Làm thế nào các nhà vật lý xác định độ cong của parabol

21

M.A.GRABOVSKY

CÁCH NHÀ VẬT LÝ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CONG CỦA PARABOLA

Chúng ta hãy xem xét chuyển động dưới tác dụng của trọng lực của một vật thể (điểm vật chất có khối lượng $m$), vật này tại thời điểm ban đầu được truyền một tốc độ nằm ngang bằng $v_0$. Hãy chọn một hệ thống báo cáo liên kết với Trái đất. Đối với hệ thống báo cáo này, cơ thể tham gia vào hai chuyển động - ngang (dọc theo trục $x$) và dọc (dọc theo trục $y$). Phương trình chuyển động của vật theo phương ngang

$$x = v_0 t,$$
(1)

theo chiều dọc -

$$y = \frac{gt^2}{2}.$$

Tổng chuyển động của cơ thể xảy ra dọc theo một đường cong, dễ xác định bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa tọa độ $x$ và $y$ của các điểm khác nhau trên quỹ đạo của cơ thể. Để làm điều này, từ phương trình (1) và (2), chúng ta biểu thị $y$ đến $x$. chúng tôi nhận được

$$y = \frac{gt^2}{2} = \frac{gx^2}{2v_0^2}.$$

Phương trình (3) biểu thị mối quan hệ giữa tọa độ $x$ và $y$ của tất cả các điểm trên quỹ đạo cong được mô tả bởi vật ném.

Người ta biết rằng một hòn đá ném ngang từ nóc một tòa nhà cao tầng hoặc một khối lượng lớn sẽ chuyển động theo một đường cong gọi là parabol. Quỹ đạo của hòn đá khi bay bị cong, lệch khỏi chuyển động thẳng theo phương ngang. Mức độ cong có thể lớn hơn hoặc ít hơn tùy thuộc vào tốc độ ban đầu. Có thể bằng cách nào đó ước tính mức độ cong của quỹ đạo? Để làm điều này, hãy sử dụng độ cong dễ hiểu của đường cong.

22

Độ cong của đường cong Linney phẳng là gì?

Chúng ta hãy xem xét câu hỏi này bằng cách sử dụng ví dụ về một parabol được mô tả bởi một vật thể, chủ yếu nằm ngang từ một độ cao nhất định với tốc độ ngang ban đầu $v_0$ (xem bản vẽ sơ đồ). Hãy “hoàn thành” phía bên trái của parabol, phần này có thể được vật thể mô tả nếu nó được cho vận tốc ngang ban đầu theo hướng ngược lại ($-v_0$). Phần này của parabol được thể hiện bằng một đường chấm trong hình. Tại đỉnh của parabol (điểm $M$, có tọa độ là (0, 0)) ta chọn một cung nhỏ $AMB$ sao cho điểm giữa của cung trùng với đỉnh của parabol. Bây giờ, hãy chọn một đường tròn có bán kính sao cho nó đi qua ba điểm của cung $AMB$, tức là đi qua điểm giữa của cung và các đầu của nó. Điều này có thể thực hiện được, vì đã biết rằng qua ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng, luôn luôn chỉ có thể kiểm tra được một đường tròn có mống mắt. Nghịch đảo của bán kính của đường tròn kết quả $1/R$ xác định giá trị gần đúng của độ cong của parabol tại đỉnh của nó. Phép tính gần đúng này sẽ chính xác hơn, độ dài của cung $AMB$ càng ngắn. Độ cong tại một điểm được xác định bằng nghịch đảo bán kính của đường tròn “giới hạn” này.

Bây giờ chúng ta xác định độ cong của parabol tại một điểm tùy ý $M_1$. Để làm điều này, hãy chọn một cung nhỏ của parabol $A_1M_1B_1$ sao cho điểm $M_1$ là giữa của vòng cung này. Chúng ta sẽ lại chọn một đường tròn có bán kính sao cho nó đi qua các điểm $A_1$, $M_1$ Và $B_1$. Vòng tròn này có bán kính lớn hơn trong trường hợp đầu tiên ($R_1 > R$). Độ cong của parabol tại một điểm $M_1$ xấp xỉ bằng $1/R_1$. Theo cách tương tự, bạn có thể xác định độ cong của parabol tại bất kỳ điểm nào. Do đó, một paraboly có thể được coi là một đường cong bao gồm vô số các cung nhỏ vô hạn có độ cong giảm dần mà vật chuyển động dọc theo đó.

Bán kính cong của bất kỳ đường cong phẳng nào được tìm thấy bằng phép tính vi phân. Đối với độ cong của parabol - quỹ đạo chuyển động của cơ thể, chính xác hơn là trọng tâm của nó dưới tác dụng của lực hút trái đất, nó có thể được xác định bằng cách sử dụng thông tin từ cơ học.

