Grionbaum; Sau đó, lời giải tương tự đã được tìm thấy bởi sinh viên MSU, thành viên ban giám khảo của Olympic Toán học toàn Liên minh Grisha Galperin. Bài toán 166 được giải lần đầu tiên vào năm 1961 bởi nhà toán học người Anh G. Croft; vào năm 1963, những cái đơn giản hơn một chút lời giải đã được tìm ra bởi B. Grionbaum và nhà toán học người Đức K. Schütte.

Tối đa?

Đôi khi, điều thú vị không chỉ là giải được bài toán chưa được giải mà còn tìm ra lời giải tốt nhất của một câu dường như đã được giải. Đây là một bài toán:

Chúng ta hãy lấy các số từ 1 đến 9 và chia chúng thành bốn nhóm: nhóm thứ nhất có ba số và nhóm còn lại có hai số. Sau khi cố định thứ tự của các số trong các nhóm này, chúng ta nhận được bốn số. Một biến số cho một trong hai giá trị và hai số có hai chữ số còn lại ở giữa nhau. Ví dụ:

158 79
23 46
474 474
316 316
3634 3634

Trong cả hai trường hợp, tích đều bằng 3634.

Vì vậy, bạn cần phân phối 9 chữ số giống nhau theo cùng một sơ đồ (với các tích bằng nhau), nhưng lấy tích lớn nhất có thể là 584 × 12 = 96 × 73 = 7008.

Kết quả này tồn tại cho đến năm 1971, khi kỷ lục mới lời giải về bài toán này được tìm thấy ở Nhật Bản. Rõ ràng đây sẽ là lần cuối cùng, mặc dù điều này vẫn chưa được chứng minh. Hãy thử tìm xem tích số cuối cùng này bằng bao nhiêu hoặc tăng nó lên.

V.B.