hình elip

Kvant 1975, số 1 tr. 2-8 Thẻ RGEM

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

hình elip

I. N. Bronstein

Ba đường cong đáng chú ý - hình elip, hyperbola và parabola, được gọi chung là “đường conic” - đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. Chúng được phát hiện vào khoảng năm 360 trước Công nguyên bởi Menaechmus, một trong những học trò của nhà thiên văn học, bác sĩ và nhà toán học nổi tiếng Eudoxus. Các tác phẩm của Menaechmus chưa đến được với chúng ta, nhưng chúng ta biết tác phẩm đáng chú ý của Apollonius, dành cho cùng một vấn đề và được viết sau Menaechmus khoảng 200 năm.
Trong số này chúng ta bắt đầu một loạt bài viết về đường conic.

Nén kéo mặt phẳng (PC)

Chúng ta hãy lấy một số đường thẳng $l$ trong mặt phẳng $\pi$ và chỉ định một số dương $k$ . Chúng ta sẽ gọi nén-nén (viết tắt PC*)) của mặt phẳng $\pi$ so với trục $l$ với hệ số $k$ như một sự biến đổi của mặt phẳng thành chính nó, trong đó

*) Phép biến đổi này thường được gọi là nén theo trục, cũng có nghĩa là phần mở rộng (tại $k>1$ ). Theo chúng tôi, cái tên này thật đáng tiếc vì đôi khi nó gây nhầm lẫn. Ví dụ, một hình elip được coi là một đường thẳng chỉ thu được bằng cách nén một hình tròn (xem bên dưới), và do đó người ta thường cho rằng trong phương trình của hình elip luôn có $a>b$ , điều này là không cần thiết.

mỗi điểm $m$ của nó sẽ tiến tới điểm $M$ theo quy luật sau:

các điểm $m$ và $M$ nằm trên cùng một phương vuông góc với trục $l$ ở một phía của nó; một điểm nằm trên trục tự biến thành chính nó;
khoảng cách từ điểm đến trục được nhân với $k$ , tức là $m_0M = k \cdot m_0m$ , trong đó $m_0$ là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm $m$ đến trục $l$ (xem Hình 1 a, b).

Nếu $k > 1$ , thì tất cả các điểm của mặt phẳng (ngoại trừ các điểm của chính trục) sẽ di chuyển ra khỏi trục - mặt phẳng bị kéo giãn và nếu $k < 1$ , thì chúng tiến gần đến trục - mặt phẳng bị nén. Với $k = 1$ tất cả các điểm của mặt phẳng vẫn giữ nguyên; trong trường hợp này chúng tôi

Hình 1 một.

Hình 1 b.

Hình 2 a. $k=^1/_2$ .

Hình 2b. $k=2$ .

chúng ta thu được sự biến đổi giống hệt của mặt phẳng.

Cho một số hình $\omega$ (tức là một số tập hợp điểm) trong mặt phẳng $\pi$ . Chúng ta sẽ quan tâm đến tập $\Omega$ của tất cả các điểm thu được từ $\omega$ nhờ RS (xem Hình 2 a, b). Điều quan trọng cần lưu ý là với MS, một đường thẳng sẽ biến thành đường thẳng, các đường thẳng song song sẽ biến thành đường thẳng song song và điểm giữa của đoạn sẽ biến thành điểm giữa. Ví dụ: nếu $cd\|be$ , $cm=md$ thì $CD\|BE$ , $CM=MD$ (xem Hình 2). Chúng tôi để lại bằng chứng về những sự thật này cho người đọc.

Định nghĩa của hình elip. Các phần tử hình elip

Hình elip là hình thu được do PC của một hình tròn (hoặc hình tròn *)). Gọi $a$ là bán kính của đường tròn (Hình 3; trục RS sẽ được coi là đi qua tâm của đường tròn). Khi đó đường kính $cd$ nằm trên trục sẽ biến thành chính nó ( $CD=2a$ ),

*) Circle là một đường thẳng và circle là một phần của mặt phẳng bên trong nó. Không có hai từ tương tự cho hình elip; cả đường cong và phần mặt phẳng bên trong nó đều được gọi giống nhau - họ nói “chiều dài của hình elip”, “diện tích của hình elip”. Trong mỗi trường hợp, người đọc có thể dễ dàng xác định ý nghĩa của từ “hình elip” đang được thảo luận.

và đường kính $eh$ vuông góc với nó là đoạn $EH$ ( $EH=2ka$ ). Chúng ta hãy biểu thị $OE(=OH)$ bằng $b$ , sau đó là $ka=b$ .

