Пространство и внутренняя геометрия поверхностей

4

В. Ефремович

ПРОСТРАНСТВО И ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Наше пространство — каково оно?

Геометрия, которое мы изучаем в школе, — это эклидова геометрия. Но верно ли, что пространство, в котором мы живем, устройно именно так? Евклидово ли оно? Выполняются ли в нашем реальном пространстве аксиомы Евклида?

А как же иначе? Ведь аксиомы так оченьны: «Через две точки проходят только одна прямая»; «Каждая прямая бесконечна в обе стороны»; «Перpendикуляр и наклонная к одной прямой непресекаются» и т. д.

Кажется, все это так очевидно, что иначе и быть не может! Так и говорил знаменитый немецкий философ И. Кант: «Иначе мыслить нельзя!», то есть существуют истинны, познаваемые нами без всякого опыта — «априори». А в подтверждение существования таких «априорных» истин Кант приводил как раз геометрические аксиомы, как факты самоочевидные, обладающие несомненной достоинностью, независимые от всякого опыта. Но вот великий наш соотечественный Н. И. Лобачевский показал, что прекрасно можно мыслить иначе!

5

Он построил геометрию, в котором все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной — третьей из приведенных выше*). Оказалось, что эта геометрия не только не хуже евклидовой, но в некоторых отношениях даже совершеннее ее, богатое.

А можно ли отказывать от других аксиом? Можно ли вообразить, что прямая имеет конечную длину? Разве не ясно, что она бесконечна? Но, позволяет, разве кто-нибуд уходил по прямой так далек, что убедился в ее бесконечности? Быть может, если мы уйдем по прямой очень-очень далек, то вдруг оказывается в исходной точке путьствия? «Какое нелепое предложение!» — верятно, подумали некоторые читатели. А между тем, именно так и произошло бы с человека, который, полагая, что Земля плоская, отправился бы в некотором направлении, страясь все время ити по кратчайшей линии (на сфере это — окружность «большого круга»); он думал бы, что идет по прямой, и вдруг пришел бы в начальную точку путьствия.

Быть может, мы только думаем, что прямая бесконечна, а она однажды оказется замкнутой линейной вроде окружности, только очень большой длины? Мало ли было чрезвычайно ясных вещея, которые потом оказались просто неверными. Ведь ясно же было (пока люди не знали, что Земля — шар), что вертикали строго параллельны, а бесконечь, что они пересекаются в центре Земли. Спутник Магеллана казалось, что если они будут аккуратно каждой день делать записи в судовом журнале, то, объехав вокруг света (то есть) вокруг Земли) и вернулись домой, они не ошибутся в счете дней. А все же оказалось, что один день пропал.

Есть всекие основания предложать, что нашей пространство устроено сложнее, чем думал Евклид. Как можно изучать пространство, отличное от «употребительного» (выражение Н. И. Лобачевского), очень хорошо показал сам Лобачевский, построив свою геометрию, поэтому для первого знакомства с «неевклидовым» пространствами часто выбирают геометрию Лобачевского. Мы же расскажем о более наглудных вещеях.

2. Внутренняя геометрия поверхностей

Obviously систематическое изучение геометрии начинают с пламетрии, то есть изучения фигур на плоскости. Можно изучать фигуры на какой-нибудь другой поверхности, например, на поверхности цилиндра, шара, эллипсоида.

Говоря «поверхность», мы обычно подразумеваем некоторую «пленку», как-то расположенную в пространстве. Однако, говоря «плокость», мы не пытаемся как-то вложить ее в окружающей пространство. Занимая «внутренняя геометрия» плоскости, мы изучаем свойства плоскости, отвлекаясь от всего, что находится вне нее, для нас плоскость становится как бы самостояльным миром; в этом смысле она сама может быть назван «пространством» (двух измерений).

Аналогично, изучая геометрию некоторой поверхности, полезно не пытается вложить ее в пространство, то есть не различать, скажем, плоскость, цилиндрическую поверхность, построенную на параболе, и двугранный угол (рис. 1) — они получаются друг из других изгибанием, не меняющим «внутренних свойств» этих поверхностей.

Чтобы лучше понять это определение, вообразим двумерное существующее «Кляксу», живущее в поверхности. Все, что может узнать «Клякса» об этой поверхности, изменяя гибким шнуром длины линей на поверхности, транспортиром — углы и т. д., и составляет внутреннюю геометрию поверхности. Для «Кляксы» весь мир свойства к поверхности, в котором она живет, и ничего реального для нее не этой поверхности нет!

