Lời giải bài toán M379, M381—M384; F387—F392

27

F434. Lượng nhiệt trên điện trở $R$ là bao nhiêu khi trạng thái cân bằng được thiết lập sau khi đóng công tắc $K$ (Hình 2), nếu tụ điện được sạc trước đến hiệu điện thế $2U$? E.m.f. nguồn $U$, điện dung $C$. Điện trở trong của nguồn không đáng kể.

F435. Trong sơ đồ như ở Hình 3, khớp nối $M$ được gắn vào hai lò xo giống hệt nhau có hằng số lò xo là $k=10 \text{ н/м}$. Khớp nối có thể trượt dọc theo thanh ngang $AB$ mà không bị ma sát. Hệ thống quay với vận tốc góc không đổi $\omega=4,4 \text{ rad/сек}$ quanh một trục thẳng đứng đi qua giữa thanh. Tìm chu kỳ dao động nhỏ của khớp nối. Trọng lượng khớp nối $m=0,2 \text{ ке}$.

Ở giá trị nào $\omega$ thì khớp nối sẽ không rung động?

F436. Mật độ của khí bao gồm hỗn hợp helium và argon ở áp suất $152 \text{ кн/м}^2$ và nhiệt độ $27^\circ\text{C}$ bằng $2,00 \text{ ке/м}^3$. Có bao nhiêu nguyên tử heli trong hỗn hợp khí $1 \text{ cm}^3$?

F437. Một khung dây hình tam giác vuông có góc $\alpha=30^\circ$ được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng như hình 4. Hai vật nặng có khối lượng $m_1=0,1 \text{ ке}$ và $m_2=0,3 \text{ ке}$ nối với nhau bằng một sợi dây có thể trượt dọc theo sợi dây mà không ma sát. Lực căng của sợi dây và góc $\beta$ ở vị trí cân bằng của vật nặng là bao nhiêu? Trạng thái cân bằng này có ổn định không?

Lời giải bài toán
M379, M381 — M384; F387 — F392

M379. Trên mỗi mảnh giấy có hình dạng ngẫu nhiên đều có một dấu (có hình dạng tùy ý). Chúng ta hãy gọi một tờ giấy thấm phù hợp cho một mảnh nhất định nếu nó có thể được khuấy bên trong mảnh đó để nó che phủ tờ giấy thấm. Giả sử một bộ giấy thấm có hình tròn có bán kính khác nhau có tính chất tối đa: với hai mảnh cho trước bất kỳ thì có một giấy thấm phù hợp cho mỗi mảnh đó. Chứng minh rằng mô hình trong bộ này chứa một giấy thấm thích hợp cho tất cả các mảnh.

Hãy xem xét một mảnh giấy. Đặt $p$ và $P$ là các bản vẽ có bán kính nhỏ nhất và lớn nhất phù hợp với một mảnh nhất định.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng một miếng giấy thấm tròn $P$ có bán kính trung gian bất kỳ cũng phù hợp với mảnh này. (Lưu ý rằng đối với các giấy thấm có hình dạng khác - ví dụ: đối với các hình chữ nhật có đệm - nói chung, một tuyên bố tương tự là sai.) Đặt các vòng tròn $p$ và $P$ nằm trên mảnh sao cho mỗi vòng tròn che phủ giấy thấm. Sau đó, vòng tròn $P$ có thể được định vị sao cho nó nằm trong liên kết và chứa giao điểm của $p$ và $P$ (Hình 1):

klyaska $\subset (p \cap P) \subset \Pi \subset (p \cup P) \subset \text{кусок}$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định bài toán. Chúng ta hãy đặt một đoạn $[r, R]$ của trục số tương ứng với mỗi mảnh $n$ đã cho, trong đó $r$ và $R$ là bán kính của giấy thấm nhỏ nhất và ít phù hợp nhất cho nó. Theo điều kiện thì hai đoạn thẳng bất kì đều có một điểm chung.

Đặt $p$ là phần lớn nhất trong số các đầu bên trái của các đoạn này; con số này $p$, rất indo, không nhỏ hơn đầu bên trái của bất kỳ từ nào-

28

cắt và không lớn hơn điểm cuối bên phải nhỏ nhất, tức là $\rho$ thuộc tất cả các đoạn $n$.

