Заочная физико-техническая школа

53

Задачи вступительной контрольной работы в ВЗМШ в 1977 году

1. В равенстве двух дробей, числители и знаменателя которых двумячные числа, цифры знаменены буквами: одинаковые — одинаковыми, разные — разными:

$$\frac{KY}{PE} = \frac{KA}{KY}$$

Какую цифру означает каждая из букв (достаточно привести все возможные ответы)?

2. Дан прямогольник ABCD. Найдите множество точек M, для которых

$$|MA| + |MB| = |MC| + |MD|.$$

3. Дополнитель таблицу 4×4 (см. рисунок) буквами B, 3, M, Ш, обведите их рамками четырех типов (квадрат, ромб, круг, треугольник) и раскрасть их в четыре цвета так, чтобы выполнялись следующие условия: 1) в каждой строке и в каждом столбце должны встречаться все буквы, цвета и типы рамок; 2) каждая буква должна быть раскращена по разу каждой цветом; 3) рамка каждого типа должна содержать каждую букву и каждой цвет. (Достаточно нарисовать требуемую картинику.)

4. В прямогольном треугольнике a и b — длины его катетов, c — длина гипotenузы, h — длина высоты, опущенной на гипotenузу. Докажите, что c + h больше a + b.

5. Найдите все решения системы уравнений

$$\begin{cases} x^2 = y + z, \\ y^2 = z + x, \\ z^2 = x^2 + y^2. \end{cases}$$

6. Даны две непересекающейся окружности. Существует ли вне окруженной также точка, что всякая прямая, проходя-

7. Автомобиль и велосипедист выехали одновременно из A в B. Проехав треть пути, велосипедист оставился и тронулся лишь тогда, когда авторомю осталась треть пути до B. Автомобиль, доехав до B, без остановки поехал обратно в A. Кто придет раныше: авторомю в A или велосипедист в B?

8. Известно, что числа 2077 и 100 при делении на натуральное число a дают одинаковые остатки. Найдите число a.

9. Большой прямогольник разбит на клетки 1 cm×1 cm. Внутри каждой клетки написано число. Известно, что сумма чисел в каждой горизонтальной строке равна 1, а в каждом вертикальном столбце — равна 2. Может ли площад прямогольника равнять 1976 cm²?

10. Несолько ящков всеят вместе 10 тонн, причем каждый из них весит не больше одной тонны. Какое наименование количества трехоток зависит достаочно, чтобы увеличить этот груз?

Ж. Раббом

Заочная физико-техническая школа

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском ордена Трудового Красного Знамени физико-техническом институте проводит набор учащих всямилетних и средних школ, расположенных на территории РСФСР, в 8-й, 9-й и 10-й классы на 1977/78 учебный год.

Форма обучения в нашей школе отличается от привченной для ребят работы с учетом на уроках. Заочное обучение прививает навыки самостоятельности, учит работать с дополнительной литературой, консектировно излагать свои мысли.

За 10 лет работы 3ФТШ для хорошего дополнительные знания по физике и математике своим выпускником, многие из которых стали студентами ведущих вызов нашей страны.

Цель нашей школы — помочь ученикам в самостоятельных занятиях по физике и математике. Вот почему при приеме в 3ФТШ предопределение отделяется учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где помощь нашей школе особенно нужна.

В 3ФТШ принимаются и физико-технические кругжи, которые могут быть организованы на месте по инциативе двух преподавателей — физики и математики. Руководители кругжи набирают и зачисляют в них учащихся, успешно выполнивших вступительное задание 3ФТШ. Кругок принимается в 3ФТШ, если директор школи сообится в 3ФТШ фамилии руководителя кругжи и помещенный список членов кругжи по классам (с указанием итоговых оценок за вступительное задание).

54

Учащиеся, принять в 3ФТШ, и руководители физico-технических кругков будут регулировать задачи по физике и математике в соответствии с программой 3ФТШ, а также рекомендуемые 3ФТШ решения этих задачи. Задания 3ФТШ содержат теоретический материал и разбор характерных задач и примеров по теме, а также 10—14 задачи для самостоятельного решения. Это — и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-заочников проверяют в 3ФТШ или ее фильпалах, а членов кружка — его руководители.

Сучащимся г. Москвы проводятсяочные занятия по физике и математике 2 раза в неделю по программе 3ФТШ в вечерних консультанциях пунктах (в ряде Московских школ), набор в которых проводится по результатам выполнения вступительного задания 3ФТШ.

