Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

50

Cơ sở là $a$.
2. Giải bất đẳng thức $\log_{0,5}(x+1) > \log_{2}(2-x)$.
3. Giải phương trình $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin 2x - 0,5$.
4. Tìm ba số tạo thành một cấp số nhân nếu biết tích của chúng là 64 và trung bình số học của chúng là $\frac{14}{3}$.

Tùy chọn 6

1. đáy của một đường thẳng là một hình thang đều, các đường chéo của nó vuông góc với các cạnh bên tương ứng. Góc nhọn giữa hai đường chéo của hình thang là $\alpha$. Đoạn thẳng nối đỉnh ở một góc nhọn của đáy trên với tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy dưới bằng $l$ và tạo thành một góc $\beta$ với mặt phẳng đáy. Tìm thể tích của đường thẳng.
2. Giải phương trình
   $$\frac{6\cos^3 2x + 2\sin^3 2x}{3\cos 2x - \sin 2x} = \cos 4x$$.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x^2 - 3x + 1}{|x^2 - 1|} > 1$$.
4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12}. \end{cases}$$
   S. S. Belayasky

Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

Trong «Kvant» Số 7 năm 1973, chúng ta đã nói về Huân chương Cờ đỏ Ural của Đại học Bang Lao động được đặt theo tên của A. M. Gorky. Trong số này, chúng tôi cung cấp các mẫu phương án thi viết môn toán và mẫu vé dự thi vấn đáp môn vật lý tại Khoa Toán, Cơ học và Vật lý năm 1973.

Toán học
Khoa cơ khí Matematiko
Bài kiểm tra viết môn toán

Tùy chọn 1

1. Tàu có nhiều vòi giống hệt nhau, lần lượt mở ra đều đặn. 8 giờ sau khi mở vòi cuối cùng, bình đã đầy; Hóa ra chiếc cần cẩu đầu tiên hoạt động lâu hơn chiếc cuối cùng 5 lần. Nếu mở tất cả các vòi cùng một lúc thì bao nhiêu giờ sẽ đầy bể?
2. Một hình lập phương có cạnh $a$ được nội tiếp trong một hình nón sao cho một trong các cạnh của nó nằm trên đường kính đáy hình nón; các đỉnh của hình lập phương không thuộc cạnh này nằm trên mặt bên của hình nón, tâm của hình lập phương nằm ở độ cao của hình nón. Xác định thể tích của hình nón.
3. Giải phương trình
   $$\cos^2 x \cdot \cos 2x + \cos 4x + \cos 3x \cdot \cos x + 2\cos^4 x = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$
4. Cho các giá trị $\lg 24 \approx 1,38021$ và $\lg 25 \approx 1,39794$. Xác định mà không cần sự trợ giúp của bảng có bao nhiêu số 0 được chứa sau dấu thập phân trước giá trị đầu tiên của chữ số trong ký hiệu thập phân của số $\sin^{1000}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.

Tùy chọn 2

1. Hai công nhân có trình độ khác nhau hoàn thành một công việc trong 3 giờ. Nếu người công nhân đầu tiên bắt đầu làm việc trong một giờ và người thứ hai muộn hơn nửa giờ thì họ sẽ hoàn thành công việc với thời gian làm việc nhiều hơn thực tế là 18 phút. Nếu công nhân thứ hai bắt đầu làm việc muộn hơn một giờ và người công nhân đầu tiên muộn hơn nửa giờ thì công nhân đầu tiên sẽ kiếm được 5 rúp. Ít hơn thực tế 60 kopecks. Mỗi công nhân thực sự kiếm được bao nhiêu?
2. Trong paramid tam giác $SABC$, cạnh $AB$ bằng $a$ và tất cả các góc phẳng của góc tam giác có đỉnh tại các điểm $A$ và $B$ đều bằng $a$. Xác định thể tích của paramid.
3. Tìm phương trình lời giải
   $$\sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{1 + \cos x} = 4\sin x$$
   nằm trong tích phân $(0, 2\pi)$.
4. Giải bất đẳng thức
   $$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2) \ge 1$$

Các câu hỏi bổ sung được đưa ra trong bài kiểm tra miệng môn toán

1. Tìm miền định nghĩa của hàm $y = \tg \sqrt{6-x-x^2}$.
2. Xây dựng đồ thị của hàm $y = \sqrt{\cos^2 x} \cdot \sin x + \sqrt{\sin^2 x} \cdot \cos x$.
3. Giải phương trình $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = a$.
4. Số nào lớn hơn: $(\sqrt{2})^{v_3}$ hoặc $(\sqrt{3})^{v_2}$?
5. Giải phương trình $2^{\sin 3x} = \frac{\sin x}{2}$.
6. Chứng minh rằng hàm số $y = \cos x + \sin(x\sqrt{2})$ không tuần hoàn.