Các đoạn $CD$ và $EH$ được gọi là trục của hình elip và các nửa của chúng $OC$ , $OD$ , $OE$ , $OH$ (cũng như các số $a$ và $b$ ) là bán trục của nó. Nếu $k>1$ (độ căng), thì $b>a$ (Hình 3), nếu $k<1$ (nén), thì $b<a$ (xem các hình sau). Tại $k=1$ vòng tròn sẽ chuyển thành vòng tròn *).

*) Để không vi phạm tính tổng quát của định nghĩa, hình tròn được coi là trường hợp đặc biệt của hình elip ( $b=a$ ).

Hình 3.

Đoạn CD lớn hơn, EH được gọi là trục chính của hình elip và đoạn nhỏ hơn được gọi là trục nhỏ. Điều này có nghĩa là nếu $k > 1$ thì $a$ là bán trục phụ và $b$ là trục chính và nếu $k < 1$ thì ngược lại. Trong cả hai trường hợp $k = \frac{b}{a}$ .

Điểm $o$ —tâm của đường tròn—trong PC biến thành chính nó, điểm $O$ này gọi là tâm của hình elip, các điểm $C, D, E, H$ là các đỉnh của nó. Hình vuông $pqrs$ được bao quanh hình tròn (“mẹ” của hình elip) sao cho $pq \parallel rs \parallel l$ và $qr \parallel sp \perp l$ được chuyển thành hình chữ nhật $PQRS$ ở các cạnh $2a$ và $2b$ được bao quanh hình elip; nó được gọi là hình chữ nhật cơ bản cho hình elip của chúng ta. Các cạnh của hình chữ nhật này chạm vào hình elip ở các đỉnh của nó.

Cách đo một hình elip

Nếu đã cho các trục của hình elip, thì cách dễ nhất là đo hình elip bằng tay bằng cách trước tiên dựng một hình chữ nhật cơ bản và sau đó vẽ một đường cong hình bầu dục vào đó. Nhưng phương pháp này không chính xác, có nhiều đường cong hình bầu dục có cùng trục đối xứng (một số đường cong như vậy được hiển thị trong Hình 4), nhưng chỉ một trong số chúng (màu đỏ trong Hình 4) là hình elip. Bạn có thể xây dựng chính xác bao nhiêu điểm của hình elip tùy thích. Được sử dụng phổ biến nhất

Hình 5.

và một phương pháp đơn giản để xây dựng như vậy được thể hiện trong Hình 5.

Trên đó có hai đường tròn đồng tâm có bán kính $a$ và $b$ . Hãy tự hiểu cách xây dựng này và chứng minh rằng $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$ .

Sau khi thực hiện cách xây dựng như vậy cho một số điểm $m_1, m_2, m_3, \dots$ của đường tròn, người ta có thể thu được các điểm tương ứng của hình elip. Tất cả những gì còn lại là kết nối chúng thành một đường thẳng bằng tay hoặc sử dụng mẫu.

Bạn có thể vẽ một hình elip bằng chuyển động liên tục mà không cần nhấc bút chì ra khỏi giấy, giống như cách chúng ta vẽ một hình tròn bằng compa, sử dụng một thiết bị đặc biệt - hình elip.

Hình 4.

Hình 6.

đồ thị *). Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ chỉ ra một cách đơn giản để vẽ liên tục một hình elip bằng một sợi chỉ.

Đường kính liên hợp của hình elip

Chúng ta hãy lưu ý tính chất thú vị sau đây của hình elip: trung điểm của tất cả các dây cung song song của hình elip tạo thành một đoạn đi qua tâm của hình elip (Hình 6). Tính chất này hiển nhiên đối với đường tròn: đối với nó, trung điểm của các dây song song nằm trên đường kính vuông góc với các dây này. Trong quá trình nén, các dây song song của một hình tròn biến thành các dây cung song song của một hình elip, và trung điểm của các dây của đường tròn biến thành trung điểm của các dây hình elip. Đây là nơi tính hợp lệ của thuộc tính được xây dựng theo sau.

