Logic bắt đầu từ đâu?

LOGIC BẮT ĐẦU Ở ĐÂU?
Yu. A. Gastev

LOGIC BẮT ĐẦU Ở ĐÂU?

Yu. A. Gastev

1. Tất cả mọi người đều là phàm nhân. (TÔI)
2. Socrates là một người đàn ông.
3. Vì vậy, Socrates là phàm nhân.

Hầu hết mọi sách giáo khoa logic đều bắt đầu bằng một ví dụ về tâm đoạn luận như vậy (bằng một ngôn ngữ dễ hiểu hơn - suy luận). “Chà, không sao đâu,” một học sinh ngày nay chưa từng trải qua bất kỳ logic đặc biệt nào như vậy nói. “Tuy nhiên, khoa học còn rất nhỏ: mọi thứ đều gây tổn thương.”

Hãy dành thời gian của bạn!

Đây là một ví dụ khác dành cho bạn (trong vở kịch tuyệt vời “Tê giác” của Eugene Ionesco, nó được thốt ra bởi một nhân vật khó chịu tên là “nhà logic học”):

1. Tất cả mèo đều phải chết.
2. Socrates là phàm nhân. (II)
3. Vì vậy, Socrates là một con mèo.

“Thật vớ vẩn,” bạn nói, “anh ta là loại mèo gì vậy?” Nhưng có phải đó tại sao “tam đoạn luận” “logic” lại tệ không?!

Hãy đánh giá thêm hai ví dụ nữa:

1. Tất cả mèo đều phải chết.

2. Socrates là một con mèo. (III)

3. Vì vậy, Socrates là phàm nhân.

4. Tất cả mọi người đều là phàm nhân.

5. Socrates là phàm nhân. (IV)

6. Vì vậy, Socrates là một con người.

Vậy ví dụ nào là “vô nghĩa”? (III), điều vô nghĩa về con mèo lại được lặp lại ở đâu? Không có gì thuộc loại này! Điều sai chính xác là kết luận (IV), trong đó mọi thứ riêng lẻ đều đúng: cả tiền đề 1 và 2, và kết luận 3 - nhưng kết luận hoàn toàn không tuân theo từ các tiền đề! Và đây cũng là lý do tại sao, từ quan điểm mà chúng ta quan tâm hiện nay, suy luận (II) khác với (I).

Vì vậy, logic không quan tâm nhiều đến tính đúng và sai của các phát biểu riêng lẻ mà chủ yếu quan tâm đến mối liên hệ giữa các phát biểu khác nhau.

24

những tuyên bố đúng, những quy luật (quy tắc), theo đó từ một số tuyên bố đúng, người ta có thể hoàn toàn tin tưởng thu được những tuyên bố đúng mới, tức là, như người ta nói, chuẩn mực của lý luận đúng.

Vậy có nghĩa là logic vẫn không thờ ơ với câu hỏi về sự thật? Tất nhiên là không. Đây thực chất là câu hỏi quan trọng nhất đối với cô ấy. Tuy nhiên, không giống như thực hành đàm thoại thông thường, chúng ta sẽ luôn cố gắng đạt được độ chính xác tối đa và do đó sẽ buộc phải phân biệt giữa một số loại sự thật (tương ứng là giả dối).

Cái gọi là sự thật thực tế của các câu, được hiểu là “sự tương ứng với thực tế”, được chấp nhận một cách logic mà không cần bất kỳ cuộc thảo luận nào và không quan tâm đến cách xác minh nó. Việc sông Volga chảy vào Biển Caspi là đúng, nhưng nó hoàn toàn đúng trên thực tế, và việc đảm bảo sự thật này là vấn đề địa lý chứ không phải logic. Tất nhiên, những tuyên bố “Sông Volga chảy vào hồ Michigan” và “Amazon chảy vào Klyazma” tất nhiên là sai - nhưng một lần nữa, hoàn toàn là sự thật: điều này không tuân theo bất kỳ “luật logic” nào. Các mệnh đề “Nếu sông Volga chảy vào Biển Caspian, thì sông Volga chảy vào Biển Caspian”, “Nếu sông Volga chảy vào Hồ Michigan, thì sông Volga chảy vào Hồ Michigan” và “Nếu sông Amazon chảy vào Klyazma, thì Amazon chảy vào Klyazma” - cả ba đều đúng về mặt logic, nghĩa là, có thể nói, chỉ đúng nhờ cấu trúc của chúng, bất kể sự thật hay giả dối của các tiền đề và kết luận của chúng. Tính đúng đắn của các định luật Newton hay định luật Coulomb được xác nhận bằng kinh nghiệm, nhưng không phải bằng logic, từ đó không có định luật vật lý cụ thể nào tuân theo. Ngược lại, kết luận “Người Hy Lạp là người, Socrates là người Hy Lạp, do đó Socrates là con người”, ngược lại, bản thân nó là đúng, nhưng

không phải nhờ vào sự thật của tiền đề thứ nhất, được lịch sử thế giới chứng nhận, hay tiền đề thứ hai, nêu rõ một sự kiện nào đó trong lịch sử triết học.