Но оказывается, что для произвольной поверхности построить геометрию, вообще говоря, не просто — на этой поверхности может не найти даже конгруэнтных треугольников, а ведь именно на конгруэнтности треугольников основываются

6

Рис. 1.

первые доказательства в планиетрии!
Удобнее всего строить геометрию на поверхности «однородных» и «изotropных».

В школе вы изучали перемещения плоскости. Напомним, что перемещением плоскости называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, то есть длины отрезков, соединяющих две точки. Аналогично перемещением поверхности называется отображение этой поверхности на себя, сохраняющее длины всех линей на ней. Такие отображения называются также изометриями. Подчеркием, что мы не определяем здесь понятие «длина линей»; вам достаточно представлять себе линей на поверхности как нитку, которое можно отделить от поверхности, приложить к «метру» и изменить ее длину.

Поверхность называется однородной, если для любых двух ее точки A и B можно указать изометрию поверхности, при котором точка A отображается в точку B. Это значит, что поверхность «однаково устроена около любой своей точки». Такова, например, поверхность бесконечного круглого цилиндра (рис. 2).

Поверхность называется изометриой в некоторой ее точке A, если какие бы два «направления» Am и An, исходящие из A, на ней ни взять (рис. 3), существует перемещение поверхности, при котором точка A остается на месте, а Am переходит в An. Например, любая поверхность braшения, пересекающая ось braшения в точке A, изотопна в A.

Поверхность называется изометриой, если она изotropна в каждой своей точке. Интересно, что изotropная поверхность всегда однородна.

Один из примеров изotropных поверхностей является плоскость; ниже мы рассмотрим еще один — сферу.

3. Геодезические линии

Рассмотрим между точками A и B на поверхности естественного названия длину кратчайшей линии, соединяющей эти точки и целиком лежащей на поверхности. Поэтому во внутренней геометрии любой поверхности особенно важны геодезические линии: они играют роль прямы. Эти линии определяются так: для любых двух неслишком удаленных друг от друга точек A, B такой линии ее кусок AB короче любой другой линии, соединяющей A с B и лежащей на поверхности.

Вот простой пример. Навернем (без растяжений и скатей) лист бу-

Рис. 2. Рис. 3.

7

Рис. 4.

маги на прямой круглый цилиндр. Прямы этого листа при таком изгибании даут геодезические трех родов: некоторые из них вовсе не изогнутся и лягут на образушие цилиндра; другие превращаются в окружности; наконец, третьи превращаются в винтовые линии (рис. 4). Только для геодезической 1-го рода любой ее отрезок будет кратчайшим на поверхности; для геодезических 2-го и 3-го родов только не сликом больше их отрезки будут действительно кратчайшими.

Такое же навертывание можно выполнить на конечскую поверхность; там некоторые геодезические будут сами себя пересекать! Проделяйте это.

Довольно просто исследовать геодезические на сфере. Оказывается, на сфере геодезических являются окружности большого кругга.

Докажем это. Предположим, что точки A и B на сфере радиуса R удалось соединить линейной M длины l и l = AB/k (k>1), где AB — дуга большого кругга. Разделим кривую M на n равных по длине частей (рис. 5), причем выберем n так, чтобылина l/n каждый полученной части была достаточно мала, а именно: чтобы в кругге радиуса R для любой хорды PQ длины, меньшей l/n, и стягиваемой его меньшей дуги выполнялась соответствие PQ<|PQ|·k (что это возможно при k>1, следует из определения длинокружности). Соединим соседние точки деления хордами и меньшими дугами больших кругов. Пусть длины этих дуг равны c1, c2, …, cn, а длины хорд d1, d2, …, dn. Телерь заметим, что c1 + c2 + … + cn ≥ AB = lk (доказите это самостояльно). Отсюда следует, что хотя бы для одной дуги, например, для дуги с номером i, l/n ≤ c_i/k.

Но c_i/k < d_i/k = d_i, то есть l/n < d_i, что невозможно, поскольку отрезок прямой — кратчайшая из линей, соединяющихся две точки.

Подобно тому как на плоскости из точки во все стороны выходит прямые, так и на сфере из любой ее точки по любому «направленно» выходитровно одна геодезическая. Для полосов таких геодезических будут тердины.

