Шарнирные механизмы. Кривые Уатта

Квант 1977, №1 с. 20-23 Тег 85DS

Вопрос распространенияму заблужению, значительная часть деятельности математика (или физика-теоретическа) является экпериментальной. Прежде чем что бы ни было доказать, математик траит много времени на то, чтобы, рассматривая разнообразные примеры и частные случаи, освободся с новыми объектами и отыскать закономерности, которые затем удассятся представить в виде «правильной задачи» или «теоремы». Только после большой работы, исписав горы бумаги конкретными вычислениями или исчертив ее графиками, математик принимается за решение астрактной математической задачи или за доказательство теоремы. Многие важные для практических приложений результаты математической науки также представляют собой не астрактные теоремы, а таблицы для расчетов, графики, схемы, программы для вычисления.

Этот «экспериментальной» части математики и посвящен наш новый раздел «Matематический практикум». Выполняя задания «Matематического практикума», вы научитесь по нескольким частным наблюданием нахождения общие закономерности, сможете, если tema задания вам понявится, разобраться в ней глубке и, возможно, сделайте первые самостоятельные открытия. Как правило, наши задания по математическому практикуму будут составлять из двух или нескольких ступеней: первый — проделать «эксперимент» (написовать несколько кривых или фигур, решить серий уравнение и т.п.), следующего — сформулировать общую задачу, написать общее уравнение изучаемого явления или процесса, одним словом, проверти неокоторое исследование.

В каждом нашем задании мы приводим конкретный образец, который нужно следовать и описываем план работы. Просим письма с выполненными заданиями письать в редакцию с пометкой «Мат. практикум». Графики и чертежи выполняйте на стандартных листах бумаги. Просим при пересылке не сворачивать листы в трубку. В письмо включите конверт с обратным адресом для ответа.

Большая часть заданий, которые начинается этот отдел, родилась в стенах физико-mатематической школи при МГУ.

В первом задании математического практикума решить поддет о некоторых кривых, рассматривашихся в прошлом в связи с трудной (по тем временам) и важной технической проблемой: как связать поршень с точкой maxового колеса дивигателя таким образом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение?

В. Вавилов

Шарниные механизмы. Кривые Уатта

«Хоть я и не особенно забочусь о clause, однako параллелограммом горячесь больше, чем каким-либо другим изобретением, сделанным много».
Дж. Уатт (из письма к сыну)

Шарниный механизм, изобранный на рисунке 1, был предложен Джемсом Уаттом в 1774 году *), когда он решал также проблему: как связать поршень с точкой maxового колеса, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение? На рисунке 1 изобран так

*) Джемс Уатт (1736—1819) — выдающийся английский изобретатель. Работая механиком университета в Глазго, занимался усвоениемствованным паровых дивигателей.

называемый сокращенный параллелограмм Уатта: он состоит из двух стержней $O_1A_1$ и $O_2A_2$ одинаковой длины (коромысла и отводного радиуса), соединенных между собой при помощи шарниров стержней $A_1A_2$ (шатуном). Стержни $O_1A_1$ и $O_2A_2$ врашаются вокруг закрепленных точек $O_1$ и $O_2$ , и, если позволяют длины стержней, можно получить целый ряд различных «крестообразных» фигур р (рис. 2, а, б).

Тщательно исследовав движение точки $M$ шатура $A_1A_2$ , Уатт убедился, что средняя точка шатура $A_1A_2$ незначительно уклоняется от прямой линии, когда все системы в целом приходит в движение (рис. 3).

Трехвенник $O_1A_1A_2O_2$ обладает одним недостатком: расстояние между точки $O_1$ и $O_2$ (между осями вращений коромысла и отводного радиуса) должно быть довольно значительным, чтобы пригодная часть траектории (то есть часть кривой, мало отличующая от прямой линии) движения средней точки шатура была протяженной; это приводило к недопустимому увеличению размеров ма-

шинного отделения. Чтобы избежать этого, Уатт добавил пантографикае расширени и к трехзвенинику, получив полный паралелограмм (рис. 3; $|O_1A_1| = |O_2A_2| = |B_2A_2| = |B_1A_1|$ , $|B_1B_2| = |A_1A_2|$ , $|MA_1| = |MA_2|$ , стержень $O_2B_2$ в точке $A_2$ не изгибается), после чего сам механизм и стали называть паралелограммой Уатма. В силу подобия треугольников $O_2A_2M$ и $O_2B_2B_1$ точки $O_2$ , $M$ и $B_1$ всегда лежат на одной прямой. На том же основании $|O_2B_1|$ вдвое больше $|O_2M|$ ; следовательно, точка $B_1$ описывает траекторию, готовичную траекторию точки $M$ , в удовлетворном масштабе. На практике лучшешение состояло в том, что поршень прикреплялся не в точке $M$ трехзвеника $O_1A_1A_2O_2$ , а в точке $B_1$ — вершине паралелограмма $A_1B_1B_2A_2$ ; таким образом, Уатту удалось размеры механизма полностью согласовать с размерами объчного машинного отделения.