Số $\rho$ là bán kính của một số giấy thấm của chúng tôi. Nó đã được chứng minh rằng nó sẽ phù hợp với tất cả các phần.

Trong phần cuối cùng lời giải chúng tôi sử dụng phiên bản một chiều của lý thuyết. Chết tiệt, đối với các hình lồi trên mặt phẳng: nếu bất kỳ ba hình nào trong số $n$ lồi có một điểm chung, thì tất cả các hình $n$ đều có một điểm chung - đối với các hình lồi trên một đường thẳng, tức là đối với các đoạn thẳng, chỉ cần hai hình bất kỳ có một điểm chung là đủ.

N. Vasiliev

Lời giải bài toán M380 sẽ được đăng trong số tiếp theo của tạp chí chúng tôi.

M381. 6 nhà hoạt động giai cấp giáo dục và 30 ủy ban khác nhau. Mỗi hai khoản hoa hồng khác nhau về thành phần, nhưng nhất thiết phải “chồng lên nhau”, tức là chúng có một tên chung. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có thể hình thành một ủy ban khác giao với mỗi ủy ban trong số 30 ủy ban này.

Hình 1.

M382. Cho một đa thức $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$ với các hệ số đích và số tự nhiên $k$ và $p$. Hãy chứng minh rằng nếu không có số $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ nào chia hết cho $p+1$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm hữu tỷ.

Không khó để chứng minh rằng một tập hợp $n$ có chính xác $2^n$ tập hợp con. Cụ thể, về nguyên tắc, sáu nhà hoạt động có thể tạo thành 64 khoản hoa hồng (bao gồm cả khoản hoa hồng “trống”).

Chúng ta hãy chia tất cả 64 tập hợp con có thể có của tập hợp các nhà hoạt động thành từng cặp; trong mỗi cặp có hai tập hợp con rời nhau $A$ và $A',$ hợp của chúng là tất cả các tập hợp này (Hình 2). Vì có 32 cặp và hoa hồng là 30 nên trong mỗi cặp cả hai tập hợp con đều không trống và không phải là hoa hồng. Hãy xem xét một trong các tập hợp con $A$. Nếu nó giao với tất cả 30 hoa hồng thì bài toán lời giải. Nếu nó không giao với bất kỳ khoản hoa hồng nào $B$ thì tập hợp con thứ hai từ cặp đã chọn $A$ chứa khoản hoa hồng này $B$ và vì $B$ giao với tất cả các khoản hoa hồng khác, nên tập hợp con $A \supset B$ được xem xét - thậm chí còn hơn thế.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng hơn 32 khoản hoa hồng, tùy thuộc vào các điều kiện tạo ra, nói chung là không thể (chứng minh điều đó!).

S. Fomin

Trước hết, hãy lưu ý rằng nếu phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm này là một số nguyên. Thật vậy, giả sử $p/q$, trong đó $p$ và $q$ là nguyên tố cùng nhau, là nghiệm của phương trình của chúng ta. Khi đó $p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + \dots + a_nq^n = 0$, ngụ ý rằng $p$ không nguyên tố cùng nhau với $q$.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng phương trình $f(x)$ là nghiệm nguyên $x_0 = m$, tức là $f(m) = 0$. Khi đó, theo định lý Bezout, ta có thể biểu diễn đa thức $f(x)$ dưới dạng

$$f(x) = (x - m)g(x),$$

trong đó $g(x)$ là đa thức có hệ số nguyên.

Thay thế tương ứng (*) với $x$ các giá trị $k, k+1, \dots, k+p$, ta thu được

$$f(k) = (k - m)g(k),$$

$$f(k+1) = (k+1 - m)g(k+1),$$

$$f(k+p) = (k+p - m)g(k+p).$$

Vì một trong $p+1$ số nguyên liên tiếp $k - m, k+1 - m, k+2 - m, \dots, k+p - m$ chia hết cho $p+1$, nên một trong các số $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ chia hết cho $p+1$. Từ đó suy ra rằng đa thức được thảo luận ở bài toán không có nghiệm nguyên.

T. Raikov

29

M383. Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Hãy chứng minh rằng nếu $ab$ là số nguyên thì chúng ta cũng có thể tìm được các số tự nhiên $c$ và $d$, $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$ đó, và nếu $ab$ không phải là số nguyên thì không thể tìm được các cực đại $c$ và $d$.

Hình 3.

