Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

48

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

В этом номере курнала мы публикуем образцы вариантов письменного экзамена по математике, предлагавшихся поступающим на некоторые естественные факультеты МГУ в 1976 году. (Вариант механико-математического, физического факультетов и факультета вычислительной математики и киберnetики МГУ будет опубликованы в одном из следующих номеров курнала.) Напомним читателям, что вступительные экзамены на естественных факультетов Московского университета проводятся в июле.

Географический факультет

1. Большой насос перекачивает за час на 2 $m^3$ воды больше, чем средний, а средний — на 2 $m^3$ больше, чем малый насос. Два средних и два малых насоса, работаемые наполнили резервуар емкостью 48 $m^3$. Сразу после этого были включены два средних и два больших насоса, которые наполнили другой резервуар той же емкости. На всю работу затрачно 9 часов. Сколько кубометров воды перекачивает в час средний насос?

2. Решить уравнение
   $$4\sqrt{x+2} = |x+1|+4.$$

3. Решить уравнение
   $$1-\sin 2z=\cos z+\sin z.$$

4. Решить неравенство
   $$\log \frac{1}{2}x) (x^2-10x+22)>0.$$

5. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перpendикулярна боковой стороны $CD$, а диагональ $DB$ перpendикулярна боковой стороны $AB$. На продолжениях боковых сторон $AB$ и $CD$ за меньше основание $BC$ трапеции отложены отрезки $BM$ и $CN$ так, что получается новая трапеция $BMNC$, подбная трапеции $ABCD$. Найти площадь трапеции $ABCD$, если площадь трапеции $AMND$ равна $S$, а сумма величины углов CAD и BDA равна $60^\circ$.

Геологический факультет (отделение общего геологии)

1. Найти все решения уравнения
   $$2\log_{10}x=5+\log_x1000.$$

2. В руном карбере имеются два транспорта для подема породы. В начале рабочего дня в карбере было 20 $m^3$ породы. Сначала рабочего только первый транспортер и поднял 2/5 части породы. Затем его выключили и одновременно включили второй транспортер, который поднял всего остальной породу. В результате все работа была завершена за 4 часа 20 минут. Если бы с начала и до конца рабочего одновременно оба транспортера, то на подъем все породы потребовались бы 2 часа. Определять произвольность (количество поднимаемой в час породы) каждого транспорта, если известно, что у первого транспорта она больше, чем у второго.

3. Найти все решения уравнения
   $$-3\frac{|1-\cos x|}{1-\cos x}\sin x=\sin x-2\sin 2x.$$

4. Найти все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{1-x}-\sqrt{2y-x}=1, \\ \sqrt{1-2y}+\sqrt{2y-x}=4. \end{cases}$$

5. В параллелограмме $ABCD$ известны длины диагонали $|BD|=\sqrt{10}$ и сторон $|AB|=3$, $|BC|=1$. Окружность, лежащая в плоскости параллелограмма $ABCD$, радиуса $\sqrt{31/2}$ с центром в точке $B$ пересекается со второй окружностью, которая проходит через точки $A$ и $C$. Известно, что касательные, проведенные через одну из точек пересечения этих окружностей, взаимно перпендикулярны. Найти радиус второй окружности.

Геологический факультет (отделение геофизики)

1. К резервуару обмена 24 $m^3$ подведены две трубы. Через первую трубу вода может только выливаться со скоростью 2 $m^3/4$, а вторая труба может только наполнять резервуар. Вначале, когда резервуар был пуст, одновременно открыли обе трубы. После того как резервуар оказался наполненным наполивну, первую трубу закрыли, а вторая продолжала наполнить резервуар. В результате резервуар был заполнен за 28 часов 48 минут. Какое количество воды в час подает вторая труба?

2. Найти все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{4}-x)}} (3\cos 2x-6\mathrm{tg}y+2)=0, \\ 18\sin^2 x-2\mathrm{tg}y-3=0. \end{cases}$$

3. Найти все решения неравенства
   $$\frac{1}{2}\log_3+x^2 (x^2-6)^2<2+\frac{1}{12}\log \sqrt{2}-\frac{1}{64}.$$

49

4. В параллелограмме $ABCD$ со стороны $|AD|=12$ и диагональ $|AC|=16$ проведен отрезок $EF$, соединяющий точку $E$ стороны $BC$ с точкой $F$ диагонали $BD$. Точки $E$ и $F$ выбраны таким образом, что $\frac{|EC|}{|EF|} = \frac{1}{4}, \frac{|FD|}{|BF|} = \frac{1}{3}$.