Dây cung đi qua tâm của hình elip được gọi là đường kính của nó. Trong một hình elip, nói chung độ dài của các đường kính không giống nhau. Trục lớn nhất trong số chúng là trục chính của hình elip và trục nhỏ nhất là trục nhỏ. Nếu chúng ta vẽ chuỗi dây thứ hai theo hình elip, song song với đường kính thu được, thì điểm giữa của chúng nằm trên đường kính thuộc chuỗi dây thứ nhất (Hình 6). Hai đường kính thu được được gọi là liên hợp lẫn nhau. Đối với mỗi đường kính của một hình elip có một liên hợp với nó. Trong một đường tròn, mỗi cặp đường kính liên hợp vuông góc với nhau, nhưng trong hình elip chỉ có một cặp đường kính liên hợp vuông góc với nhau, đó là trục chính và trục phụ.

** Phương trình đường thẳng. Phương trình elip**

Một trong những khám phá đáng chú ý nhất của thế kỷ 17 là phương pháp tọa độ **),

*) Ấn bản đầu tiên của bài viết này («Kvant», 1970, Số 9, trang 32) cung cấp mô tả và chứng minh lý thuyết của máy đo hình elip.

**) Nó thường được trình bày trong một khóa học về hình học giải tích.

Hình 7.

cho phép dịch các khái niệm hình học sang ngôn ngữ đại số. Phương pháp này cho phép thiết lập sự tương ứng giữa các đường thẳng nằm trên mặt phẳng chứa hệ tọa độ và các phương trình chứa hai chữ cái $x$ và $y$ .

Phương trình đường thẳng là phương trình cho $x$ và $y$ , phương trình này trở thành đồng nhất khi thay thế $x$ và $y$ các giá trị $x_0$ , $y_0$ khi và chỉ nếu điểm có tọa độ $x_0$ , $y_0$ nằm trên đường thẳng này. Ví dụ: phương trình $y = x$ là phương trình phân giác của góc tọa độ I và III và phương trình đường tròn bán kính $a$ có tâm tại gốc tọa độ có dạng $x^2 + y^2 = a^2$ .

Giả sử hình elip này có bán trục $a$ và $b$ dưới dạng PC của một đường tròn có bán kính $a$ với hệ số $k = \dfrac{b}{a}$ (Hình 7). Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ trên mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng này như sau: trục $Ox$ hướng dọc theo trục PC và trục $Oy$ hướng qua tâm của đường tròn $o$ , cũng là tâm của hình elip, vuông góc với trục $Ox$ . Đặt $m$ là một điểm trên đường tròn và $M$ là điểm của hình elip mà $m$ sẽ đi tới RS.

Chúng ta biểu thị tọa độ của điểm $m$ bằng $x_{\text{окр}}$ , $y_{\text{окр}}$ và tọa độ của điểm $M$ bằng $x_\text{э}$ , $y_\text{э}$ . Theo định nghĩa RS $x_\text{э} = x_{\text{окр}}$ , $y_\text{э} = k y_{\text{окр}}$ , từ đâu

$x_{\text{окр}} = x_\text{э}, \quad y_{\text{окр}} = \frac{y_\text{э}}{k} \, . \qquad (*)$

Nếu chúng ta thay tọa độ của điểm bất kỳ $(x_{\text{окр}},\ y_{\text{окр}})$ vào phương trình của đường tròn $x^2 + y^2 = a^2$ , thì đẳng thức $x_{\text{окр}}^2 + y_{\text{окр}}^2 = a^2$ sẽ đúng và do đó, dựa trên $(*)$ đẳng thức sẽ đúng

$x_\text{э}^2 + \frac{y_\text{э}^2}{k^2} = a^2.$

Hình 8.

Nếu điểm $M'(X', Y')$ không nằm trên hình elip thì điểm $m'(x', y')$ , được chuyển sang $M'$ do PC, không nằm trên đường tròn và đẳng thức $(x')^2 + (y')^2 = a^2$ là sai, nghĩa là đẳng thức

$(X')^2 + \frac{(Y')^2}{k^2} = a^2.$

Theo định nghĩa của phương trình đường thẳng, ta thu được phương trình hình elip sau: $x^2 + \dfrac{y^2}{k^2} = a^2$ . Vì $ka = b$ , phương trình cuối cùng rút gọn về dạng

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \tag{Э}$

Đây là phương trình của hình elip ở dạng thuận tiện nhất (còn gọi là chính tắc).

Phần nghiêng của hình trụ tròn

Giao một hình trụ tròn với các mặt phẳng nghiêng với đáy một góc nhọn $\alpha$ , ta thu được các đường cong hình bầu dục. Hãy chứng minh chúng là hình elip. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng mỗi hình bầu dục như vậy thu được từ một hình tròn là kết quả của RS (cụ thể là kéo dài) với hệ số $k = \dfrac{1}{\cos\alpha}$ .