M384. Hai hình vuông có hướng giống hệt nhau $OABC$ và $OA_1B_1C_1$ có ​​một đỉnh chung $O$. Hãy chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ đi qua một điểm.

Hình 4.

F387. Hai con bellosipedis trong rạp xiếc có vận tốc tuyến tính giống hệt nhau $v$ dọc theo các đường tròn có bán kính $R_1$ và $R_2$, tâm của chúng cách nhau một khoảng $l$ ($l < R_1 + R_2$). Một trong những cơ thể hình chuông di chuyển theo chiều kim đồng hồ, cái còn lại ngược chiều kim đồng hồ. Được mô tả cụ thể bằng tốc độ của các đường tròn (trong hệ tọa độ liên kết với một trong số chúng) tại thời điểm cả hai đều nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn, tại các điểm: a) $A_1$ và $A_2$; b) $A_1$ và $B_2$; c) $B_1$ và $B_2$; e) $B_1$ và $A_2$ (Hình 5).

1). Để $ab$ chẵn.

a) Nếu $a$ và $b$ có số chẵn lẻ khác nhau (một cái chẵn, cái kia không), thì $a^2 + b^2 = 2N + 1$. Sau đó, chúng tôi đặt $c = N$, $d = N + 1$. chúng tôi nhận được
$$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N + 1 = a^2 + b^2.$$

6. Nếu $a$ và $b$ đều chẵn thì $a^2 + b^2 = 4N$. Trong trường hợp này, chúng tôi đặt $d = N + 1$, $c = N - 1$. Sau đó
   $$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N \cdot 2 = a^2 + b^2.$$

2). Đặt $ab$ lẻ: $ab = 2n + 1$. Khi đó các số $a$ và $b$ đều là số lẻ và tổng của chúng là số chẵn: $a + b = 2m$. Chúng tôi có:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4m^2 - 4n - 2,$$
nghĩa là, $a^2 + b^2$ chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4. Do đó, $a^2 + b^2 \neq d^2 - c^2$ không chia hết cho bất kỳ $c$ và $d$ tự nhiên nào: nếu $c$ và $d$ có cùng số chẵn lẻ (cả hai đều chẵn hoặc cả hai số lẻ), thì $d^2 - c^2 = (d + c)(d - c)$ chia hết cho 4 và nếu $d$ và $c$ có tính chẵn lẻ khác nhau thì $d^2 - c^2$ không chia hết cho 2.

M. Gerver

lời giải của chúng tôi sẽ chỉ ra rằng phát biểu tương tự cũng đúng đối với các $n$-giác đều có một đỉnh chung và nói chung đối với các $n$-giác $OAB \dots Z$ và $OA_1B_1 \dots Z_1$ nội tiếp tương tự.

Chúng ta hãy mô tả các vòng tròn xung quanh cả hai $n$-giác. Để chúng giao nhau tại các điểm $O$ và $L$ (Hình 3). Nếu đường thẳng $l$, đi qua $L$, quay đều quanh $L$ với vận tốc góc $\omega$, thì giao điểm thứ hai $M$ và $M_1$ của đường thẳng $l$ với cả hai đường tròn chuyển động, mỗi đường dọc theo chu vi riêng của nó, đều có vận tốc góc $2\omega$ (độ lớn $\overline{OM}$ và $\overline{OM}_1$ có độ lớn gấp đôi $\widehat{MLO} = \widehat{M_1LO}$). Do đó, điểm $M_1$ đi qua các đỉnh $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ của đa giác $OA_1B_1 \dots Z_1$ chính xác tại những thời điểm khi $M$ lần lượt đi qua các đỉnh $O$, $A$, $B$, …, $Z$ của đa giác $OAB \dots Z$. Từ đây rõ ràng tất cả các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ cắt nhau tại một điểm - điểm $L$, giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp xung quanh $(рис. 4)$.

N. Vasiliev

Trong điều kiện bài toán tốc độ của mỗi đỉnh $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ của đa giác $OA_1B_1 \dots Z_1$ được đưa ra chính xác tại những thời điểm khi $M$ lần lượt đi qua các đỉnh $O$, $A$, $B$, …, $Z$ đa giác $OAB \dots Z$. Từ đây rõ ràng tất cả các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ cắt nhau tại một điểm - điểm $L$, giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp xung quanh $(рис. 4)$.