Nói đúng ra, cụm từ trước rất có điều kiện: trong trường hợp này, chúng ta chỉ ngầm đồng ý muốn nói rằng Socrates, chứ không phải bố vợ của Chernyshevsky (vợ của Nikolai Gavrilovich tên là Olga Sokratovna) hay một con mèo tên là “Socrates” (trong trường hợp sau, kết luận (II) tất nhiên sẽ không trở nên hợp pháp hơn, nhưng trong kết luận đúng (III) cả hai tiền đề sẽ đúng). Do đó, tính đúng thực tế của các phát biểu thường phụ thuộc vào một số thỏa thuận và điều kiện bổ sung (không phải lúc nào cũng được nêu rõ ràng), do đó trong những trường hợp như vậy, đôi khi chúng ta nói về sự thật có thể có - trái ngược với sự thật cần thiết của các phát biểu như “12 có chia hết cho 3 hay không” và “12 có chia hết cho 5 hay không”, đúng bất kể kiến ​​thức số học của chúng ta và thậm chí cả hệ thống số mà các số 12, 3 và 5 được viết.

Do đó, sự thật logic - không giống như những sự thật thực tế, thực nghiệm của khoa học cụ thể và thực tiễn hàng ngày - không mang lại cho chúng ta bất kỳ thông tin nào về thế giới thực. Như Leibniz đã nói, đây là sự thật trong tất cả các thế giới có thể có. Do đó, chúng còn được gọi là các câu lệnh luôn đúng hoặc hoàn toàn đúng. Hoặc thậm chí ngắn hơn và biểu cảm hơn: tautology. Đây là những gì (dịch theo nghĩa đen từ tiếng Hy Lạp: “cùng một từ”) được gọi trong lời nói hàng ngày là những sự lặp lại vô nghĩa không cho chúng ta biết điều gì mới. Hãy xem xét kỹ hơn các câu đúng về mặt logic như “Từ $A$ theo sau $A$”, “$B$ đúng hoặc $B$ sai”, “Nếu câu $C$ và $D$ là đúng thì câu $D$ và $C$ là đúng”, v.v., và bạn sẽ đồng ý rằng thuật ngữ này rất rõ ràng và phù hợp.

Không phải tất cả các tautology (theo nghĩa logic của từ này) đều hiển nhiên ngay lập tức - đôi khi sự thật logic của chúng không thể được nhận ra ngay lập tức do sự phức tạp hoàn toàn bên ngoài và sự cồng kềnh trong cấu trúc của chúng.

25

nia. Giả sử câu lệnh “Nếu từ A theo sau B, từ B theo sau G, từ D theo sau E, từ W theo sau Z, từ I theo sau K, từ L theo sau M, từ H theo sau O, từ P theo sau P, từ C theo sau T, từ U theo sau không F, từ X theo sau C, từ Ch theo sau Sh, từ Sh theo sau E, và từ Y theo sau I, thì non-B kéo theo non-A, non-G kéo theo non-B, non-E kéo theo non-D, non-Z kéo theo non-F, non-K kéo theo non-I, non-M kéo theo non-L, non-O kéo theo non-N, non-P kéo theo non-P, non-T kéo theo non-S, F kéo theo non-U, non-C kéo theo non-X, non-W kéo theo non-H, non-E kéo theo non-Sh, và non-I kéo theo non-Y” là lặp lặp ở mức độ tương tự như các ví dụ của đoạn trước, nhưng việc kiểm tra trường hợp này là một vấn đề khá tẻ nhạt. Ở đây, tình huống hoàn toàn giống như trong số học ở trường: một ví dụ yêu cầu ba mươi ba phép tính số học “về nguyên tắc” không khó hơn một ví dụ liên quan đến một hoặc hai phép nhân - nhưng ai trong chúng ta không nhớ khả năng mắc lỗi trong trường hợp đầu tiên cao hơn bao nhiêu.

