17 задач по анализу (пределы, непрерывность, монотонность, производная)

36

17 задач
по анализу
(пределялы, непрерывность,
монotonность, производаная)

Приводимые ниже задачи адресованы девятиклассикам. Для их решения не нужно делать никаких вычислений: достаточно понимать соответствующие определения из учебника «Алгебра и начала аналiza 9» и их интерпретацию на графиках функций.

§ 1. Предельы функций (п. 38)

1. На рисунках 1, $a - \theta$ изображены графики функций $y = f(x)$, определенных при $x \neq 0$. Укажите:
   a) в каких случаях существует предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ (и чему он равен);

6. в каких случаях предела $f(x)$ при $x \to 0$ не существует (и объясните, почему).

График на рисунке 1, $\theta$ — это бесконечнозвенная ломанная, точки излома которой имеют абсциссы $x = \pm 1/n$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ (четным $n$ соответствует точки минимума, нечетным — точки максимума).

2. Функции $y = f(x)$, графики которых изображены на рисунках 2, $a - \theta$, определены при $x < 0$. Доппределите эти функции при $x > 0$ (достроите графики) так, чтобы для получения функций:
   a) существует предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ (всегда ли так можно сделать? если нельзя, то объясните, почему);

6. не существует предела $\lim_{x \to 0} f(x)$ (всегда ли так можно сделать?).

Дайте не один, а, скажем, два или три разных способа построения графика (в тех случаях, когда требованием задачи можно удовлетворить).

§ 2. Непрерывность функций (п. 38)

3. Нарисуйте график всоду определенной функции $y = f(x)$, которая была не перерывна во всех точках $x$, кроме: a) $x = 100$; 6) $x = \pm 1$; b) $x = 1, 2, 3, 10$; г) $x = n$, где $n$ — произвольное целое число.

4. Среди функций, графики которых изображены на рисунках 3, $a - \theta$, указите те, которые не перерывны (разрывны) в точке $x = x_0$ или $x = x_1$.

5. Дорисуйте (желательно несколькими способами) графики на рисунках 4, $a - \theta$ так, чтобы получились графики всоду определенных и всоду непрерывных функций. Во всех ли случае это возможно?

§ 3. Монotonность функций

6. Функция $f$ всоду определенна и убивает на всей числовой оси. Может ли при этом функция $f$ быть:
   a) всоду положительной (то есть такой, что $f(x) > 0$ при любом $x$)?
   b) всоду отрицательной? в четной? г) нечетной? д) периодическая?

7. Укажите промежутки возрастания и убивания функций, графики которых изображены на рисунках 5, $a - \theta$.

8. Известно, что функция $f$ убивает на промежутках: a) $[0,1]$ и $[1,2]$; b) $[0,1]$ и $[1,2]$. Можно ли утверждать, что функция $f$ убивает:

1. на обеединении этих промежутков — на полуперверале $[0,2]$?
2. на «подпромежутке» $[0,1/2]$?

9. Нарисуйте график функций $y = f(x)$ так, чтобы она:
   a) убивала на промежутках $[-\infty, -2]$ и $[1,4]$ и возрастала на промежутках $[-2,1]$ и $[4, +\infty]$;
   b) возрастала на каждом промежутке вида $[n, n + 1]$, где $n$ — целое, но не возрастала на каждом промежутке длины большие единицы;
   b) возрастала на множество всех целых значений $x$ и убивала на множество всех остальных чисел.

Можно ли при этом «сделать» функцию $f$ всоду отрицательной?