Điều kiện yêu cầu tìm một hệ tọa độ tương đối (ví dụ, được liên kết với đấu trường xiếc). Tốc độ này thường được gọi là tốc độ tuyệt đối.

Theo điều kiện, cần tìm tốc độ tương đối về độ lớn của tốc độ của nó so với hệ tọa độ chuyển động liên kết với một trong số chúng) tại thời điểm cả hai đều nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn, tại các điểm: a) $A_1$ và $A_2$; b) $A_1$ và $B_2$; c) $B_1$ và $B_2$; e) $B_1$ và $A_2$ (Hình 5).

30

Vận tốc của xe thứ hai tại điểm $A_2$ bằng

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 A_2 = \frac{v}{R_1} (l + R_2),$$

và tại điểm $B_2$ -

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 B_2 = \frac{v}{R_1} (l - R_2).$$

Tại cả hai điểm, vận tốc truyền vuông góc với phương truyền trực tiếp
của tôi $A_1 A_2$ và hướng theo một hướng (trong Hình 6 -
hướng lên).

Vận tốc điểm tuyệt đối, tương đối và di động
liên quan bởi mối quan hệ

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отт}} + \vec{v}_{\text{пер}},$$

tức là tốc độ tuyệt đối luôn bằng vectơ (địa lý)
số liệu) tổng tốc độ tương đối và tốc độ tượng trưng.
Kể từ đây,

$$\vec{v}_{\text{отт}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}.$$

Chúng ta hãy tìm vận tốc tương đối của chiếc xe đạp thứ hai khi nó ở điểm $A_2$. Trong trường hợp này, tốc độ tuyệt đối bằng $$\vec{v}_{\text{абс}} = v$$ theo mô hình và hướng xuống dưới (Hình 7), còn tốc độ di động theo mô hình bằng $$\vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l + R_2)$$ và hướng lên trên. Vì thế

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v + \frac{v}{R_1} (l + R_2) = v \frac{R_1 + R_2 + l}{R_1}.$$

Tốc độ này đã được điều chỉnh xuống dưới. Kết quả thu được không phụ thuộc vào điểm mà chuyển động đầu tiên diễn ra tại một thời điểm nhất định.

Tại thời điểm tốc độ thứ hai ở điểm $B_2$, $$\vec{v}_{\text{абс}} = v, \quad \vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l - R_2)$$ và cả hai tốc độ đều có hướng như nhau (lên trong Hình 7). Do đó, tại thời điểm này vận tốc của xe đạp thứ hai so với xe thứ nhất theo mô hình

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v - \frac{v}{R_1} (l - R_2) = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_1}$$

và hướng lên trên. Kết quả này cũng không phụ thuộc vào chuyển động đầu tiên nằm ở điểm nào tại thời điểm nhất định.

Tốc độ của chiếc xe đạp thứ nhất được xác định theo cách hoàn toàn tương tự trong hệ tọa độ liên kết với chiếc thứ hai. Tại điểm $A_1$ hướng xuống dưới và bằng theo mô hình

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{l + R_1 + R_2}{R_2},$$

và tại điểm $B_1$ tốc độ tương đối hướng lên trên và theo mô hình, bằng

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_2}.$$

F388. Trong một hình trụ thẳng đứng có tiết diện thay đổi (Hình 8), giữa các pít-tông có các mol không khí. Khối lượng của piston lần lượt là $m_1$ và $m_2$, diện tích của chúng lần lượt là $S_1$ và $S_2$. Các bộ phận được nối với nhau bằng một thanh $l$ và được đặt ở những khoảng cách bằng nhau tính từ khớp nối của các bộ phận

32

Hình 11.

trong Hình 10, có thể được thay thế bằng các mạch tương đương như trên Hình 12. Trong trường hợp này (Hình 12, a)
$$R_{AB} = R_{BC} = R + R_1 \text{ и } R_{AC} = 2R.$$

Hình 12.