Liệu có thể đạt được “mức độ trôi chảy” tương tự trong câu hỏi về tính đúng đắn của các suy luận và tính xác thực logic của các phát biểu như khi thực hiện và kiểm tra các phép tính số học thông thường, cho dù hiện nay hàng đống chúng phức tạp đến đâu cũng không khiến chúng ta sợ hãi chút nào? Có thể. Và chính việc xác định các quy tắc đảm bảo “sự trôi chảy” như vậy đã tạo nên bài toán logic cơ bản với tư cách là một khoa học. Một lần nữa - mọi thứ đều giống như trong số học và đại số: bài toán không phải là học cách “tự động” (nghĩa là không cần suy nghĩ đặc biệt) thêm $2+3$, $3+5$ hoặc thậm chí $678\ 930\ 567+809\ 376\ 542$, v.v., cụ thể là $a+b$ cho tùy ý $a$ và $b$.

Đối với đại số và số học, hai biểu thức có cùng dạng (xem đoạn trước) tương đương nhau theo một nghĩa nào đó - ngay cả khi chúng có “số lượng” khác nhau. Tương tự như vậy, nếu chúng ta muốn “đại số hóa” logic,

chúng ta phải trừu tượng hóa hoàn toàn nội dung của các phát biểu (nghiên cứu về chúng, như chúng ta đã thấy, như một quy luật, không liên quan gì đến logic cả), xây dựng toàn bộ phân tích của chúng ta chỉ dựa trên cơ sở hình thức.* của chúng). Trên thực tế, chính việc hiểu hoàn cảnh này đã bao gồm ý tưởng tuyệt vời của “cha đẻ của logic” Aristotle, và đó là lý do tại sao logic với tư cách là một khoa học **) được gọi là chính thức.

Nhưng dạng câu (tuyên bố) là gì? Nếu các phát biểu hoặc “các phần cơ bản” riêng lẻ của chúng được chỉ định, theo thông lệ trong logic hiện đại, (như đại số thông thường) bằng các chữ cái, thì việc nhận biết (hoặc khác biệt) về hình thức của chúng thường không khó để phân biệt. Ví dụ: các câu “Từ A và B theo sau A” và “Từ C và F theo sau C,” chỉ khác nhau ở cách chỉ định “thành phần”, được coi là bằng nhau một cách tự nhiên, không thể khẳng định điều này (trong mọi trường hợp, nếu không có giải thích rõ ràng và thỏa thuận bổ sung), ví dụ: về các câu “Từ X theo sau Y” và “Từ not-Y theo sau not-X”. Nhưng khi chúng ta so sánh các câu trong ngôn ngữ thông thường, mọi chuyện không phải lúc nào cũng đơn giản như vậy. Ví dụ, các kết luận (I), (III), cũng như các lý luận sau đây, rõ ràng có dạng giống nhau:

1. Tất cả các số nguyên đều hợp lý.

2. 7 là một số nguyên. (V)

3. Do đó, 7 là số hữu tỉ.

---

* Chỉ cần cuộc trò chuyện ở mức độ ẩn dụ và so sánh thì không có hại gì khi nhiều thuật ngữ không có nghĩa chính xác, được xác định rõ ràng; Điều này đặc biệt được biểu thị bằng dấu ngoặc kép. Khi cần các thuật ngữ chính xác, chúng tôi giới thiệu chúng bằng định nghĩa hoặc ví dụ minh họa và đánh dấu chúng bằng chữ in nghiêng.

**) Chúng ta không được quên rằng từ “logic” được sử dụng trong lời nói hàng ngày và theo nhiều nghĩa khác, những từ này thường không được chỉ định cụ thể và không được chúng ta quan tâm trong bài viết này.

26

1. Tất cả các số nguyên đều hợp lý.

2. π là một số nguyên. (VI)

3. Do đó, π là một số hữu tỉ.

4. Tất cả hổ đều có sọc.

5. Shere Khan là một con hổ. (VII)

6. Vì vậy, Shere Khan có sọc.

v.v. - tất cả đều có “diện mạo chung”

1. Tất cả $x$ đều có thuộc tính $P$.
2. Mục $y$ là $x$. (VIII)
3. Do đó, $y$ có tính chất $P$.

Nhưng bạn có thể nói gì về loạt ví dụ tiếp theo*)