Vì vậy, tại một thời điểm nào đó $t$ vật ở điểm $M_1$ của parabol (xem hình). Trong quá trình chuyển động, chỉ có lực của cử chỉ tác động lên cơ thể *). Lực cử động truyền cho tất cả các vật thể một gia tốc như nhau, hướng thẳng đứng xuống dưới và bằng $g$. Gia tốc của lực $g$ có thể bị phân tách thành hai thành phần: $g \sin \alpha$ - có hướng tiếp tuyến, nghĩa là theo hướng của tổng tốc độ của cơ thể $v$ tại một thời điểm nhất định $t$ thành phần (tiếp tuyến) và $g \cos \alpha$ - thành phần pháp tuyến (hướng tâm), trong đó $\alpha$ là góc tạo bởi tốc độ ban đầu $v_0$ và vận tốc tiếp tuyến $v_1$ tại điểm $M_1$. Khi vật chuyển động dọc theo parabol, sự phân hủy gia tốc không đổi $g$ thành các thành phần sẽ xảy ra khác nhau, vì góc $\alpha$ tăng từ 0 lên $\pi/2$. Thành phần tiếp tuyến của gia tốc sẽ tăng lên khi vật chuyển động dọc theo parabol và thành phần pháp tuyến sẽ giảm đi.

Hãy xác định giá trị thành phần hướng tâm của gia tốc của vật tại thời điểm $t$ khi nó chuyển động dọc theo một cung nhỏ vô hạn có bán kính $R_1$:

$$a_{\text{ис}} = \frac{v_1^2}{R_1}, \text{ или } g \cos \alpha = \frac{v_1^2}{R_1},$$

nhưng vì $v_1 = \frac{v_0}{\cos \alpha}$, nên

$$g \cos \alpha = \frac{v_0^2}{R_1 \cos^2 \alpha}.$$

*) Giả sử rằng độ cao mà vật được ném không lớn lắm, do đó không tính đến sự thay đổi trong $g$.

23

Do đó bán kính cong của parabol tại điểm $M_1$
$$R_1 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha}.$$

Vì vậy, bán kính cong tại bất kỳ điểm nào của parabol được xác định bởi độ lớn của bình phương vận tốc $v_0$ và độ lớn của lập phương cosin của góc $\alpha$ được hình thành bởi các vectơ vận tốc ban đầu $v_0$ và vận tốc tổng cộng $v$. Bán kính cong của parabol tăng (độ cong của nó giảm) khi vật thể bay di chuyển dọc theo nó.

Bây giờ, sử dụng công thức (4), chúng ta xác định bán kính cong tại đỉnh của parabol. Trong trường hợp này, góc $\alpha$ bằng 0, vì $v_0$ giống với $v$. Vì vậy, $R = \frac{v_0^2}{g}$.

Kết quả tương tự có thể đạt được ngay lập tức. Tại thời điểm chuyển động ban đầu vật chỉ chịu gia tốc hướng tâm
$$g = \frac{v_0^2}{R}.$$

Chúng ta hãy tìm bán kính cong của parabol trong vùng lân cận các điểm parabia của vật thể, trong đó tốc độ tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động được hướng gần như thẳng đứng. Trong trường hợp này, $R = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} \rightarrow \infty$, vì $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2}$ và $\cos \alpha \rightarrow 0$. Lưu ý rằng bây giờ gia tốc trọng trường hầu như hướng tiếp tuyến với quỹ đạo, và vai trò của gia tốc hướng tâm đã giảm xuống bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy tìm bán kính cong tại một điểm $M_2$ của parabol mà tại đó vận tốc tiếp tuyến $v_2$ gấp đôi vận tốc ban đầu $v_0$:
$$R_2 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} = \frac{v_0^2}{g} \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{8v_0^2}{g},$$

vì góc là $\alpha = 60^\circ$.

Có thể giải bài toán thuộc loại khác. Ví dụ, sau khi xác định tọa độ của một điểm, hãy xác định bán kính cong của parabol tại điểm này.

Một vòng quay không phải

(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 12)

thiết bị nội soi. Nếu một phần của các xung định thời (có khoảng cách giữa các xung nhỏ hơn 0,1 s) chính xác bằng tần số của quá trình tuần hoàn đang được nghiên cứu, thì con mắt nghiên cứu sẽ nhìn thấy một giai đoạn “đóng băng” của quá trình tuần hoàn này. Do đó, bằng cách cố định một bức ảnh tĩnh trong một thí nghiệm như vậy, có thể biết được tần số của các tia sáng để thiết lập tần số của quá trình đang nghiên cứu. Độ chính xác của các từ chuỗi hiện đại là khoảng 0,001%.

Khả năng thứ hai, được triển khai trong ví dụ hài hước của chúng ta, thực sự có những ứng dụng nghiêm túc hơn nhiều. Điện ảnh và truyền hình hiện đại hoạt động theo nguyên tắc này.

Một chiếc đĩa có khe (lau) quay trước ống kính của máy quay phim. Màn hình bị mất đen là cần thiết để che đi hiện tượng nhấp nháy của các khung hình phim. Khung hình tổng thể thay đổi 24 lần mỗi giây (cần gạt nước làm gián đoạn ánh sáng thường xuyên gấp đôi) và chuyển động góc của các vật thể trên màn hình không làm gián đoạn 0,03 rad/s so với người xem. Trong những điều kiện này, người ta quan sát được hình ảnh quen thuộc về chuyển động liên tục của một vật thể trên màn hình.

Chùm tia điện tử của ống truyền hình đi qua toàn bộ trường của màn hình theo từng dòng và trở về vị trí ban đầu trong thời gian tương xứng với cái gọi là tần số nhỏ tới hạn (50-60 $2\mu$), tại đó mắt, do quán tính của thị giác, không phân biệt được sự thay đổi gián đoạn của độ sáng với tần số liên tục.

L. Veres