На рисунке 3 изображена замкнутая кривая, которую описывает точка $M$ (если движения трехзвеника не ограничивается); только дуга $MN$ этой кривой может использоваться в машине.

Шарнирыми механизмами много и плодотворно занимаются замечательный русский ученый Пафун Львович Чебышев (1821—1894). К ним он проявляет особую склонность с малых лет. Ими он не переставал занимается в течение всей жизни. Чебышев собственного изготовил много самых разнообразных шарнирных механизмов, среди них — лодка с гребным аппаратом, шагающий человек («сто-походящая машина») и другие замечательные вещи.

П. Л. Чебышева интересовали главным образом те механизмы, которые наиболее точно могли воспроизводить прямолинейное движение. В частности, он выясил, что в случае паралелограмма Уатта «самые хорошо» кривые получаются тогда, когда выполено соответствие $(2|O_1A_1|)^2 + |A_1A_2|^2 = |O_1O_2|^2$ , которое означает, что должно существовать такое состояние механизма,

Когда $[O_1A_1] \perp [A_1A_2]$ и $[O_2A_2] \perp [A_1A_2]$ .

Задачу отыскания точного прямолинейно-направляющего механизма ему, однako, разрешить не удалось. В 1864 году французский офицер Поселье изобрел аппарат, называющий инверсором (рис. 4), преобразовывающий врашательное движение в безукоризенное прямолинейное.

Задача (мрудная). Докажите, что если точка $B$ (см. рис. 4) описывает некоторую окружность, проходящую через точку $O$ (это можно добиться, добавив к инверсору сельмой стержень $O'B$ такой, что $|O'B| = |OO'|$ , и точку $O'$ закрепить), то точка $M$ описывает прямую линию *).

Дальнейшие исследования показали, что с помощью шарнирных механизмов можно реализовать очень многоные кривые.

Отметим особо, что при изучении параллелограммов Уатта перед Чебышевым возникла следующая математическая задача: при каких соответствии длин стержней механизма Уатта функция, описывающая движение средней точки шатура, наименье всего отклоняется на заданном промежутке **) от линейной функции. Такая постановка вопроса послужила толчком к многочисленным теоретическим исследованием и созданию современной конструктивной теории функции.

Мы предложаем вам проследить за траекторий движения точек $M$ отрезка $A_1A_2$ (или неразрывно связанных с ним, см. ниже п. 3); эти траектории называются кривыми Уатма. Ограничивая расстоянием только симметрического случая ( $|MA_1| = |MA_2|$ ), положим

$|O_1O_2| = 2l, |A_1A_2| = 2d,$

$|O_1A_1| = |O_2A_2| = R.$

*) См. «Квант», 1971, № 8, с. 27—28.
**) До Чебышева участок кривой $MN$ (см. рис. 3) сравнивали с касательной к этой кривой, проведенной в центральной точке. Если же нужно достигнуть хорошего приближения «между данных» пределами» (в нашем примере — между точками $M$ и $N$ ), то касательной следует пред讳честь некоторую другую прямую, «лучше» представляющую другую прямую $MN$ , чем соответствующий отрезок касательной.

Рис. 7.

Точки $A_1$ и $A_2$ могут перемещаться по окружности радиуса $R$ с центрами $O_1$ и $O_2$ . Заметим, что наиболее возможное значение расстояния $|A_1A_2|$ равно $2(l + R)$ (рис. 5,a), а наиболее равно $2(l - R)$ (при $l \geq R$ ) или $0$ (при $l \leq R$ ) (рис. 5,a, 6). Отсюда следует, что для существования механизма Уатта необходимо, чтобы параметры $d$ , $R$ и $l$ удовлетворили неравенствам
$l - R \leq d \leq l + R.$
Мы будем говорить, что участок $M_1M_2$ кривой оплинается от отрезка прямои $[M_1M_2]$ не более, чем на $k\%$ , если каждая точка $M$ этого участка кривой удалена от отрезка $M_1M_2$ на расстояние, не превысая величины $a_0 = \frac{k}{100}|M_1M_2|$ (имеется в виду длина перепределения из точки $M$ на отрезок $M_1M_2$ ; рис. 6).

Теперь все готовы для того, чтобы формировать задание математического практикума.

Задание
По параметрам $d$ , $R$ и $l$ (см. таблицу) плоского шарнирного механизма Уатта:

Таблица

| $d$ | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 13 | 3 | 2 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $R$ | 3 | 8 | 6 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 4 | 3 | 7 |
| $l$ | 5 | 5 | 5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 |