51

7. Có thể tồn tại một cấp số nhân trong đó 7 số hạng đầu tiên là số nguyên và số hạng tiếp theo không phải là số nguyên không?

8. Có một paramid tứ giác trong đó hai mặt bên đối diện vuông góc với đáy không?

9. Một mặt phẳng có thể cắt năm cạnh của một paramid tam giác không?

Khoa Vật lý
Bài kiểm tra viết môn toán

Tùy chọn 3

1. Hai con sông chảy vào hồ, tốc độ dòng chảy như nhau; không có dòng chảy trên hồ. Tàu hơi nước rời cảng B, nằm trên con sông đầu tiên và đi đến cảng A, nằm ở cửa sông, dành $2^{3/4}$ giờ cho hành trình này. Sau đó, tàu hơi nước đi xa hơn từ cảng A qua hồ đến cảng C trên sông thứ hai, mất 3,5 giờ cho hành trình này. Tàu đi từ C đến A mất 3 giờ. Tàu thủy đi ngược dòng sông đầu tiên từ cảng A đến cảng B mất bao lâu nếu biết cảng A nằm ở giữa cảng B và C?

2. Trong một tam giác đều có góc đáy bằng $\alpha$, chiều cao hạ xuống đáy lớn hơn bán kính của đường tròn nội tiếp $m$. Xác định bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

3. Giải phương trình
   $(\cos 2x)^2 \cos 3x + 4 \cos x - 1 = \sec 2x$.

4. Với mọi số thực $a$ giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2ax - x^2} \geq a - x.$$

Tùy chọn 4

1. Một tàu kéo cần di chuyển hai cầu phao dọc sông trong $l$ km trong khoảng thời gian ít nhất. Đó là lời giải rằng một chiếc phao sẽ tự mình di chuyển dọc sông, và chiếc kia sẽ được vận chuyển bằng tàu kéo trong một thời gian, sau đó tàu kéo sẽ rời khỏi nó, quay trở lại chiếc phao đầu tiên và kéo nó đến đích cuối cùng. Sẽ mất bao lâu để vận chuyển chiếc phao thứ hai bằng tàu kéo nếu cả hai chiếc phao đến đích cùng lúc và nếu tốc độ của chính tàu kéo là $v$ km/h và tốc độ của sông là $u$ km/h?

2. Chiều cao của một tham số tam giác vuông là $h$ và khoảng cách từ đáy của chiều cao đến cạnh bên là $a$. Xác định góc nhị diện giữa các cạnh bên của paramid.

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} = \frac{7}{12}, \\ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} = \frac{8}{15}, \\ \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} = \frac{9}{20}. \end{cases}$$

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$ mà vế trái có nghĩa thì bất đẳng thức sau đúng:
   $(\text{ctg}^2 x - 1) (3 \text{ctg}^2 x - 1) \times (\text{ctg} 3x \cdot \text{tg} 2x - 1) \leq -1.$

Vật lý

Khoa Cơ khí Matematiko

Vé 1

1. Định luật thứ ba của Newton. Thiết bị đẩy phản lực.

2. Sự phân hủy ánh sáng trắng bằng lăng kính. Quang phổ. Các vùng vô hình của quang phổ. Thiết bị quang phổ. Khái niệm phân tích quang phổ

3. Một dây có điện trở 4Om được nối với pin có điện trở trong 1Om, sau đó một dây khác cùng loại được mắc song song với nó. Lượng nhiệt tỏa ra ở dây thứ nhất sẽ thay đổi bao nhiêu lần sau khi nối dây thứ hai?

Vé 2

1. Chuyển động dao động điều hòa. Chu kỳ và tần số dao động. Ma trận toán học và chu kỳ colbats của nó.

2. Cấu trúc của lõi nguyên tử. Sự phân hạch của hạt nhân uranium. Sự giải phóng năng lượng khi phân hạch hạt nhân nặng.

3. Sẽ mất bao lâu để một vật trượt khỏi mặt phẳng nghiêng với góc $\beta$ nếu nó chuyển động đều xuống dưới ($\beta > \alpha$) dọc theo mặt phẳng nghiêng có góc $\alpha$?

Vé 3

1. Khái niệm sóng và bản chất lượng tử của ánh sáng.

2. Mạch dao động điện. Sự biến đổi năng lượng trong mạch dao động. Mối liên hệ giữa chu kỳ của cuộn dây với độ tự cảm và điện dung của nó.

3. Khe hở hai bên đều ngập trong sông. Lỗ trên được đóng lại bằng một ngón tay và ống được lấy ra khỏi quy trình, trong khi lượng thủy ngân vẫn còn trong đó với chiều cao $h = 22$ cm. Xác định áp suất khí quyển bên ngoài nếu chiều dài của ống là $L = 80$ cm.