1. Columbus phát hiện ra Châu Mỹ.

2. Có một bức chân dung của Columbus treo trên tường. (IX)

3. Do đó, có một bức chân dung của người phát hiện ra châu Mỹ treo trên tường

4. Pushkin đã viết “Eugene Onegin”.

5. Có một bức chân dung của Pushkin treo trên tường. (X)

6. Do đó, có một bức chân dung của tác giả Onegin treo trên tường.

7. Bulat Okudzhava viết Hamlet.

8. Có một bức chân dung của Okudzhava treo trên tường. (XI)

9. Do đó, có một bức chân dung của tác giả Hamlet treo trên tường.

10. Malyuta Skuratov đã tạo ra thuyết tương đối.

11. Có một bức chân dung của Malyuta treo trên tường. (XII)

12. Do đó, có một bức chân dung của người sáng tạo ra thuyết tương đối treo trên tường.

Cho đến nay mọi thứ đều giống hệt nhau phải không? (Tất nhiên, bạn đã rõ rằng ở đây chúng ta không cần phải thảo luận về vấn đề quyền tác giả của “Hamlet”, “Onegin” và thuyết tương đối.) Liệu có thể gộp “tam đoạn luận” này vào cùng một nhóm không:

1. Một số người đã phát minh ra ấm samovar.
2. Có một bức chân dung của một người đàn ông treo trên tường. (XIII)
3. Do đó, bức chân dung của người phát minh ra samovar được treo trên tường.

---

*) Lấy cảm hứng (giống như hầu hết bài thuyết trình này nói chung) từ phần giới thiệu cuốn sách của A. Cherch “Giới thiệu về logic toán học”, tập. 1, dịch từ tiếng Anh, M., IL, 1960.

Quá nhiều cho “bản sắc của hình thức!” (Nhưng “về mặt hình thức”, có vẻ như mọi thứ ở đây đều giống như trong các ví dụ (I), (III), (V)-(VIII) - ai có thể ngăn cản chúng ta, như trước đây, biểu thị chủ ngữ trong các tiền đề và kết luận thông qua $x$ và $y$?)

Tất nhiên, không có “bí ẩn” nào ở đây - bạn có thể dễ dàng giải thích rằng trong tiếng Nga, danh từ riêng và danh từ chung có đại từ không xác định làm chủ ngữ không hề bằng nhau (và trong tiếng Anh, tiếng Pháp và nói chung trong tất cả các ngôn ngữ Đức và Lãng mạn, những hiểu lầm như vậy không thể nảy sinh khi sử dụng đúng các mạo từ xác định và không xác định). Nhưng tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn không chỉ đến sự đơn giản và tự nhiên của công thức bài toán của logic hình thức, mà còn đến thực tế là “sự hình thức hóa” thực sự của nó có thể phức tạp bởi chính những phẩm chất trong ngôn ngữ nói của chúng ta khiến nó trở thành một phương tiện giao tiếp thuận tiện, phong phú và linh hoạt giữa mọi người: sự phong phú về ngữ nghĩa của từ và sự vắng mặt của cấu trúc (dạng) câu “chuẩn mực” cứng nhắc.

Trong logic hình thức hiện đại *) những khó khăn này được khắc phục bằng cách sử dụng ngôn ngữ hình thức hóa đặc biệt. Trong những ngôn ngữ này, như có thể được đọc trong nhiều cuốn sách phổ biến, tất cả những điểm không chính xác và mơ hồ của các ngôn ngữ nói thông thường đều được loại bỏ một cách cẩn thận (tất nhiên, ngôn ngữ này bị nghèo nàn trong trường hợp này - nhưng chúng tôi sẽ không viết văn xuôi hay thông thường trong đó, chưa kể đến thơ). Tuy nhiên, mặt khác, trong tất cả các đặc điểm thiết yếu của cấu trúc của chúng, các ngôn ngữ hình thức này tuân theo các quy luật mà tất cả chúng ta đều biết.

---

*) Thường (vì những lý do hiển nhiên) được gọi là logic biểu tượng hoặc logic toán học.

27

các khía cạnh của ngôn ngữ “con người” thông thường. Tôi đặc biệt muốn nhấn mạnh tình huống này, thường bị các tác giả của những cuốn sách nổi tiếng bỏ qua, đôi khi tương phản ngôn ngữ tự nhiên và nhân tạo quá dai dẳng: việc không hiểu được mối quan hệ họ hàng sâu sắc của các nhóm ngôn ngữ này (với tất cả sự khác biệt rõ ràng của chúng) khiến cho việc nắm vững các khái niệm cơ bản, “cơ bản” nhất của logic hiện đại trở nên rất khó khăn.

