Hình học bài toán

Hình học bài toán

1. Các độ cao $AK$, $BL$ và $CM$ của tam giác nhọn $ABC$ lần lượt được kéo dài đến giao điểm với đường tròn ngoại tiếp tại các điểm $D$, $E$, $F$. Đặt $P$, $Q$, $R$ là các điểm trên đường tròn sao cho $\smile AP = \frac{1}{3} \smile ABD$, $\smile BQ = \frac{1}{3} \smile BCE$, $\smile CR = \frac{1}{3} \smile CAF$ và tất cả các cung đều có cùng hướng. Chứng minh rằng $\smile AR = \frac{1}{3} \smile ACD$, $\smile CQ = {}^1\!/\!_3 \smile CBF$, $\smile BP = {}^1\!/\!_3 \smile BAE$ và tam giác $PQR$ là tam giác đều.

2. Cho một hình thang $ABCD$ có các cạnh song song $AB$ và $CD$, $AB < CD$. Dùng compa và thước kẻ vẽ một điểm $H$ trên cạnh hình thang sao cho một đường thẳng $HK$ song song với đáy hình thang, chia nó thành các phần có diện tích tỉ lệ $m : n$.

3. Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $R$ bán kính của nó, $H$ là giao điểm của các đường cao của tam giác $ABC$ và $U$, $V$, $W$ các điểm giao nhau của đường tròn ngoại tiếp với các đường thẳng $AH$, $BH$ và $CH$. Chứng minh rằng các đường thẳng vẽ qua các điểm $U$, $V$, $W$ song song với các đường thẳng $OA$, $OB$ và $OC$ cắt nhau tại một điểm $P$. Chứng minh rằng nếu $H'$ là một điểm trên phần kéo dài của đoạn $OH$ sao cho $OH = HH'$, thì $PH' = \dfrac{OH^2}{R^2}$.

4. Vẽ một tam giác nội tiếp trong một đường tròn, biết một trong các đỉnh $A$ của nó và điểm $H$ giao điểm của các đường cao của tam giác.

5. Cho một đường tròn, một đường thẳng $AB$ và một điểm $X$ trên một đường thẳng. Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại điểm $X$, sao cho tiếp tuyến chung của đường tròn đã cho và đường tròn đã vẽ có độ dài cho trước $l$.

N. TRONG.

63