Известно, что точка $M$ пересечения диагонали $AC$ с отрезком $EF$ делит этот отрезок в отношении $\frac{|EM|}{|MF|} = \frac{1}{3}$. Найти длины стороны $AB$ и диагонали $BD$.

5. Найти все числа $p$, при которых существует единственное число $x$, удовлетворящее одновременное следующим условием: $\sin \pi x=0, (2x+14p^2-7)(4x-4p^2-15) \leq 0$.

Факультет почтоведения

1. Из городов $A$ и $B$ настручу друг друга одновременно вышили два поезда. Они дивигались без остановок с постоянной скоростью и встретились через 30 часов после выхода. Найти, сколько времени был в пути до пункта назначения каждой поезда, если первый поезд прибил в пункт $B$ на 25 часов позже, чем второй прибил в пункт $A$.

2. Дана равноведенная трапеция, у которой длина верхнего основания вдвоем меньше длины нижнего. Определить, в каком относении делит нижнее основание прямая, которая параллельна диагонали, проходит ниже и отсекает треугольник площадью в 4 раза меньше площади трапеция.

3. Решить уравнение
   $$2(\sin^2 2x+1)=\sin 8x+6\cos^2 2x.$$

4. Найти все значения параметра $\alpha$, при которых сумма квадратов корней уравнения
   $$x^2+x\cos \alpha-\frac{\sin 2\alpha}{2}-1=0$$
   на $\sqrt{2/2}$ больше, чем больший корень уравнения
   $$x^2-x(3+\sin^2\alpha)+\sin^2\alpha+2=0.$$

5. Решить уравнение $\log_{x-1}(1+2x^4-x^6)<0$.

Биологический факультет

1. Решить уравнение
   $$|\cos x-\sin x|=1+\sin 2x.$$

2. Решить уравнение
   $$\log_x\frac{1}{7}+\log_{\frac{1}{7}}x>10|\log_{\frac{1}{7}}x|.$$

3. Имеются два водных растора №1 и №2 веществ $A$ и $B$, различной несоответствия веществ $A$, $B$ и воды. В расторе №1 вещества $B$ в 4 раза больше, чем вещества $A$, а воды столько же, сколько вещества $B$. Смешав 3 кера растора №1, 6 кера растора №2 и добавив 1 кера воды, получим новый растор, в котором вещества $A$ в 2 раза меньше, чем вещества $B$, и в 3 раза меньше, чем воды. Требуется определить весовое соотношение веществ $A$, $B$ и воды в расторе №2.

4. В равноведенную трапециюписана окружность с центром $O_1$. Другая окружность с центром $O_2$, расположенным внеписаного круга, касается большого основания и боковой стороны трапеции. Обе окружности пересекаются и имеют общую хорду $MN$. Известно, что $\widehat{MO}_1N=60^\circ, \widehat{MO}_2N=120^\circ, |MN|=2$. Найти площадь трапеции.

5. Доказать, что уравнение $2x-x^2=\frac{2}{x}$ не имеет положительных решений.

Химический факультет

1. При эскаваторика получили задание вырыть три одинаковые каналы. Первая и второй эскаваторики присутствили к работе одновременно. Третья начал работу, когда второй вырыл пятую часть своей каналы, а закончил, когда первому оставалось вырыть четверту часть своей каналы. Производительное второго эскаватора на 2 м/ч меньше, а производительное первого — на 4 м/ч меньше, чем производительное третьего эскаватора. Найти производительное третьего эскаватора.

2. Решить неравенство
   $$2x^2-|x|\log_3 78+\log_3 26<1.$$

3. В треугольнике $ABC$ проведена bicкестриса $BD$. Величины углов $ADB$, $BAD$, $ABD$, $ACB$ в указанном порядке образуютарифметическую прогрессию. Найти длину высоты треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$, если известно, что $|AB|=1$.

4. Найти все решения уравнения
   $$4-2\sin x-3\cos x= =4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}(2-\sin x-2\cos x),$$
   которые одновременно являются и решениями уравнения
   $$2\sin x=\text{ctg}x+3\text{tg}^2x+\sqrt{3}$$

5. В куфе $ABCDA'B'C'D'$, где $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$ и $[DD']$ — параллельные ребра, плоскость проходит через диагональ $A'C'$ грани куба и через середину ребра $AD$. Найти расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости $π$, если длина ребра куба равна 3.