Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

48

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Trong số này của kurnal, chúng tôi công bố các mẫu lựa chọn cho bài kiểm tra viết môn toán được cung cấp cho các ứng viên vào một số khoa khoa học tự nhiên của Đại học Tổng hợp Mátxcơva vào năm 1976. (Phiên bản của Khoa Cơ học và Toán học, Khoa Vật lý và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học của Đại học Quốc gia Mátxcơva sẽ được xuất bản trên một trong những số tiếp theo của tạp chí.) Chúng tôi nhắc nhở độc giả rằng kỳ thi tuyển sinh vào các khoa tự nhiên của Đại học Mátxcơva được tổ chức vào tháng 7.

Khoa Địa lý

1. Một máy bơm lớn bơm nhiều nước hơn 2 $m^3$ mỗi giờ so với máy bơm trung bình và một máy bơm trung bình bơm nhiều nước hơn 2 $m^3$ so với máy bơm nhỏ. Hai máy bơm vừa và hai máy bơm nhỏ chạy đầy một bể có dung tích 48 $m^3$. Ngay sau đó, hai máy bơm vừa và hai máy bơm lớn được bật lên làm đầy một bể khác có cùng dung tích. Toàn bộ công việc mất 9 giờ. Một máy bơm trung bình bơm được bao nhiêu mét khối nước mỗi giờ?

2. Giải phương trình
   $$4\sqrt{x+2} = |x+1|+4.$$

3. Giải phương trình
   $$1-\sin 2z=\cos z+\sin z.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{2}x) (x^2-10x+22)>0.$$

5. Trong hình thang $ABCD$, đường chéo $AC$ vuông góc với cạnh $CD$ và đường chéo $DB$ vuông góc với cạnh $AB$. Trên phần mở rộng của các cạnh bên $AB$ và $CD$ ngoài đáy nhỏ hơn $BC$ của hình thang, các đoạn $BM$ và $CN$ được đặt ra để thu được một hình thang mới $BMNC$, tương tự như hình thang $ABCD$. Tìm diện tích hình thang $ABCD$ nếu diện tích hình thang $AMND$ là $S$ và tổng các góc CAD và BDA là $60^\circ$.

Khoa Địa chất (khoa địa chất tổng hợp)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$2\log_{10}x=5+\log_x1000.$$

2. Trong carber lông cừu có hai phương tiện để loại bỏ đá. Vào đầu ngày làm việc, có 20 viên đá $m^3$ trong xe. Lúc đầu chỉ có băng tải đầu tiên hoạt động và nâng được 2/5 tảng đá. Sau đó, nó được tắt và đồng thời băng tải thứ hai được bật lên, nâng phần còn lại của tảng đá lên. Kết quả là mọi công việc được hoàn thành trong 4 giờ 20 phút. Nếu sử dụng đồng thời cả hai băng tải từ đầu đến cuối công việc thì phải mất 2 giờ mới nâng hết đá lên. Xác định tính ngẫu nhiên (lượng đá được nâng lên mỗi giờ) của mỗi lần vận chuyển, nếu biết rằng lần vận chuyển đầu tiên có nhiều đá hơn lần thứ hai.

3. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$-3\frac{|1-\cos x|}{1-\cos x}\sin x=\sin x-2\sin 2x.$$

4. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{1-x}-\sqrt{2y-x}=1, \\ \sqrt{1-2y}+\sqrt{2y-x}=4. \end{cases}$$

5. Trong hình bình hành $ABCD$ độ dài của đường chéo $|BD|=\sqrt{10}$ và các cạnh $|AB|=3$, $|BC|=1$ đã biết. Một đường tròn nằm trong mặt phẳng hình bình hành $ABCD$, bán kính $\sqrt{31/2}$ và có tâm tại điểm $B$, cắt đường tròn thứ hai đi qua các điểm $A$ và $C$. Biết rằng các tiếp tuyến đi qua một trong các giao điểm của các đường tròn này thì vuông góc với nhau. Tìm bán kính của hình tròn thứ hai.

Khoa Địa chất (khoa địa vật lý)

1. Hai ống được nối với bể trao đổi 24 $m^3$. Qua ống thứ nhất, nước chỉ có thể chảy ra với tốc độ 2 $m^3/4$, còn ống thứ hai chỉ có thể đổ đầy bể. Đầu tiên, khi bình rỗng, cả hai ống đều được mở cùng một lúc. Sau khi đổ đầy nước vào bể, ống thứ nhất được đóng lại, ống thứ hai tiếp tục đổ đầy nước vào bể. Kết quả là bể đầy nước trong 28 giờ 48 phút. Ống thứ hai cung cấp bao nhiêu nước mỗi giờ?

2. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{4}-x)}} (3\cos 2x-6\mathrm{tg}y+2)=0, \\ 18\sin^2 x-2\mathrm{tg}y-3=0. \end{cases}$$

3. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\frac{1}{2}\log_3+x^2 (x^2-6)^2<2+\frac{1}{12}\log \sqrt{2}-\frac{1}{64}.$$

49

4. Trong hình bình hành $ABCD$ tính từ cạnh $|AD|=12$ và đường chéo $|AC|=16$, một đoạn $EF$ được vẽ điểm nối $E$ của cạnh $BC$ với điểm $F$ của đường chéo $BD$. Điểm $E$ và $F$ được chọn sao cho $\frac{|EC|}{|EF|} = \frac{1}{4}, \frac{|FD|}{|BF|} = \frac{1}{3}$.