Вступительное задание каждой ученик выполняет самостоятельное наруском языке и аккуратно переписать в одну школьную терраду. Порядок задачи должен быть тот же, что и в задании. Терраду перешлите в большом конверте простой бандеролью. Вместе с решением обязательно вышлите справку из школи, в которой вы учитесь, с указанием класса. Справку накладите на внутреннюю сторону обложки терради. Без этой справки решение рассматривается не будет.

На внешнюю сторону обложки терради наклейте лист бумаги, заполненный по образцу:

1. Область (край или АССР) Кемеровская обл.
2. Фамилия, имя, отчество Глухов Валерий Иванович
3. Класс восьмой школа школа № 6, ул. Шищина, 26
4. Номер и адрес школа школа школа № 6, ул. Шищина, 26
5. Профессия родитель и занимаемая должность отец слесарь, мастер чеха матЬ бухалтер
6. Подробный домашний адрес 623023, e. Прокопьевск, ул. Урожайная, д. 11, кв. 20

Срок отправления решения — не позднее 10 марта 1977 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно не высылаются.

Зачисление в школе будет проводиться применной Московского физico-технического института и приказом директора 3ФТШ. Решение применной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1977 года.

Терради с выполненными заданиями присваивают по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Московский физico-технический институт, для 3ФТШ.

Учащиеся Архангельской, Волгодской, Калининской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Каральской и Коми АССР высылают работы по адресу: 198904, г. Старый Петерфо, ул. 1 Мая, д. 100, ЛГУ, фильпал 3ФТШ при МФТИ.

Учащие Амурской, Иркутской, Камчатской, Сахалинской, Читинской области, Красноярского, Приморского, Хабаровского края, Бурятской, Тувинской, Якутской АССР и Чукотки высылают работы по адресу: 660607, г. Красноярск, ул. Пересоена, 7, Пединститут, фильпал 3ФТШ при МФТИ.

Ниже приведется вступительные задания по физике и математике. В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащения 7-х классов, задачи 1, 4—8 — для учащения 8-х классов, задачи 1, 6, 8—12 — для учащения 9-х классов. Во вступительном задании по математике задачи 1—5 — для 7-х классов, 4—10 — для 8-х классов, 7—13 — для 9-х классов.

Задание вступительного контрольной работы в 3ФТШ в 1977 году

Физика

1. Не прибегая к взвешиванию на весах, определять среднюю плотность курного яйца.

2. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относится как 1:3:4:2, потребовались промежутки времени, нахождения в относении 2:4:3:1, и на последнем участке скорость равнялась 80 км/час.

3. Сообщащие сокуды в виде цилиндрических трубок длиной 10 см, площади поперечных сечений которых отличаются вдвое, соединены вызу резиновым шлангом и наполненны водой до половины высоты. В узку滔 трубку помещили цилиндрик изюлья высотой 10 см. На сколько изменились при этом уровни воды в сосудах, если площадь поперечного сечения цилиндра изюлья практически не отличается от площади поперечного сечения узкой трубки?

4. Горючее получено смешанным равных объемов бензина и спирта. Какое количество теплоты выделяется при сторании 1 ккал смеси?

5. Через растор азотнокислого середра пропускают постоянный электрический ток сначала силой 200 а в течение 5 часов, а затем силой 150 а в течение 8 часов. Какова масса выделившегося из растора середра, если

55

при прохождения одного кулона электроническая выдаётся 1,118 ме сербра?

6. Использование экспериментальные данные, оценить среднюю плотность Солнца.

7. После скатывания с горы санки начинают двигаться по горизонтальном участку дороги со скоростью 2 м/сек. Козффициент треня между полозями санок и дорогой равен 0,02. Какой путь пройдут санки за 15 сек?

8. Пассажиры не испытывают непряятых ошибений, если только их вес в полете не увеливается более чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допускает это условие?

9. Маятнику массы 1 ка сообщили такой толчок, что он совершил полный оборот в вертикальной плоскости. В верхнем положении маятника натяжение нити оказывается вдвое меньше силы натяжения в состоянии покоя, когда груз спокойно висит на нити. Каково натяжение нити в момент прохождения маятником положения равновесия?

10. Вода нагревается электронной ником постояной мощности. На что потребуется большие времен — нагреть.body от 10 до 20 или от 80 до 90°С?

