Đại số bài toán

20

Bài tập 14. Chứng minh bất đẳng thức tương tự
$$M(A \# B) \leq M(A) + M(B),$$
$$K(A \# B) \leq K(A) + K(B).$$

Bất đẳng thức $P(A \# B) \geq P(A) + P(B)$ khó chứng minh hơn (đối với bất biến $M$ và $K$, bất đẳng thức tương tự không phải lúc nào cũng đúng).

Hãy xem xét một hình cầu có tay cầm 2P ($A \# B$) và nút “cắt” $A \# B$ trên đó.

Theo định nghĩa về thành phần, chẳng hạn, chúng ta luôn có thể “kéo” các nút $A$ và $B$ ra một khoảng cách đáng kể với nhau để chúng được kết hợp thành một thành phần bằng hai đoạn song song nối chúng lại ($KL$ và $MN$ trong Hình 18, a); Đồng thời, chúng ta sẽ phải “làm tan chảy” quả cầu ban đầu có tay cầm.

Bây giờ chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng ngăn cách các nút $A$ và $B$. Mặt phẳng này cắt hình cầu bằng các tay cầm, trước tiên, dọc theo một “ống” dọc theo đó có hai đoạn đi qua nối các nút (chứng minh rằng các đoạn này thực sự đi qua một ống chứ không phải qua hai ống khác nhau!); Hãy bịt kín hai lỗ được tạo thành bằng các “miếng vá” có vẽ các vòng cung trên đó, đóng từng nút (cung $PQ$ và $RS$ trong Hình 18, b). Thứ hai, máy bay có thể “vô tình” cắt “lỗ” ở những phần của quả cầu bằng tay cầm không có đường thắt nút; Hãy che những “lỗ” này bằng “miếng vá” (lần này không vẽ vòng cung).

Rõ ràng là mỗi nút kết quả $A$ và $B$ nằm trên hình cầu riêng của nó với các tay cầm và cắt nó, và tổng số tay cầm của mỗi quả cầu này không lớn hơn số tay cầm của hình cầu ban đầu, tức là $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, là số lượng được yêu cầu.

Bài tập 15. Hãy thử cách tương tự để chứng minh bất đẳng thức $K(A \# B) \geq K(A) + K(B)$.

Bây giờ chúng tôi đã hoàn thành hành trình khó khăn của mình. Nếu bạn muốn tiếp tục, cuốn sách thú vị (nếu khó) của Crowell và Fox sẽ là tài liệu hướng dẫn cho bạn.

Đại số bài toán

1. Chứng minh rằng $x^{13} - 1 = (x - 1)(x^6 - ax^5 + 2x^4 + bx^3 + 2x^2 - ax + 1) \times (x^6 - bx^5 + 2x^4 + ax^3 + 2x^2 - bx + 1)$, trong đó $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $z^2 + z - 3 = 0$. Tìm một khai triển tương tự cho $x^{17} - 1$, chọn $a$ và $b$ nghiệm của phương trình bậc hai $z^2 + z - 4 = 0$.

2. Đặt $\alpha, \beta, \gamma$ là nghiệm của phương trình bậc ba $x^3 + bx + c = 0$. Viết phương trình với nghiệm $\alpha(\beta - \gamma)^2, \beta(\gamma - \alpha)^2, \gamma(\alpha - \beta)^2$.

3. Chứng minh rằng với mọi giá trị tự nhiên $r$ số
   $$N_1 = r^{r+1} - 2r^r + 1,$$
   $$N_2 = 2r^{r-2} - r^{r-3} - 1$$
   $(r > 2),$$$$N_3 = r^{r+1} - 2r + 1,$$$$N_4 = r^{r-2} + r - 2$$делятся на целое на$(r - 1)^2$, а числа$N_1$и$N_2$делятся на целое на$(r - 1)^3$, если$r$четно. 4. Доказать, что если$(x + y)(x + z) = bcyz, (y + z)(y + x) = acxz, (z + x)(z + y) = abxy, thì $a + b + c = abc + 2$ hoặc $a + b + c = abc - 2$.

4. Chứng minh rằng nếu $x + y + z = 0, \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + \frac{z^2}{c} = 0, ayz + bzx + cxy = 0$ thì $(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = abc$.

5. Giả sử số tự nhiên $D$ sao cho khi chuyển phân số $\frac{1}{D}$ sang số thập phân sẽ thu được số phân số tuần hoàn có $p$ chữ số trong dấu chấm. Chúng ta hãy biểu thị bằng $N(n, m)$ một số tự nhiên, ký hiệu thập phân của nó bao gồm $m$ nhóm có dạng 00…01 và trong mỗi nhóm $n - 1$ có một số 0 (trong nhóm ngoài cùng bên trái, các số 0 bị bỏ qua). Chứng minh rằng nếu $n$ chia hết cho $p$ thì $N(n, m)$ chia hết cho $D$ khi và chỉ khi $m$ chia hết cho $D$.

H. B.