Nếu một hình tam giác được đưa ra...

36

Nếu một hình tam giác được đưa ra…

V. N. Berezin, V. I. Slepoy

Nói chung, trong các bài toán hình học người ta phải xử lý các góc 30°, 45°, 60°, …; nhưng cũng có bài toán, trong đó có các góc 80°, 40° và thậm chí 47°! Chúng ta gần như đang nói về những vấn đề như vậy.

Tất cả các vấn đề được thảo luận trong bài viết này đều liên quan đến một tam giác nằm trong cùng một mặt phẳng và một điểm nối với các đỉnh của nó bằng các đoạn thẳng. Đã biết được coi là một số góc giữa các đường thẳng hoặc một số mối quan hệ số liệu giữa các đoạn thẳng hoặc cả hai. Cần xác định một số góc chưa biết (được đánh dấu trên hình vẽ tương ứng bằng dấu chấm hỏi và nơ đỏ).

Các ký hiệu chính trong ghi chú là tiêu chuẩn, nhưng đôi khi các ký hiệu phụ lời giải bài toán cũng rất hữu ích. Trước hết, đây là “tô màu” các đoạn bằng nhau bằng cùng một màu (không phải màu đen) và tô màu những phần của mặt phẳng mà bạn cần chú ý ở lời giải bài toán.

Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản nhất.

Bài tập 1. Cho tam giác đều ABC và một điểm D ở bên ngoài tam giác đó, độ dài đoạn BD bằng cạnh $\Delta ABC$ và $\widehat{DBC}=40^\circ$ (xem Hình 1). Tìm $\widehat{ADC}$.

Thật dễ dàng để tính toán (tự làm) rằng $\widehat{ADC}=30^\circ$. Điều thú vị là $\widehat{DBC}$ có thể là bất cứ thứ gì (và không nhất thiết phải bằng 40°); $\widehat{ADC}$ vẫn bằng 30°.

Bây giờ hãy giải quyết bài toán này.

Bài tập 2. Cho tam giác đều ABC ($|BC|=|CA|$, xem Hình 2) có góc BAC nhỏ hơn 60° và một điểm D. chứng tỏ đoạn AD tạo thành một góc với cạnh AC của tam giác bằng hiệu giữa góc 60° và góc BAC (có thể

Hình 1.
Hình 2.

37

Hình 3.

đường thẳng AC là đường phân giác của góc DAE), với $|AD| = |AB|$. Tìm $\widehat{ADC}$ (hóa ra lại bằng 30°).

bài toán tiếp theo đã được trình bày tại Olympic Toán học XV Moscow.

Bài 3. Từ đỉnh A và C của tam giác đều ABC có góc đỉnh $\widehat{ABC} = 20^\circ$ (Hình 3), vẽ hai đường thẳng cho đến khi cắt các cạnh đối diện của tam giác lần lượt tại các điểm D và E sao cho góc CAD bằng 60°, và góc ACE bằng 50°. Xác định góc ADE.

Lời giải. Từ các tam giác đều đồng dạng với tam giác ABC, chúng ta tạo thành một hình 18 cạnh đều $ACC_1C_2 \dots C_{15}C_{16}$ (xem Hình 4) có tâm tại đỉnh B của tam giác ban đầu. Hãy vẽ các đường chéo $AC_8, AC_6, CC_9, CC_{12}, C_1C_{12}, C_1C_{16}, C_4C_{16}$ của 18 giác này. Các đường chéo $AC_6$ và $C_1C_{12}$ đối xứng nhau qua đường chéo $CC_9$ và cắt nhau tại điểm D. Tương tự, người ta chứng minh rằng các đường chéo $CC_{12}, C_4C_{16}$ và $AC_8$ cắt nhau tại điểm chung E. Bây giờ lưu ý rằng $[C_4C_{16}]$ và $[BC_1]$ là các đường chéo của hình thoi $BC_4C_1C_{16}$; do đó, đoạn $C_4C_{16}$ vuông góc với đoạn $BC_1$ và đi qua điểm giữa của nó; nhưng vì $\Delta BC_1D$ là đều ($\triangle DBC_1 \cong \triangle DC_1B$), nên $C_4C_{16}$ chứa chiều cao của nó, và do đó đi qua điểm D. Bây giờ ta đã rõ rằng $\widehat{ADE} = 30^\circ$ (nó bằng một nửa tổng các cung $AC_{16}$ và $C_4C_6$ của đường tròn nội tiếp 18-giác thông thường của chúng ta).