Chúng ta lấy (Hình 8) hai đường kính ở đáy hình trụ: $cd$ - song song và $eh$ - vuông góc với đường giao nhau của mặt phẳng đáy với mặt phẳng tiết diện của hình trụ.

lindra. Chúng ta hãy vẽ qua chúng trục hình trụ của các mặt phẳng $cdDC$ và $ehHE$ , cũng như mặt phẳng $M_0Mmm_0$ , song song với $ehHE$ , đi qua một số điểm $M$ của mặt cắt. Biết rằng hình chiếu của một đoạn lên một đường thẳng nhất định bằng độ dài của đoạn đó nhân với cosin của góc giữa nó và hình chiếu của nó, ta thu được

$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{1}{\cos\alpha} = k.$

Nếu chúng ta đặt cả hai hình $CEDH$ và $cedh$ trên cùng một mặt phẳng sao cho $CD$ thẳng hàng với $cd$ , thì chúng sẽ có vị trí như trong Hình 3, với $M_0M : m_0m = k$ , trong đó $k > 1$ . Điều này chứng minh tuyên bố của chúng tôi.

Mỗi hình elip có bán trục nhỏ $a$ và bán trục chính $b$ có thể thu được dưới dạng một phần của hình trụ tròn, bán kính của nó bằng bán trục nhỏ của hình elip. Để làm được điều này, chỉ cần cắt hình trụ có mặt phẳng nghiêng với đáy hình trụ một góc có cosin bằng $\dfrac{a}{b}$ là đủ. Điều này luôn có thể thực hiện được vì có $\dfrac{a}{b} < 1$ .

Hình chiếu của hình tròn - hình elip

Nếu chúng ta chiếu một đường tròn nằm trong một mặt phẳng nhất định lên mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất một góc nhọn $\alpha$ thì phép chiếu sẽ tạo ra một hình elip. Người đọc có thể dễ dàng tự mình chứng minh điều này bằng cách sử dụng Hình 8, hình này bây giờ phải được nhìn từ một quan điểm khác: chúng ta sẽ coi đường thẳng $CEDH$ là một hình tròn ( $OC = OD = OE = OH = a$ ), và hình trụ chiếu không phải là hình tròn mà là hình bầu dục. Đây $cd = CD = 2a$ , $eh = EH \cdot \cos\alpha = 2b$ . Cần phải chứng minh rằng $cedh$ là một hình elip (bề mặt trong trường hợp này được gọi là hình trụ elip - dựa trên hình dạng của mặt cắt vuông góc).

Đường chứng minh giống như đối với phần nghiêng của hình tròn

lindra. Lần này $m_0m = M_0M\cos \alpha$ . Do đó, sedh hình bầu dục thu được từ $CEDH$ là kết quả của PC (lần này là skatia) với hệ số $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$ .

Các đường kính vuông góc của đường tròn được chiếu thành các đường kính liên hợp lẫn nhau của hình elip. Thực tế này có tầm quan trọng lớn trong lý thuyết mô tả các hình không gian trên một mặt phẳng*).

Thuộc tính tiêu điểm của hình elip

Chúng ta chuyển sang thuộc tính quan trọng nhất của hình elip - tiêu điểm (tiêu điểm là một tính từ từ tiêu điểm**); đây là tên được đặt cho hai điểm thay thế nằm trên trục chính đối xứng với tâm của hình elip).

Chúng ta sẽ coi hình elip là một phần của hình trụ tròn - chúng ta đã thấy rằng chúng ta luôn có quyền làm điều này. Bây giờ chúng ta hãy lăn quả bóng (có cùng bán kính với hình trụ) vào hình trụ từ cả hai đầu sao cho quả bóng chạm vào mặt phẳng của phần này (Hình 9), theo ngôn ngữ hình học - chúng ta sẽ đặt các quả bóng vào hình trụ sao cho chúng chạm vào mặt phẳng phần.

Các điểm tiếp xúc $F_1$ và $F_2$ sẽ là tiêu điểm của hình elip của chúng ta.

Mỗi quả bóng chạm vào hình trụ theo một vòng tròn (màu đỏ). Chúng ta hãy lấy bất kỳ điểm $M$ nào của hình elip và đánh dấu bộ tạo $PQ$ của hình trụ mà điểm $M$ nằm trên đó ( $P$ và $Q$ là các điểm của bộ tạo này nằm trên các vòng tròn màu đỏ). Rõ ràng là $MF_1 = MQ$ , vì đây là độ dài của hai tiếp tuyến của quả bóng bên phải được vẽ từ $M$ đến các điểm tiếp xúc

Hình 9.