Việc xem xét “ABC của Logic” này rất gợi nhớ, như bạn sẽ thấy, về cú pháp và hình thái của ngôn ngữ tiếng Nga thông thường (hoặc bất kỳ ngôn ngữ nào khác). Đây là một phần lý do tại sao thuật ngữ “cú pháp” thường đề cập đến việc nghiên cứu về dạng (cấu trúc) của các ngôn ngữ hình thức hóa. Các khái niệm này được chia thành hai nhóm chính, nhóm đầu tiên rất tương ứng với cách “phân tích cú pháp theo thành viên câu” mà bạn đã biết rõ ở trường. Một phần khác của cú pháp của các ngôn ngữ chính thức rất giống với phần ngữ pháp học đường, dành cho vấn đề hình thành (xây dựng) các câu phức tạp từ những câu đơn giản. Không giống như sơ đồ nghiên cứu các khái niệm ngữ pháp thông thường, bắt đầu với nhóm khái niệm thứ hai sẽ thuận tiện hơn - nó đơn giản và cơ bản hơn nên dễ dàng xem xét độc lập với nhóm khái niệm thứ nhất. Hơn nữa, người ta thường xây dựng một ngôn ngữ đặc biệt tương ứng với nhóm phạm trù ngữ pháp này. Ngôn ngữ này, đơn vị “nguyên tử” cơ bản của nó là câu lệnh - tức là câu mà trong đó nó đúng hoặc sai có ý nghĩa - được gọi là: phép tính mệnh đề. Không có “phân tích cú pháp theo các thành viên của câu” trong phép tính mệnh đề - vì lý do đơn giản là cấu trúc bên trong của câu = “nguyên tử” hoàn toàn không được xem xét ở đây: “nguyên tử” vẫn được coi là “không thể chia cắt”.

28

Giai đoạn tiếp theo trong lý thuyết về các ngôn ngữ hình thức, mà ngược lại, mọi người đã quan tâm đến “cấu trúc của nguyên tử” và chỉ với sự trợ giúp của nó, chúng ta mới có thể - nhưng không phải lúc này - hoàn thành việc phân tích các ví dụ hình thức trên (I) - (XIII) - đây là cái gọi là phép tính vị ngữ. Phép tính vị ngữ thường được cấu trúc theo cách nó bao gồm phép tính mệnh đề; Tương tự như vậy, khi nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử trong vật lý và hóa học, chúng ta không cần quên những gì đã học trước đó về mối liên hệ giữa các nguyên tử với nhau.

Vì vậy, phép tính mệnh đề. Tôi nhắc lại: một câu phát biểu là bất kỳ câu nào (bằng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ hình thức - không có gì khác biệt) mà có thể nói rằng nó đúng hoặc sai. Nói, hay đúng hơn là hỏi, nhưng không trả lời gì cả. Bản thân logic, như chúng tôi đã nói nhiều lần, chỉ đơn giản là không có phương tiện cho đáp số cho nhiều câu hỏi như vậy (mặc dù không phải tất cả): logic (phép tính mệnh đề) sẵn sàng tính đến thực tế là các phát biểu “Sông Volga chảy vào Biển Caspian” và “$2 \times 2 = 4$” là đúng, còn các phát biểu “Sông Volga chảy vào Ấn Độ Dương” “$2 \times 2 = 5$” là sai. Nhưng kết luận của cô ấy không phụ thuộc vào những sự thật này theo bất kỳ cách nào và sẽ vẫn đúng nếu một thảm họa địa chất làm thay đổi dòng chảy của sông Volga hoặc nếu chúng ta thay đổi cách viết số thông thường, thông thường, giống như bất kỳ ký hiệu nào.

Hơn nữa, logic mệnh đề (như người ta thường nói thay vì “phép tính mệnh đề”) có thể (và trên thực tế là vậy) hoạt động tốt mà không cần đáp số cho các câu hỏi cái gì “sự thật” và cái “sai” là gì. Thay vào đó, chỉ cần nói về hai giá trị chân lý (hoặc giá trị chân lý) khác nhau là đủ mà không cần đặt câu hỏi “điều này có nghĩa là gì”. Một trong những ý nghĩa này thường được gọi là “đã chọn” và được biểu thị thông qua “và” (từ “đúng”), “t” (từ “đúng”) hoặc, ví dụ, chỉ đơn giản là “1” (không có bất kỳ “sự tương tự tự nhiên” nào với trực giác logic thông thường), và ý nghĩa thứ hai là “không được chọn” -