Nhân tiện, lưu ý rằng góc ECD cũng bằng 30° và tam giác AEC là đều ($|AE| = |AC|$).

38

Hình 6.

Bây giờ chúng ta khái quát hóa các điều kiện bài toán 3.
Bài toán 4. Trên các cạnh AB và BC của tam giác ABC lấy điểm E và D tương ứng với $\widehat{ADE} = \widehat{ECD} = 30^\circ$. Biết rằng tam giác AEC là tam giác đều ($|AE| = |AC|$; Hình 5). Giả sử $\widehat{ABC} = \alpha$ hãy tìm các góc còn lại của tam giác ABC. Góc $\alpha$ có thể là bao nhiêu?

Lời giải. Hình 5 gợi ý cách dựng các điểm trên mặt phẳng A, E và D và $\widehat{ADE} = 30^\circ$, phù hợp với các điều kiện bài toán, để dựng tam giác ABC. Chúng ta hãy tiếp tục vẽ các đoạn AC và EC cho đến khi chúng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED tại các điểm

Hình 7.

G và F tương ứng (trong Hình 5, đây là một đường tròn có tâm tại điểm $O_1$).

Tam giác ACF đồng dạng với tam giác CEB ($\widehat{AFC} = \widehat{EDA} = \widehat{ECB} = 30^\circ$; $\widehat{ACF} = 180^\circ - \widehat{GCF} = 180^\circ - \widehat{ACE} = 180^\circ - \widehat{AEC}$); có nghĩa là $\widehat{FAC} = \alpha$. Vì vậy $\widehat{ACB} = \widehat{ACE} + 30^\circ = \alpha + 30^\circ + 30^\circ = \alpha + 60^\circ$, $\widehat{CAB} = 120^\circ - 2\alpha$.

Bây giờ, áp dụng đẳng thức, chúng ta nhận được $\alpha < 60^\circ$.

Bây giờ - bài toán đã hứa, trong đó xảy ra một góc 47°.

Bài toán 5. Trong tứ giác BGEC (BE và GC là các đường chéo của nó, xem Hình 6) $\widehat{EBC} = 30^\circ$, $\widehat{BCG} = 26^\circ$, $\widehat{GCE} = 51^\circ$, $\widehat{GEB} = 13^\circ$. Tên sẽ được thực hiện bởi BGC.

Lời giải. Trên các cạnh BC và EC của tứ giác này, chúng ta sẽ dựng một tam giác đều: $\triangle BAC$ và $\triangle EFC$ (trong Hình 7, các đường viền của chúng được biểu thị bằng màu đỏ và xanh lam tương ứng). Từ điểm E, trên cạnh GE, vẽ đoạn DE sao cho $|DE| = |EC|$, rồi nối điểm A với các điểm D và E. Ta thu được tam giác đều ADE, bằng tam giác EFC (toàn bộ fi-

39

Nhóm BAEC đối xứng với (BE)).

Hãy nối điểm F với điểm B, điểm D với điểm B và C (xem Hình 8). Tam giác ADB bằng tam giác AEC (hai cạnh và góc xen giữa); vì ΔAEC là đẳng giác nên ΔADB cũng đẳng giác. Các tam giác ADB và BFC đối xứng với (BE), và do đó cũng bằng nhau; $\widehat{BAD} = \widehat{BCF} = 17^\circ$. Điều này có nghĩa là $\widehat{ADB} = 146^\circ$ và $BDE = 360^\circ - \widehat{ADB} - 60^\circ = 154^\circ$, tức là $\widehat{BDC} = 180^\circ - \widehat{BDE} = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ = \widehat{BCG}$, và do đó có thể mô tả một đường tròn xung quanh tứ giác BGDC. Góc BGC và góc BDC trong đường tròn này cùng chung một cung nên bằng nhau.

Nhưng $\widehat{BDC} = 154^\circ - \widehat{EDC}$, trong đó $\widehat{EDC}$ là góc đáy của tam giác đều DEC, có góc ở đỉnh là 86°; do đó, $\widehat{EDC} = 47^\circ$ và $\widehat{BDC} = \widehat{BGC} = 107^\circ$.

Điều kiện của bài toán này cũng có thể khái quát hóa được.

Bài toán 5’. Trong tứ giác BGEC (BE và GC là các đường chéo của nó)

$$\widehat{EBC} = 30^\circ, \widehat{GCB} = \alpha, \widehat{GEB} = \frac{\alpha}{2},$$

$$\widehat{GCE} = 90^\circ - \frac{3}{2}\alpha.$$