Vùng lân cận của một hình

43

Vùng lân cận của một hình
Yu. I. Ionin,
L. D. Kurlyandchik

Chúng ta hãy phân tích hai hình học bài toán.

Bài toán 1. 120 ô vuông đơn vị được xếp thành hình chữ nhật 20 × 25. Chứng minh rằng một hình tròn có bán kính $1/2$ có thể đặt trong một hình chữ nhật và không cắt bất kỳ hình vuông nào.

Chúng ta hãy tìm xem có thể đặt tâm của một hình tròn có bán kính $1/2$ ở đâu mà không giao nhau với hình vuông đơn vị đã cho. Quỹ tích hình học của các điểm cách hình vuông không quá $1/2$ là hình vẽ trên Hình 1 (khoảng cách từ một điểm đến một hình là khoảng cách đến điểm gần nhất của hình này). Do đó, tâm của hình tròn có bán kính $1/2$, không giao nhau với hình vuông, nằm ngoài khoảng cách được mô tả đến điểm gần nhất của hình này). Do đó, tâm của hình tròn có bán kính $1/2$, không giao nhau với hình vuông, nằm ngoài khoảng cách được mô tả đến điểm gần nhất của hình này). Chúng ta hãy xây dựng một vùng lân cận $\frac{1}{2}$ cho mỗi ô vuông trong số 120 ô vuông đơn vị đã cho. Tâm của vòng tròn mong muốn phải nằm bên ngoài các vùng lân cận này. Ngoài ra, để hình tròn nằm bên trong hình chữ nhật, tâm của nó phải thuộc hình chữ nhật nhỏ hơn $19 \times 24$, điều này sẽ đạt được nếu một số cạnh của hình chữ nhật ban đầu được dịch chuyển vào bên trong $\frac{1}{2}$.

Bài toán sẽ được giải quyết nếu rõ ràng rằng 120 vùng lân cận được xây dựng không che phủ hoàn toàn hình chữ nhật nhỏ hơn.

Hãy ước tính diện tích và bao phủ nó bằng những môi trường xung quanh. Mỗi vùng lân cận bao gồm một hình vuông có trạng thái 1, bốn hình chữ nhật $1 \times \frac{1}{2}$ và bốn hình tròn có bán kính $\frac{1}{2}$. Do đó, diện tích của một vùng lân cận là $1 + 4 \cdot \frac{1}{2} + \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 + \frac{\pi}{4}$. Tất cả 120 vùng lân cận có diện tích không lớn hơn (các vùng lân cận có thể chồng lên nhau) $120 \cdot \left(3 + \frac{\pi}{4}\right) = 360 + 30\pi$.

Đồng thời, diện tích của hình chữ nhật $19 \times 24$ bằng 456. Vẫn cần lưu ý rằng $360 + 30\pi < 456$, vì $\pi < 3.2$.

Bài toán 2. Một hình phẳng có diện tích 1 được bao phủ bởi một số hữu hạn các đường tròn. Chứng minh rằng từ các đường tròn này người ta có thể chọn một hoặc nhiều đường tròn rời nhau theo từng cặp có diện tích ít nhất là $\frac{1}{9}$.

Hãy chọn vòng tròn lớn nhất trong số các vòng tròn này và biểu thị nó bằng $R_1$

44

Cơm. 2.

bán kính của nó. Nếu diện tích hình tròn này không nhỏ hơn $\frac{1}{9}$, bài toán lời giải. Giả sử rằng $\pi R_1^2 < \frac{1}{9}$. Vì bán kính của các vòng tròn còn lại không lớn hơn $R_1$, nên tâm của những đường tròn giao nhau với vòng tròn đã chọn nằm trong vùng lân cận $R_1$ của vòng tròn này. Bản thân các vòng tròn nằm trong vùng lân cận $2R_1$ của vòng tròn đã chọn (Hình 2). Vì diện tích của vùng lân cận $2R_1$ này, bằng $9\pi R_1^2$, nhỏ hơn 1, nên có các vòng tròn không giao nhau với vòng tròn được chọn từ các vòng tròn đó. Nếu $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 \geq \frac{1}{9}$, bài toán lời giải. Do đó, nếu $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 < \frac{1}{9}$ thì $9\pi R_1^2 + 9\pi R_2^2 < 1$ có một đường tròn có tâm nằm ngoài vùng lân cận $R_1$ của đường tròn thứ nhất và nằm ngoài vùng lân cận $R_2$ của đường tròn thứ hai và do đó không giao nhau với các đường tròn này. Chúng ta hãy biểu thị bằng $R_3$ bán kính của đường tròn lớn nhất không giao nhau với một trong hai đường tròn đã chọn. Nếu $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 + \pi R_3^2 \geq \frac{1}{9}$, bài toán lời giải, nếu không thì chúng ta lặp lại lý luận. Do đó, mỗi lần chúng ta tìm thấy một số vòng tròn rời rạc theo cặp, tổng của chúng không nhỏ hơn $\frac{1}{9}$ hoặc chúng ta tìm thấy một vòng tròn khác không giao nhau với bất kỳ vòng tròn nào được tìm thấy. Điều thứ hai cuối cùng sẽ trở nên không thể thực hiện được vì có số lượng vòng tròn hữu hạn.

Trong cả hai bài toán được phân tích, khái niệm lân cận của một hình hóa ra lại hữu ích.

Định nghĩa 1. Cho $\varepsilon$ là một số dương. Lân cận $\varepsilon$ của hình phẳng $F$ được gọi là tập hợp tất cả các phần chìm của mặt phẳng, khoảng cách $*$ từ đó đến hình $F$ không vượt quá $\varepsilon$.

