[Головоломки]

42

Вот и речка. Забросив удочки в воду, ребята стали внимательно следить за поплавками.
— Смотри, у тебя клюет.
— И правда. Так… так… Есть!
Гляньте, какой красавик этот окунек.
— Не говори так громко, всю рыбу распугаешь. Когда только ты научился шепотом говорить? И на уроках все время нам замечания: разговоры, разговоры… Ого, и у меня клюнуло. Тожде окунь!
С утра рыба kleевала хорошего, а затем, когда припекло солнце и kleев ослабел, ребята стали подсчитывать свой улов.
— Смотрите-ка, я больше всех рыбы поймал.
— Да у тебя рыба-то всё мелкая: один erшин да плотва.
— Это ничего, что у него рыба мелкая: из erwей как раз уха вкусная получается.
Покончив с подсчетами и искусственным ребята отправились домой. Настроение у всех было хорошо, но особенно был доволен Петя — он, новичок в рыбалке, наловил рыбы больше, чем заявленный рыболов Вася.

---

Вы прочитали этот рассказ? Тогда попробуйте ответить на два вопросы.

1. Как зовут васиного читмеля физики?
2. Каков наименьший (положимый!) объем в задане, который решал Дирак?

Квадраты
в квадрате

В квадрате 3×3 записаны цифры от 1 до 9. Переставьте эти цифры так, чтобы три образовательных трехначных числа были точными квадратами.

Звездочка

Каждая буква — некоторая цифра. А какая именно?

Ребусы

Поставьте вместе звездочек цифры так, чтобы получились правильно выполненые примеры на умножение.

Л. Мочалов

44

скки очевидным утверждением: если все перiodические функции обладают некоторым свойством, а данной функции этим свойством не обладает, то данной функции не является перiodической.

Конечно, для того чтобы этот охходной путь был эффективным, надо иметь набор общих свойств перiodических функций. Указем несколько таких свойств.

ШестЬ свойств periodических функций

I. Если точка $x_0$ принадлежит области определения periodической функции $f(x)$ с периодом $T$, то ее области определения принадлежат и все точки $x_0 + nT$, $n \in \mathbb{Z}$.

В частности, области определения periodической функции содержимое сколь уздно больше по абсолитной величины положительные и отрицательные числа.

Это свойство есть оченьследствие определения periodической функции. Отсюда, например, вытекает, что функция, заданная только на положительной полуоси $[0, \infty[$, не может быть periodической. Поэтому не является periodической, например, логарифмическая функция $y = \ln x$.

II. Перiodическая функция принимает какое свое значение в бесконечном числе значений аргумента, среди которых есть сколь уздно больше по абсолитной величины положительные и отрицательные числа.

В частности, periodическая функция не может быть возрастной или убивающей на все области определения.

Это свойство неедленно вытекает из равенства

$$f(x + nT) = f(x), \quad n \in \mathbb{Z},$$

справедливо для periodической функции $f(x)$ с периодом $T > 0$. Отсюда, например, следует, что функция, возрастющая на все числовой прямой, не может быть periodической.

Расссказывая о свойствх показательной функции $y = ax^x$, поступающие, как правило, не в состоянии доказать, что она не является perio-

дической. Между тем эта функция возвращает (при $a > 1$) или убивает (при $0 < a < 1$) на $R$ (что доказывает в учебнике), а потом неperiodическая.

III. Если $f(x)$ — periodическая функция, определенная на все числовой прямой, то уравнение

$$f(x + T) = f(x),$$

еде $T$ рассматривается как неизвестное, а $x$ — как параметр, имеем по крайней мере одно положительное решение $T = T_0$, удовлетворяющее сразу при всех значениях параметра $x \in R$.

Это свойство фактически представляет собой переформулировку определения: ведь если функция $f(x)$ — periodическая, то существует такое число $T_0 > 0$, что для любого $x \in R$

$$f(x + T_0) = f(x),$$

а это и означает, что число $T_0$ является корнем уравнения (2) для всякого значения параметра $x$.

С последним свойством связан следующий стандартный способ доказательства неперiodичности функций $f(x)$: если нам удается указывать также два значения аргумента $x = a$ и $x = b$, что уравнение

$$f(a + T) = f(a)$$

и

$$f(b + T) = f(b)$$

не имеет общего положительного решения $T = T_0$, то функция $f(x)$ не является periodической.