11. Под тяжелый поршень, который скользить без треня внутри вертикально расположенного откачанного цилиндра, вводится некоторое количество смеси аргона и водорода. В результате поршень смещается вверх и располагается на высоте, составляющей 2/3 от высоты цилиндра, считая от его дна. Оdnako с течение времен поршень перемещается вниз, так как материалов, из которого изготовлен поршень, оказывается проницаемым для водорода. Окончательное поршень располагается на высоте, равной 1/4 высоты цилиндра. На эти отношения масс аргона и водорода в смеси.

12. Конденсатор emкости 1 мкф, заряженный до напряжения 44 в, подключается через цельбольшее сопротивление к батарее с э.д. с. 220 в так, что положительное заряжение обкладка конденсатора подсоединена к отрицательному полюсу батареи. Определить количество теплоты, которое выделяется в цепи при зарядке конденсатора до напряжения 220 в.

Matematika

1. Бак вместе 1000 литров воды. Каждый день расходит 600 литров, а ночь должны двигать в как половину того колчества, что находится в бake утром. В попедельник утром бак был полон. Хватит ли воды в бake в четверг?

2. Существуют ли такие натуральные значения $k, m, n$, для которых справедливо $(2k+1)^2-(2m+1)^2=4(2n+1)$.

3. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, разделяет его на равновеликие фигуры. В каком относении эта прямая делит две другие стороны треугольника?

4. Доказите или опровергите следующие утверждения:

a) Для делимости $n^2-1(n\geq 5)$ на 24 достаточно, чтобы $n$ было простым числом;

b) Для делимости $n^2-1(n\geq 5)$ на 24 не до и мо, чтобы $n$ было простым числом.

5. Ученикам всем порсвну разделили терради. Если бы учеников было на несколько человек меньше, то каждый получил бы 18 терради, а если бы их было больше на то же количество, то некоторые получили бы 4 терради, а остальные — по 5 терради. Сколько терради получил каждый ученик?

6. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Первая окружность проходит через центр второй. Хорда $BD$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $C$, которая делит друг $ACB$ так, что $AC:CB=1:2$. В каком относении точка $D$ делит друг $ADB$?

7. Найдите четые числа, perвыные три из которых составляют арифметическую прогрессию, а последние три — геометрическую прогрессию, если известно, что сумма краинных чисел равна 4, а сумма средних равна 2.

8. В ромбе $ABCD$ угол $BAD$ острый. Okружность, вписанная в этот ромб, касается сторона $AB$ и $CD$ соответствующего в точках $M$ и $N$ и пересекает $[CM]$ в точке $P$, а $[BN]$ в точке $Q$. Определите $|BQ|:|QN|$, если $|CP|:|PM|=9:16$.

9. Данны два утверждения:

a) уравнение $x+\sqrt{x}=a$ не имеет решения;

b) неравенство $4x^2+(a-3)x+1\geq 0$ справедливо при всех значениях $x$.

При каких значениях $a$ одно из этих утверждений истинно, а другое ложно?

10. Колонна солдат движется с постоянной скоростью, растянулись на 50 метров. Связной, выйда из строй, идет с постоянной скоростью до конца колонны, затем поворачивает и доходит до начала колонны, еще раз поворачивает и идет до своего места в строй. За это время колонна продвинутся на 120 метров. Сколько метров прошел связной?

11. Спортилошадку площадь 0,9 гектара, имеющего форму прямой линейки, необходимо оторудить с свега и юга деревянным забором, с востока и запада — проводились. Установка одного метра деревянного забора обходится в 5 рублей, проводочного — в 2 рублей. На строительво выделено 1200 рублей. Достаточно ли этой суммы?

12. Последовательность $(x_n)$ задана рекурентно: $x_0=2$, $x_1=\frac{3}{2}$, $x_{n+1}=\frac{3}{2}x_n-\frac{1}{2}x_{n-1}$. Найдите формулу для $x_n$. Существует ли lim $x_n$?

13. Из пункта $B$ идут две прямые дороги: одна в пункте $A$, другая в пункте $C$, причем $ABC=120^\circ$. Из $A$ в $B$ и $C$ одновременно вызжают два автотобиля. В тот момент, когда автотобиль, выехавший из $A$, прошелседуную часть свего пути, расстояние между автотобилями стало наименьшим. Чему равно относение скоростей автотобилей?

A. Кирьянов, А. Кумасов, Т. Чуунова