Chúng ta sẽ tìm các điện trở $R_{A'B'}$ và $R_{A'C'}$ bằng cách thay thế liên tiếp một số điện trở mắc song song hoặc nối tiếp bằng một điện trở. Dành cho người tham gia $A'B'$ (Hình 13)
$$R_{A'B'} = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**}}{r + R^{**}} =$$
$$= 2r + \frac{r(R + R^*)}{r + R + R^*} = 2r + r \frac{R^2 + 2R_1R + R_1r + Rr}{(r + R)^2 + 2(r + R)R_1}.$$

Khi tính toán điện trở $R_{A'C'}$, chúng tôi tính đến các điểm $O$ và $E$ (Hình 14), do mạch đối xứng nên có cùng điện thế và do đó có thể loại trừ điện trở $R_1$ một cách đơn giản. Kết quả là chúng tôi nhận được
$$R_{A'C'} = 2r + R' = 2r + \frac{2rR}{r + R}.$$
Vì $R_{AC} = R_{A'C'}$,
$$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R},$$
Ở đâu
$$R = \frac{1}{2}r(1 + \sqrt{5}).$$

Hình 13.

35

tôi. Hệ số tranh chấp giữa đế và các trụ là k. Chứng minh rằng nếu con tàu ở vị trí cân bằng đứng yên theo phương nằm ngang thì nó sẽ thực hiện một dao động điều hòa và tìm chu kỳ của các dao động này. Chuyển động của bến tàu sẽ như thế nào nếu hướng của các hình trụ bị đảo ngược?

Hình 17.

Hình 18.

Khi các hình trụ quay theo hướng đã chỉ ra trong các điều kiện, lực tác dụng từ hình trụ bên trái sẽ hướng sang phải và từ hình trụ bên phải - sang trái (xem Hình 17). Nếu bến tàu ở trạng thái cân bằng thì lực ma sát có mô đun bằng nhau. Do đó, phản lực pháp tuyến của mỗi xi lanh cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là trọng tâm của các bến ở trạng thái cân bằng có cùng khoảng cách với mỗi bến.

Bây giờ, để đế được dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng của nó một khoảng $x < l/2$, chẳng hạn như về bên phải (Hình 18).

Ở vị trí này, các lực áp suất bình thường $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$ sẽ không còn bằng nhau và do đó sẽ không bù trừ lẫn nhau và các lực ma sát khô $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$. Lực tạo ra $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ sẽ truyền gia tốc theo phương ngang cho bến tàu.

Chúng ta hãy tìm nó bằng cách tính sơ bộ $|\vec{N}_1|$ và $|\vec{N}_2|$ từ điều kiện không có gia tốc thẳng đứng:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{N}_2| - M |\vec{g}| = 0$$

và điều kiện để mômen ngoại lực của trục tương đối đi qua điểm $B$ bằng 0:

$$|\vec{N}_2| \left( \frac{l}{2} - x \right) - |\vec{N}_1| \left( \frac{l}{2} + x \right) = 0.$$

Từ đây

$$|\vec{N}_1| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{l} \right), \quad |\vec{N}_2| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{l} \right).$$

Do đó, quá trình F của lực sinh ra trên trục X hướng về bên phải bằng

$$F = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = k |\vec{N}_1| - k |\vec{N}_2| = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x.$$

Chúng ta thấy rằng lực tạo ra tỷ lệ với mô đun của độ dịch chuyển $x$ bám sát vị trí cân bằng và hướng theo hướng ngược lại với độ dịch chuyển, tức là đến vị trí cân bằng. Do đó, lực này là lực phục hồi, tương tự như lực được tạo ra khi con lắc dao động. Do đó, bến tàu tạo ra những rung động hài hòa.

Chu kỳ dao động có thể được tìm bằng cách viết phương trình chuyển động của bến tàu. Đối với các hình chiếu trục X

$$Ma_x = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x, \quad a_x = - \frac{2k |\vec{g}|}{l} x.$$

Mô đun của hệ số tỉ lệ giữa độ dịch chuyển và gia tốc là bình phương tần số dao động tuần hoàn:

$$\omega_0^2 = \frac{2k |\vec{g}|}{l}.$$

Chu kỳ dao động

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2k |\vec{g}|}}.$$

Khi đảo ngược hướng quay của các hình trụ thì lực ngang sinh ra cũng sẽ thay đổi hướng của nó. Khi trộn dock, lực này sẽ không đưa nó về vị trí cân bằng mà ngược lại sẽ lấy đi càng nhiều thì sự trộn ban đầu càng lớn. Kết quả là đế sẽ rơi ra khỏi xi lanh.

Thiết bị đang được xem xét lần đầu tiên được đề xuất bởi Giáo sư N. E. Zhukovsky và mang tên ông.

B. Bukhovtsev