IV. Если для periodической функции $f(x)$ с периодом $T$ на некотором отрезке $[\alpha, \alpha + T]$ выполняено неравенство

$$|f(x)| \leq M,$$

то это неравенство выполняется и для любого значения аргумента.

В частности, для periodической функции $f(x)$, определенной на все числовой прямой, существует такое число $M > 0$, что неравенство (3) выполняется для всех $x \in R$.

Свойство IV вытекает из следующих рассужений. Пусть функция $f$ — periodическая с периодом $T$ и пусть неравенство (3) справедливо для $x \in [\alpha, \alpha + T]$. Тогда в силу равенства (1) это неравенство справедливо и на любом отрезке

45

[α+nT, α+(n+1)T], n ∈ Z. Однако любое значение аргумента принимают одному из таких отрезков.

V. Если перiodическая функция дифференцируема, то ее произведение — перiodическая функция с тем же периодом.

Это свойство доказывает так. Прежде всего из определений произвольной и периодической функции следует, что если периодическая функция f(x) с периодом T имеет произвольную f’(x) в некоторой точке x, то она имеет произвольную и в точке x + T. Другими словами, если x ∈ D(f’), то и x + T ∈ D(f’). Остатся убедиться, что

$$f'(x + T) = f'(x)$$

при x ∈ D(f’). Обозначим через g(x) функцию f(x + T) и рассмотрим ее как сложную функцию с «внутренней» функцией x + T и «внешней» функцией f(x). Тогда по формуле для произвольной сложной функции будем иметь

$$g'(x) = f'(x + T) \cdot (x + T)' = f'(x + T).$$

Но в силу периодности g(x) = f(x), так что

$$g'(x) = f'(x).$$

Из равенств (5) и (6) вытекает равенство (4). Таким образом, f’(x) — периодическая функция с периодом T.

VI. Если f(x) — периодическая функция, определяная на всей числовой прямой и опущная от постояной, то не существует предела функции f\left(\frac{1}{x}\right) при x → 0.

Это свойство можно получить из нетроих графических соображений. Пусть x стремится к нулю, оставаясь положительным; тогда выражение 1/x неограниченно возрастает. Так как периодическая функция f при возрастании аргумента «колебляется», то функция g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) «колебляется» в окрестности точки x = 0 и потому не имеет предела при x → 0.

Строое доказательство формулирования своего свойства проведем методом от противного. Допустим, что

$$\lim_{x \to 0} g(x) = A.$$

Сначала убедимся, что функция g(x) хотя бы в одной точке x > 0 принимает значение, отличное от A. В самом деле, если g(x) = A при любом x > 0, то f(x) = g\left(\frac{1}{x}\right) = A

при всех x > 0. Но тогда из периодичности функции f(x) следует, что f(x) постоянна на всех числовой прямой, а это противоречит условиям.

Следовательно, существует такая точка x₀ > 0, что

$$g(x₀) = \alpha \neq A.$$

Возьмем ε = \frac{1}{2} |A - \alpha| > 0. По определению предела из равенства (7) вытекает существование числа δ > 0 такое, что для любого x ≠ 0, удовлетворяющего неравенству |x| < δ, (8)

выполняется неравенство |g(x) - A| < ε. (9)

Однако для достаточно большого n ∈ Z число

$$x^* = \frac{x_0}{1 + nTx_0}$$

неравенству (8) удовлетворяет , а неравенству (9) при x = x не выполняется:

$$g(x^*) = g\left(\frac{x_0}{1 + nTx_0}\right) = f\left(\frac{1 + nTx_0}{x_0}\right) = f\left(\frac{1}{x_0}\right) = g(x_0) = \alpha,$$

и поэтому

$$|g(x^*) - A| = |\alpha - A| > \frac{1}{2} |\alpha - A| = \varepsilon.$$

Мы пришли к противоречию с равенством (7).

Примеры

Покажем теперь на несколько примерах, как можно использовать приведенные выше свойства периодических функций для доказательства неperiodичности конкретиной функции.