Chúng ta có thể mô tả vùng lân cận $\varepsilon$ của một hình phẳng hơi khác một chút.

Định nghĩa 2. Chúng ta dựng các đường tròn có bán kính $\varepsilon$ với tâm tại mỗi điểm của hình $F$. Tập hợp các bồn rửa của tất cả các vòng tròn này là lân cận $\varepsilon$ của hình $F$.

Khái niệm $\varepsilon$-lân cận cũng có thể được áp dụng cho một vật thể trong không gian. Chỉ cần xét cùng với các đường tròn, các quả cầu có bán kính $\varepsilon$ có tâm tại các điểm của vật thể.

Chúng ta hãy tìm hiểu lân cận $\varepsilon$ của một đa giác lồi là gì. Dễ hiểu là nó bao gồm chính đa giác, các hình chữ nhật có chiều cao $\varepsilon$, được xây dựng trên các cạnh của nó giống như các đáy và nằm bên ngoài đa giác, và các cung tròn có bán kính $\varepsilon$ với tâm ở các đỉnh của đa giác (Hình 3). giây góc trung tâm

*) Điểm $O$ được cho là nằm cách hình $F$ một khoảng nếu mọi đường tròn có tâm $O$ và bán kính nhỏ hơn $\varepsilon$ không giao nhau với hình $F$ và mọi đường tròn có bán kính nhỏ hơn $\varepsilon$ thì không cắt.

45

Cơm. 4.

hình xuyến ở mỗi đỉnh của đa giác bù với góc trong của đa giác ở đỉnh này lên tới 180°. Do đó, tổng của tất cả các góc ở tâm bằng 180° $n$ - 180° ($n$ - 2) = 360°, ($n$ là số cạnh của đa giác, 180° ($n$ - 2) là tổng các góc trong của đa giác). Điều này có nghĩa là bằng cách sắp xếp các phần không chồng lên nhau và căn chỉnh tâm của chúng, chúng ta sẽ có được một vòng tròn có bán kính $e$. Bây giờ thật dễ dàng để tính diện tích vùng lân cận $\varepsilon$ của một đa giác lồi. Nó bằng $S + P\varepsilon + \pi e^2$, trong đó $S$ là diện tích của đa giác, $a$ là chu vi của đa giác.

Hãy xem xét một bài toán khác, có thể dễ dàng giải được nếu chúng ta sử dụng các vùng lân cận rõ ràng của hình.

Bài toán 3. Điểm $A, B, C, D$ nằm trong không gian tối đa sao cho độ dài của các đoạn $AC$ và $BD$ không vượt quá 1. Chứng minh rằng với mỗi điểm $M$ của đoạn $AB$ người ta có thể tìm được điểm cực đại $N$ của đoạn $CD$, rằng độ dài của đoạn đó $MN$ sẽ không vượt quá 1.

Mệnh đề cần chứng minh có thể được phát biểu như sau:

Mỗi điểm của đoạn $AB$ cách đoạn $CD$ không quá 1, tức là nó thuộc lân cận 1 của đoạn $CD$. Vùng lân cận này bao gồm một hình trụ tròn bên phải có bán kính 1, trục của nó là đoạn $CD$ và hai bán cầu có bán kính 1, trục của nó là đoạn $CD$ và hai bán cầu có bán kính 1 với tâm tại các điểm $C$ và $D$, các đáy của chúng là đáy của hình trụ và nằm bên ngoài hình trụ (Hình 4). Từ điều kiện bài toán suy ra các điểm $A$ và $B$ thuộc lân cận 1 của đoạn $CD$ và vì lân cận này là lồi nên nó chứa toàn bộ đoạn $AB$, đây là điều cần phải chứng minh.

Bài tập

1. Các cạnh của chu vi đa giác lồi $P$ được di chuyển song song với chúng ra ngoài một khoảng bằng 1 và tiếp tục cho đến khi chúng cắt nhau. Chứng minh rằng diện tích của đa giác sẽ tăng hơn $P + \pi$.

2. Tìm thể tích của vùng lân cận $\varepsilon$ của khối đơn vị.

3. Trong hình bình hành $5 \times 10 \times 25$ có 120 khối lập phương đơn vị được sắp xếp tùy ý. Chứng minh rằng có thể đặt một quả cầu có bán kính $1/2$ trong một hình bình hành không có điểm chung với bất kỳ hình lập phương nào.

4. Có một số hình tam giác đều trên mặt phẳng bao phủ diện tích 1. Chứng minh rằng từ chúng người ta có thể chọn một hoặc nhiều hình tam giác rời nhau theo từng cặp có tổng diện tích ít nhất là $1/16$.

5. 100 đa giác lồi được ném thành một hình vuông có cạnh 38 cm, diện tích mỗi hình không vượt quá $cm^2$; và chu vi là 2π cm. Chứng minh rằng một hình tròn có bán kính 1 có thể đặt trong một hình vuông và không cắt bất kỳ đa giác nào.

6. Chứng minh rằng một hình tròn có bán kính $\frac{S}{P}$ có ​​thể đặt trong một đa giác lồi có diện tích $S$ và permet $P$.

7. Trong hình vuông có cạnh 1 có 6 đoạn dài $1/2$. Chứng minh rằng trên hai đoạn thẳng nào đó anh ta sẽ tìm thấy các điểm $M$ và $N$, giữa chúng có ít hơn $1/4$.