$F_1$ và $Q$ (các đoạn này bằng nhau như phần tử tạo của một hình nón có đỉnh $M$ , ngoại tiếp về quả bóng bên phải). Lập luận tương tự cho quả bóng bên trái, ta được: $MF_2 = MP$ . Cộng cả hai đẳng thức, ta có

$MF_1 + MF_2 = MQ + MP = PQ.$

Không có độ dài $PQ$ nào giống nhau đối với tất cả các máy phát của hình trụ, đây là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các vòng tròn màu đỏ. Điều này có nghĩa là bất kể điểm $M$ nào chúng ta lấy trên hình elip thì đẳng thức $MF_1 + MF_2 = const$ sẽ thỏa mãn.

Do đó, tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip đến hai tiêu điểm của nó là một giá trị không đổi. Đây là tính chất tiêu điểm của hình elip. Một hình elip thường được định nghĩa là một tập hợp các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng, trong đó tổng khoảng cách đến hai điểm (tiêu điểm) là không đổi.

Khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến cuối trục nhỏ bằng một nửa chiều dài trục chính của hình elip (Hình 10) hay nói cách khác,

$c^2 = a^2 - b^2.$

Trong công thức này, $a$ là bán trục lớn, $b$ là trục nhỏ *) $c$ là một nửa

*) Xem bài viết của N. M. Beskin “Hình ảnh các hình không gian”, «Kvant», 1970, số 12.

**) Từ “tập trung” trong tiếng Latin có nghĩa là lò sưởi. Nguồn gốc của thuật ngữ này sẽ được thảo luận ở các quốc gia sau.

Hình 10.

khoảng cách giữa các tiêu điểm. Để chứng minh công thức này, hãy xét điểm cuối của trục chính của hình elip (điểm $C$ trong Hình 10). Theo thuộc tính tiêu điểm $CF_1 + CF_2 = \mathrm{const}$ ; do tính đối xứng $CF_1 = DF_2$ ; Điều này có nghĩa là hằng số hằng số bằng $CF_2 + F_2D$ , tức là trục chính $2a$ . Mặt khác, đối với điểm cuối của trục nhỏ, chẳng hạn như $E$ , $EF_1 + EF_2 = 2a$ , và do tính đối xứng, $EF_1 = EF_2$ , nên mỗi đoạn này bằng $a$ . Điều này cung cấp một cách để xây dựng các tiêu điểm của một hình elip dọc theo trục của nó (Hình 10).

Vẽ một hình elip bằng một sợi chỉ

Chúng ta hãy đặt một tờ giấy lên bảng vẽ và ghim hai nút (hoặc ghim, Hình 11) vào đó. Sau khi ném một vòng chỉ lên trên chúng (chiều dài của vòng phải lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các nút), chúng ta dùng đầu bút chì kéo sợi chỉ để tạo thành hình tam giác $F_1MF_2$ . Nếu bạn di chuyển bút chì dọc theo tờ giấy sao cho sợi chỉ vẫn căng thì hình tam giác sẽ bị biến dạng nhưng chu vi của nó không đổi. Độ dài cạnh $F_1F_2$ cũng sẽ không đổi; điều này có nghĩa là $F_1M + F_2M = \mathrm{const}$ và bút chì sẽ mô tả hình elip.

Phương pháp vẽ hình elip này được những người làm vườn sử dụng khi làm những luống hoa hình elip. Thay vì các nút chạm đất, bạn

Hình 11.

Có hai cái chốt, chiếc nhẫn được làm bằng sợi dây dày và hình elip được vẽ trên mặt đất không phải bằng bút chì mà bằng một cây gậy.

* *
*

Chúng tôi không giải thích nguồn gốc của cái tên “hình elip” (trong tiếng Hy Lạp cổ, “hình elip” có nghĩa là “bất lợi” - nhược điểm đó liên quan gì đến nó?), Chúng tôi không nói về những đặc tính thú vị khác của đường cong này - những đặc tính chung cho tất cả các phần hình nón: hình elip, hyperbola và parabola. Một bài viết riêng biệt sẽ được dành cho việc này. Nhưng trước tiên, trong những số tới chúng ta sẽ làm quen với hyperbol và parabol.