Пример 1. Доказать неperiodичность функций

$$f_1(x) = \cos \ln |x|; \quad f_2(x) = \sqrt{x(x - 1)}; \quad f_3(x) = \arcsin x.$$

Если бы функция f₁(x) была периодической с периодом T > 0, то, поскольку T ∈ D(f₁), по свойству

$$\frac{x_0}{1 + nTx_0} < \delta.$$

46

I выполняюсь бы условия
$$0 = T - T \in D(f_1),$$
что, очевидно, неверно.

Предположим, что функция $f_2(x)$ — периодическая с периодом $T$. Возьмем такое целое $n$, что
$$x^* = \frac{1}{2} + nT > 1.$$
Тогда $x^* \in D(f_2)$, и по свойству I
$$x^* - nT = \frac{1}{2} \in D(f_2),$$
что неверно.

Функция $f_3(x)$ определяна на отрезке $[-1,1]$ и, следовательно, не является периодической в силу свойства I.

Пример 2. Доказать неперiodичность функций
$$f_1(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1}, \quad f_2(x) = \cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}),$$
$$f_3(x) = 2x - \cos x.$$
Уравнение
$$\frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1} = a$$
(где $a \in \mathbb{R}$ может иметь, как легко видеть, не более двух корней. Поэтому функция $f_1(x)$ каждое значение принимает не более чем в двух точках и потому по свойству II не является периодической.

Функция $f_2(x)$ при $x = 0$ принимает значение 3. Решим уравнение
$$\cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}) = 3.$$
(10)

Так как $|\cos t| \leq 1$, то уравнение (11) равносильно системе
$$\begin{cases} \cos x = 1, \\ \cos(x\sqrt{2}) = 1, \\ \cos(x\sqrt{3}) = 1. \end{cases}$$

Но первое уравнение системы удовлетворяется при $x = 2k\pi$, а второе—при $x = \frac{2n\pi}{\sqrt{2}}(k, n \in \mathbb{Z})$, как нетрудно убедиться, обе эти серии значений $x$ имеют лишь единственную общую точку $x = 0$, которая, очевидно, удовлетворяет и третьему уравнению системы. Следовательно, уравнение (10) имеет только один корень. Другими словами, функция $f_2(x)$ принимает значение 3 только один раз и по свойству II не является периодической.

Вычислом производную функция $f_3(x)$:
$$f_3'(x) = 2 + \sin x.$$
Мы видим, что $f_3'(x) > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, и, следовательно, функция $f_3(x)$ — возрастющая на всей числовой прямой; по свойству II она не является периодической.

Пример 3. Выяснить, является ли периодическая функция
$$f(x) = \{x\} + \sin x.$$
Для решения этой задачи используем путь, связанный со свойством III. Предположим, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$. Тогда при любом значении $x$ справедливо равенство
$$\{x + T\} + \sin(x + T) = \{x\} + \sin x.$$
В частности, при $x = 0$ отсутствие $\{T\} + \sin T = 0,$ (11) а при $x = -T$ получаем
$$0 = \{-T\} - \sin T.$$ (12)
Складывая равенства (11) и (12), мы приходим к равенству
$$\{T\} + \{-T\} = 0.$$
Вспомним, что дробная часть $\{x\}$ любого числа $x$ неприцательна. Поэтому последнее равенство возможно только если $\{T\} = \{-T\} = 0$, то есть если $T$ — целое число. Далее, если $\{T\} = 0$, то из равенства (11) следует, что $\sin T = 0$, то есть что $T = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Между тем число $k\pi$ при любом целом $k \neq 0$ не является целым числом, поскольку $\pi$ — irrationalное, и потому уравнения (11) и (12) имеют лишь один общий корень $T = 0$. Таким образом, функция $f(x)$ не является периодической.

Пример 4. Доказать неперiodичность функции
$$f(x) = 2x \cos(x^2).$$
Допустим, что функция $f(x)$ — периодическая и $T > 0$ — ее период. Так как $f(x)$ определяна на всей числовой прямой и $|f(x)| \leq 2T$ при $x \in [0, T]$, то согласно свойству IV при любом $x \in \mathbb{R}$
$$|f(x)| = |2x \cos(x^2)| \leq 2T.$$
Однако это неравенство не выполня-

47

ется при $x = \sqrt{2n\pi}$, если только натуральное число $n$ подобрано так, что $\sqrt{2n\pi} > T$.