Телерь легко доказать, что даже маленький кусок сферического поверхности нельзя разогнуть (без растяжений и скатия, хотя бы и очень малых) в кусок плоскости. Для этого из какой-либо внутренней точки сферического кусака (прием ее за северный полос сферы) по тердианам отложим одну и ту же маленькую длину r (маленькую, чтобы не выйти за пределы кусака), тогда концевые точки образуют окружность; еелина l, понятно, будет меньше 2πr, потому что прямолинейный радиус этой окружности меньше r (ее «геодезического радиуса»). Между тем, если бы наш кусок сферы возможно было разогнуть на плоскость,лина окружности и ее геодезический радиус не изменился бы (ведь при изгибании ни одна длина не изменяется, поэтому

9

что слабая весма далекая туманность М.83 есть просто вид «сзади» на большую внегалактическую туманность М.31 в Андромede. Но эта гипотеза отпала, так как вскоре в астрономии стали доступны значительное большое расстояния, чем сумма расстояний до М.83 и М.31. Значит, если прямая замкнута и имеет конечную длину, то эта длина много большше.

Как и в планиетрии, на сфере решения задачи обычно сводится к расстоянию ряда треугольников. Сферический треугольник составлен из трех вершин, попарно соединенных кратчайшими дугами — это его стороны. Но на сфере существуют и двууедлыки, например, два полюса, соединенных двумя меридианами.

Докажем, что сумма углов сферического треугольника всегда большше π*). Для этого вычислим площадь S_{ABC} сферического треугольника ABC, если известны величины его углов Å, В, С (в радианах).

Для наглядности чертеж построим так, чтобы точка A попала в сверный полос сферы (рис. 7). Вычислим сначала площадь S_{AA’} двуугольника, который получится, если продолжить стороны AB и AC до взаимного пересечения в точке A’, диаметрально противоположной точке A. Пусть площадь всей сферической поверхности равна S. Ясно, что S_{AA’} = S·Å/2π (так как площадь двуугольника с углом в 2π, очень/no, равна S — это вся сфера). Таким же образом, продолжая стороны угла B, получим двуугольник с площадью S_{BB’} = S·Ê/2π, а угол C приведет нас двуугольнику с площадью S_{CC’} = S·Ê/2π. Продолжая стороны тех же углов в противоположные направления, получим дополнительные двуугольники таких же площадей. Какая часть сферы будет покрыта этим парами двуугольников? Ясно, что они покройот всю сферу, причем треугольники ABC и A’B’C’ будут покрыты трижды (для наглядности сделайте такое построение для треугольника ABC на плоскости!). Итак,

*) Велищной уела (или просто уелом) между двумя пересекающими кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения кривых.

$$\frac{2S}{2\pi} \hat{A} + \frac{2S}{2\pi} \hat{B} + \frac{2S}{2\pi} \hat{C} = S + 4S_{ABC};$$

отсюда

$$S_{ABC} = \frac{S}{4\pi} (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi).$$

Площадь треугольника оказывась проорциональной так называемому «сферическому избытку»

$$\varepsilon = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi.$$

Заметим, что числа S и S_{ABC} положительны, значит, положитель избыток ε, иначе говоря, сумма углов сферического треугольника всегда большше π.

Интересно, что на плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше π, а его площадь проорциональная «дефекту» δ = π—(Å + B + C).

В геометрии на сфере справедливые те же признаки равенства треугольников, что и в плоimetрии (по стороне и двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по тем сторонам), но есть еще один: по трем углам — на сфере нет подобных треугольников! (Доказательства — те же, что и в плоimetрии.)

Уражнения

1 (с очень длинной «бородой»). Дан прямой угольный параллелипед размером 30×12×12. Найти кратчайший путь по его поверхности между точки A и A’, расположенными симметрично относительно центра параллелипеда на квадратных его гранах на средних вертикальных (для наглядности считаем грани 30×12 полом и потолком), точка A — на высоте 1 над полом, A’ — на 1 под полом. Многие, верятоно, потолопятся: «Длина кратчайшего пути равна 42!» Оdnako это неверно — есть путь заметно более короткий! Найдите его.

2. Краснойрск и Москва лежат почти на одной параллели (56° северной шипоты). Зная их долготу (93° и 38°) и радиус Земли (6370 км), узнать, насолько кратчайший путь короче пути вдоль параллели.

3. Доказать, что:

a) сумма углов Å1 + Å2 + … + Ån сферического n-угольника A1A2…An всегда большше, чем (n-2)π;

b) площадь сферического n-угольника A1A2…An проорциональная избытку ε = Å1 + Å2 + … + Ån — (n-2)π.

4. Доказать, что в сферическом треугольнике сумма длины сторон больше длины треугольника ABC на плоскости!

5. Доказать признак равенства сферических треугольников по трем сторонам.