29

thông qua “l” (“false”), “f” (“false”) hoặc “0”. Mỗi tuyên bố, giống như các tuyên bố mà nó được tạo ra (và tùy thuộc vào cách chúng được kết nối, ý nghĩa của nó tùy thuộc vào đó), có thể mang hai ý nghĩa khác nhau, không nhất thiết phải được gọi là “sự thật” và “sai” và gắn liền với những khái niệm này. Do đó, phép tính mệnh đề có thể được hiểu là “đại số logic” - nghiên cứu về các hàm, giống như các đối số của chúng, mang hai ý nghĩa khác nhau. Những giá trị này có thể (nhưng chúng tôi nhắc lại, không nhất thiết) được gọi là đúng và sai. Nếu chúng ta không chỉ chấp nhận những cái tên này mà còn quan tâm đến mối liên hệ của chúng với các khái niệm “thông thường” về sự thật và sự giả dối (và cố gắng làm rõ chúng), thì chúng ta đang tham gia vào ngữ nghĩa.

Mặt khác, trong khi vẫn ở trong khuôn khổ cú pháp thuần túy, chúng ta hoàn toàn có thể quên đi nguồn gốc của thuật ngữ “logic” của mình. Phép tính mệnh đề “thuần túy” như vậy chỉ đơn giản là một phần của tổ hợp và “lôgic bài toán” được xem xét trong đó, về nguyên tắc, không khác gì phép tính tổ hợp thông thường bài toán.

Vì vậy, ngoài bản thân các mệnh đề, phép tính mệnh đề còn nghiên cứu các chức năng khác nhau giữa chúng - các cách khác nhau để hình thành các mệnh đề “phức tạp” từ các mệnh đề “đơn giản”. Trong ngữ nghĩa, các chức năng này rất gợi nhớ đến các liên từ thông thường trong tiếng Nga (hoặc bất kỳ ngôn ngữ nào khác), với sự trợ giúp của các câu phức tạp được xây dựng từ các câu đơn giản. Nhưng chúng ta sẽ trì hoãn mối liên hệ này với ngôn ngữ thông thường (và với “logic thông thường”) cho đến cuộc trò chuyện tiếp theo. Do đó, chúng tôi sẽ kết thúc bài viết của mình bằng cách các bài viết đó thường bắt đầu như thế nào: bằng cách xác định một số hàm “cơ bản” như vậy, hoặc, như chúng được gọi, các phép toán logic.

Vì chúng ta đang nói về các hàm có, giống như các đối số của chúng, một số lượng giá trị hữu hạn (cụ thể là

hai), chúng ta sẽ có thể chỉ định các hàm mà chúng ta quan tâm bằng cách chỉ ra rõ ràng những giá trị nào chúng lấy cho tất cả các phân bố có thể có của các giá trị đối số (“các câu lệnh cấu thành đơn giản”). Thật thuận tiện khi biểu diễn các tác vụ định nghĩa như vậy dưới dạng cái gọi là bảng chân lý, “đầu vào” trong đó biểu thị giá trị của câu lệnh gốc và “đầu ra” (trong chính các ô của bảng) biểu thị giá trị của câu lệnh kết quả.

Đây là các hoạt động logic:

1. phủ định của một mệnh đề đúng là sai và phủ định của một mệnh đề sai là đúng. Hoạt động này, được ký hiệu bằng ký hiệu “$\overline{\phantom{A}}|$”, tương ứng với trợ từ “không” trong tiếng Nga, được cho bởi bảng chân lý sau:

| $A$ | $\overline{\phantom{A}}|\,A$ |
|—|—|
| Và | tôi |
| tôi | Và |

2. Liên từ của hai câu đúng (tương ứng với liên từ “và” giữa chúng, ký hiệu là $\wedge$) là đúng, nhưng nếu ít nhất một trong số chúng sai thì đó là sai:

| $A$ | $B$ | $A \wedge B$ |
|—|—|—|
| Và | Và | Và |
| Và | tôi | tôi |
| tôi | Và | tôi |
| tôi | tôi | tôi |

3. Sự tách biệt của hai câu (ký hiệu - $\vee$, đọc là “hoặc”) là đúng nếu ít nhất một trong số chúng đúng và sai nếu cả hai câu đều sai:

| $A$ | $B$ | $A \vee B$ |
|—|—|—|
| Và | Và | Và |
| Và | tôi | Và |
| tôi | Và | Và |
| tôi | tôi | tôi |

(Cuối cùng xem trang 35)