Задачи М421—М425; Ф433—Ф437

26

Задачи
M421 — М425; Ф433 — Ф437

M421*. При каких натуральных $m$ и $n$ ($m < n$) можно закрасть некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в черный цвет так, чтобы любой прямогольник размер $m \times n$ содержалровно одну черную клетку? Начните с более простой задачи: рассмотрите случай $m=2$ и $n=3, 4, 5$ (рис. 1).

С. Охитин, ученник 10 класса

M422. Разбейте произвольный треугольник на семь равноведренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.

А. Хабелашвили

M423*. Докажите, что для любых действительных $x, y$ и $z$ выполнен неравенство
$(x^2 + y^2 - z^2)(x^2 + z^2 - y^2)(y^2 + z^2 - x^2) \leqslant (x + y - z)^2(x + z - y)^2(y + z - x)^2$.

Р. Шейчвит

M424. Через каждую вершину tetraэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.

А. Ягубьянц

M425*. Существует ли такое натуральное $N$, что каждое рациональное число между и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных натуральным?

Ф433. Две одинаковые плоско-выпukлы линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см каждый расположены на расстоянии 30 см друг от друга. Оптические оси линз совпадают, линзы обращены друг к другу плоскими сторонами. Где будет находиться изображение источника, находящого на расстоянии 40 см от левой линзы, если пространство между линзами заполнить стеклом с показателем преломления таким же, как у линз?

В начале каждого письма просим указывать ваше имя, фамилию, номер школа и класс, в котором выучите.