Пример 5. Доказать неперiodичность функций
$$f_1(x) = \sin(x^2), \quad f_2(x) = 2\sin x + \sin(x\sqrt{2}).$$

Вычислим произведение данных функций:
$$f_1'(x) = 2x\cos(x^2), \quad f_2'(x) = 2\cos x + \sqrt{2}\cos(x\sqrt{2}).$$

Функция $f_1'(x)$ как показано в примере 4, не является периодической, так что, по свойству V, не является периодической и функция $f_1(x)$. Функция $f_2'(x)$ также не является периодической (доказательство этого факта, по существу, проведено в примере 2) и, следовательно, на основании свойства V не является периодической функция $f_2(x)$.

Пример 6. Доказать неперiodичность функций
$$f(x) = e^{\sqrt{\arctg|\sin(x^2)|}}.$$

Эта функция выглядает довольно странно, и совершенно не ясно, на каком из свойств здесь удасется сыграть. Однако вопрос решается легко, если договора «упростить» данную функцию; при этом, конечно, мы будем пользоваться не только детственными преобразованиями, а тем фактом, что в случае периодности функции $f(x)$ функция $g(f(x))$ также периодическая.

Итак, пусть функция $f(x)$ — периодическая. тогда периодически должны быть и следующее функция:
$$f_1(x) = \ln[f(x)] = \sqrt{\arctg|\sin(x^2)|}, \quad f_2(x) = [f_1(x)]^2 = \arctg|\sin(x^2)|, \quad f_3(x) = \mathrm{tg}[f_2(x)] = |\sin(x^2)|, \quad f_4(x) = [f_3(x)]^2 = \sin^2(x^2).$$

Однако последняя из этих функций периодической не является, но ее производная
$$f_4'(x) = 2x\sin(2x^2)$$
неperiodична (это доказывается также, как в примере 4). Полученное противоречие показывает, что предположение о периодичности функции $f(x)$ неверно.

Пример 7. Доказать, что любой многочлен
$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$$
($a_0 \neq 0$) не является периодической функцией.

Предположим, что функция $f(x)$ — периодическая. Тогда, по свойству V, и ее произведение $f'(x)$ — периодическая функция. Но отсюда следует, что и $f''(x) = |f'(x)|'$ — также периодическая функция, и т. д. В частности, периодическая функция будет $(n-1)$-я производная многочлена $f(x)$:
$$f^{(n-1)}(x) = n! a_0x + (n-1)! a_1.$$
Однако эта функция возвращается или убивает на все целях прямой (она линейная!) и периодической быть не может.

Пример 8. Доказать неперiodичность функции $f(x) = \sin(\ln(x^2+1))$.
Вычислим производную этой функции:
$$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \cos \ln(x^2+1)$$

и рассмотрим функцию
$$g(x) = f'(\frac{1}{x}) = \frac{2x}{x^2+1} \cos \ln \frac{x^2+1}{x^2}.$$

Легко видеть, что $|g(x)| \leq \left| \frac{2x}{x^2+1} \right| \leq 2|x|$, отсутствует, что $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. Поскольку функция $f'(x)$ определяна на все целях прямой и отлична от постоянной, по свойству VI она не периодична. Поэтому по свойству V и сама функция $f(x)$ не является периодической.

Ураженяя

Определите, является ли периодически следующее функция:

1. $f_1(x) = \{x\} + \cos 2x, \quad f_2(x) = \{x\} + \sin x.$
2. $f_1(x) = \sqrt{1-x^2}, \quad f_2(x) = 2\pi x - 3e^x.$
3. $f_1(x) = \ln(\sqrt{x^2+1} - x), \quad f_2(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + \ln(-x + \sqrt{x^2+1}).$
4. $f_1(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 - 5\sin x, \quad f_2(x) = (x^4 - 2x + 5)c - x.$
5. $f_1(x) = \sqrt{|\cos(x^2)|}, \quad f_2(x) = x\sin x.$
6. $f(x) = \sin \sqrt{x^2+1}.$
7. $f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{при } x \neq 0, \\ x \sin \frac{1}{x} & \text{при } x \neq 0, \\ 0 & \text{при } x = 0. \end{cases}$
8. $f_1(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x^4 + 3x^3 - 2x + 10}, \quad f_2(x) = \frac{x^6 - 3x^3 + 4x^2 + x + 2}{x^4 + 2x^3 - 4x + 1}.$