Vé 4

1. Công việc cơ khí. Đơn vị đo lường công việc. Công suất, đơn vị đo của nó.

2. Hiện tượng điện trong chân không. Hiện tượng phát xạ nhiệt điện tử. Ống tia âm cực.

3. Hai điện tích chính xác có độ lớn $q = 3,4$ đơn vị. điện tích SGSE nằm ở khoảng cách 17 cm. Với lực nào và theo hướng nào, chúng tác dụng lên một điện tích dương đơn vị nằm cách mỗi hạt 17 cm?

53

Trong suốt năm, sinh viên tham gia các khóa học được gửi bài tập và tài liệu chuẩn bị đặc biệt. Vào tháng 7, những người tham gia khóa học được gọi đến Moscow trong một ngày rất bận rộn.

Dưới đây là các lựa chọn cho kỳ thi viết môn toán và kỳ thi vấn đáp bài toán môn vật lý dành cho các khoa toán và vật lý của Viện Sư phạm Bang Moscow. V.I. Lênin năm 1973.

Khoa Toán

Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x^2-3}8 < -3.$$
2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sqrt{1-\sin 2x} = \sin 3x + \cos 3x$$
   thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi$.
3. Thông qua đỉnh của đáy của một paramid tam giác đều, với một góc $\alpha$, một phần được vẽ vào nó, song song với cạnh đối diện của đáy và vuông góc với mặt đối diện. Xác định thể tích của paramid, biết điểm trung bình của nó $a$.
4. Từ Pristina $A$ một chiếc thuyền và một chiếc bè đồng loạt khởi hành xuôi dòng. Thuyền xuôi dòng 96 km rồi quay trở lại A sau 14 giờ. Tìm vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước nếu biết thuyền gặp bè khi đang quay về ở khoảng cách 24 km tính từ A.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{5}\frac{x+7}{16-2x} > \log_{5}x.$$
2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\text{ctg}x - \text{tg}x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1+\cos 2x},$$
   thỏa mãn điều kiện $|x| < \pi$.
3. Đáy của paramid là một tam giác đều, các cạnh bằng nhau có độ dài $a$. Tương ứng với chúng, các mặt bên vuông góc với mặt phẳng của đế và tạo thành một góc $\alpha$ với nhau. Góc giữa tam giác mặt bên và mặt phẳng đáy cũng bằng $\alpha$. Xác định thể tích của paramid.
4. Hai đoàn tàu xuất phát đồng thời từ điểm $A$ và $B$ để gặp nhau. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h. Cả hai đoàn tàu gặp nhau ở khoảng cách 28 km tính từ giữa $AB$. Nếu chuyến tàu đầu tiên khởi hành từ điểm $A$ muộn hơn chuyến thứ hai 45 phút thì cả hai chuyến tàu sẽ gặp nhau ở giữa $AB$. Tìm khoảng cách $AB$ và vận tốc của cả hai đoàn tàu.

Khoa Vật lý

Tùy chọn 1

1. Đáy của một hình tam giác vuông là một tam giác đều $ABC$, có cạnh $AB = BC = a$ và góc $A$ bằng $\alpha$. Một mặt phẳng được vẽ qua cạnh $AC$ một góc $\varphi\left(\varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ so với đáy. Tìm diện tích của phần nếu biết phần đó tạo thành một hình tam giác.

2. Tìm các số chẵn tạo nên một cấp số nhân sao cho tổng các số hạng cực trị là 35 và tổng các số hạng ở giữa là 30.

3. Giải phương trình:
   $$\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0.$$

4. Giải phương trình:
   $$\frac{2^{2x+1}-9}{4} + \frac{2}{4^{x+\frac{1}{2}}} = 0.$$
   Tùy chọn 2

5. Đáy của paramid là một tam giác đều, cạnh bằng $a$ và góc ở đỉnh bằng $\alpha$. Tất cả các gân bên đều nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$. Tìm thể tích của paramid.

6. Tính toán:
   $$\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3}\sqrt{5}}} \dots$$

7. Giải phương trình:
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$

8. Giải phương trình:
   $$\frac{\log_5(2x+3)}{1-\log_5(2x+3)} + \frac{3}{5-\log_5(2x+3)} = 0.$$
   Tùy chọn 3

9. Xác định thể tích của một paramid có đáy là tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$. Các gân nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$ và bằng $b$.

10. Viết một cấp số cộng có số hạng đầu tiên bằng 1 và tổng của năm số hạng đầu tiên bằng $1/4$ tổng của năm số hạng tiếp theo.

11. Giải phương trình:
    $$4\sin^2x + 3\cos^2x = 6,5\sin 2x.$$

12. Giải phương trình:
    $$\frac{\log_2(3x-1)}{1+\log_2(3x-1)} = \frac{2}{3+\log_2(3x-1)}$$.