Được biết, điểm $M$ giao điểm của đường chéo $AC$ với đoạn $EF$ chia đoạn này theo tỷ lệ $\frac{|EM|}{|MF|} = \frac{1}{3}$. Tìm độ dài cạnh $AB$ và đường chéo $BD$.

5. Tìm tất cả các số $p$ trong đó có một số duy nhất $x$ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: $\sin \pi x=0, (2x+14p^2-7)(4x-4p^2-15) \leq 0$.

Khoa Khoa học Bưu chính

1. Từ các thành phố $A$ và $B$ hai chuyến tàu tiếp cận nhau cùng một lúc. Họ di chuyển không ngừng với tốc độ không đổi và gặp nhau sau 30 giờ rời đi. Tìm xem mỗi chuyến tàu mất bao lâu để đến đích nếu chuyến tàu đầu tiên đến điểm $B$ muộn hơn 25 giờ so với chuyến tàu thứ hai đến điểm $A$.

2. Cho một hình thang đều, chiều dài đáy trên bằng nửa chiều dài đáy dưới. Xác định xem đáy dưới được chia cho một đường thẳng song song với đường chéo, đi xuống dưới và cắt một hình tam giác có diện tích nhỏ hơn 4 lần diện tích hình thang.

3. Giải phương trình
   $$2(\sin^2 2x+1)=\sin 8x+6\cos^2 2x.$$

4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\alpha$ sao cho tổng bình phương các nghiệm của phương trình
   $$x^2+x\cos \alpha-\frac{\sin 2\alpha}{2}-1=0$$
   $\sqrt{2/2}$ lớn hơn nghiệm lớn hơn của phương trình
   $$x^2-x(3+\sin^2\alpha)+\sin^2\alpha+2=0.$$

5. Giải phương trình $\log_{x-1}(1+2x^4-x^6)<0$.

Khoa Sinh học

1. Giải phương trình
   $$|\cos x-\sin x|=1+\sin 2x.$$

2. Giải phương trình
   $$\log_x\frac{1}{7}+\log_{\frac{1}{7}}x>10|\log_{\frac{1}{7}}x|.$$

3. Có hai dung dịch nước số 1 và số 2 của các chất $A$ và $B$, nhiều sự không phù hợp khác nhau của các chất $A$, $B$ và nước. Trong dung dịch số 1 có lượng chất $B$ gấp 4 lần chất $A$ và lượng nước bằng chất $B$. Bằng cách trộn 3 kera của dung dịch số 1, 6 kera của dung dịch số 2 và thêm 1 kera nước, chúng ta thu được một dung dịch mới trong đó chất $A$ nhỏ hơn chất $B$ 2 lần và ít hơn nước 3 lần. Cần xác định tỉ lệ khối lượng của các chất $A$, $B$ và nước trong dung dịch số 2.

4. Hình tròn có tâm $O_1$ được viết thành hình thang đều. Một hình tròn khác có tâm $O_2$ nằm bên ngoài hình tròn tiếp xúc với đáy lớn và cạnh của hình thang. Cả hai đường tròn cắt nhau và có một dây chung $MN$. Được biết, $\widehat{MO}_1N=60^\circ, \widehat{MO}_2N=120^\circ, |MN|=2$. Tìm diện tích của hình thang.

5. Chứng minh rằng phương trình $2x-x^2=\frac{2}{x}$ không dương lời giải.

Khoa Hóa học

1. Máy xúc được giao nhiệm vụ đào ba con kênh giống hệt nhau. Máy xúc thứ nhất và thứ hai có mặt để làm việc cùng lúc. Người thứ ba bắt đầu công việc khi người thứ hai đã đào được 1/5 số kênh của mình và kết thúc khi người thứ nhất phải đào được 1/4 số kênh của mình. Năng suất của máy đào thứ hai kém hơn 2 m/h và năng suất của máy đào thứ nhất thấp hơn năng suất của máy đào thứ ba là 4 m/h. Tìm một máy xúc thứ ba hiệu quả.

2. Giải bất đẳng thức
   $$2x^2-|x|\log_3 78+\log_3 26<1.$$

3. Trong tam giác $ABC$, xe đạptris $BD$ được vẽ. Giá trị của các góc $ADB$, $BAD$, $ABD$, $ACB$ theo thứ tự này tạo thành một cấp số cộng. Tìm độ dài đường cao của tam giác $ABC$ rơi từ đỉnh $C$ nếu biết rằng $|AB|=1$.

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$4-2\sin x-3\cos x= =4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}(2-\sin x-2\cos x),$$
   đó cũng là nghiệm của phương trình
   $$2\sin x=\text{ctg}x+3\text{tg}^2x+\sqrt{3}$$

5. Trong kufa $ABCDA'B'C'D'$, trong đó $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$ và $[DD']$ là các cạnh song song, mặt phẳng đi qua đường chéo $A'C'$ của mặt khối lập phương và đi qua giữa cạnh $AD$. Tìm khoảng cách từ giữa cạnh $AB$ đến mặt phẳng $π$, nếu chiều dài cạnh hình lập phương là 3.