[Câu đố]

42

Đây là dòng sông. Sau khi ném cần câu xuống nước, các chàng trai bắt đầu theo dõi cẩn thận những chiếc phao.

• Nhìn kìa, cậu đang cắn đấy.
• Đó là sự thật. Vậy… vậy… Vâng!
  Nhìn con cá rô này đẹp làm sao.
  “Đừng nói to như vậy, sẽ dọa hết cá.” Lần đầu tiên bạn học thì thầm là khi nào? Và trong lớp chúng tôi lúc nào cũng nhận được những lời nhận xét: những cuộc trò chuyện, những cuộc trò chuyện… Ôi, tôi bị cuốn hút. Cá rô cũng vậy!
  Đến sáng cá cắn câu ngon lành, rồi khi nắng nóng, keo yếu đi, các anh bắt đầu đếm mẻ cá mình đánh được.
• Nhìn này, tôi bắt được nhiều cá nhất.
• Đúng vậy, cá của bạn đều nhỏ: một con ershin và một con gián.
  “Cá của anh ấy nhỏ cũng không sao: người quản lý nấu món súp cá rất ngon.”
  Tính toán và nhân tạo xong các chàng trai về nhà. Mọi người đều có tâm trạng vui vẻ, nhưng Petya đặc biệt hài lòng - anh ấy, một người mới bắt đầu câu cá, đã câu được nhiều cá hơn cả ngư dân Vasya được tuyên bố.

---

Bạn đã đọc câu chuyện này? Sau đó cố gắng trả lời hai câu hỏi.

1. Kẻ lừa đảo vật lý của Vasya tên là gì?
2. Thể tích nhỏ nhất (có thể chấp nhận được!) trong một bài toán đã cho mà Dirac đã giải được là bao nhiêu?

Hình vuông
bình phương

Một hình vuông 3x3 chứa các số từ 1 đến 9. Sắp xếp lại các số này sao cho ba số có ba chữ số mang tính giáo dục là những số chính phương.

Ngôi sao

Mỗi chữ cái là một con số. Chính xác thì cái nào?

Tái sử dụng

Đặt các số lại với nhau bằng dấu hoa thị để bạn có được các ví dụ nhân hoàn thành chính xác.

L. Mochalov

44

Một phát biểu rất rõ ràng: nếu tất cả các hàm tuần hoàn đều có một số tính chất, nhưng một hàm đã cho không có đặc tính này thì hàm này không tuần hoàn.

Tất nhiên, để lối thoát này có hiệu quả, người ta phải có một tập hợp các tính chất chung của hàm tuần hoàn. Hãy để chúng tôi chỉ ra một số tính chất như vậy.

Sáu tính chất của hàm tuần hoàn

I. Nếu điểm $x_0$ thuộc miền định nghĩa của hàm tuần hoàn $f(x)$ với chu kỳ $T$ thì tất cả các điểm $x_0 + nT$, $n \in \mathbb{Z}$ cũng thuộc miền định nghĩa của nó.

Đặc biệt, miền định nghĩa của hàm tuần hoàn chứa càng nhiều số dương và số âm ở giá trị tuyệt đối càng tốt.

Tính chất này là một hệ quả rất lớn của định nghĩa hàm tuần hoàn. Ví dụ, từ đây, suy ra rằng một hàm chỉ xác định trên bán trục dương $[0, \infty[$ không thể tuần hoàn. Do đó, ví dụ, hàm logarit $y = \ln x$ không tuần hoàn.

II. Hàm tuần hoàn nhận giá trị của nó trong vô số giá trị đối số, trong đó có các số dương và số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nhiều.

Đặc biệt, một hàm tuần hoàn không thể liên quan đến tuổi tác hoặc tiêu diệt trong mọi lĩnh vực định nghĩa.

Tính chất này suy ra ngay từ đẳng thức

$$f(x + nT) = f(x), \quad n \in \mathbb{Z},$$

hợp lệ cho hàm tuần hoàn $f(x)$ với khoảng thời gian $T > 0$. Ví dụ, từ đây, suy ra rằng một hàm tăng dọc theo toàn bộ trục số không thể tuần hoàn.

Khi nói về các tính chất của hàm số mũ $y = ax^x$, theo quy định, người nộp đơn không thể chứng minh rằng nó không phải là hàm mũ

ditic. Trong khi đó, hàm này trả về (tại $a > 1$) hoặc hủy (tại $0 < a < 1$) trên $R$ (được chứng minh trong sách giáo khoa), và sau đó không định kỳ.

III. Nếu $f(x)$ là hàm tuần hoàn xác định trên toàn bộ trục số thì phương trình

$$f(x + T) = f(x),$$

Nếu $T$ được coi là ẩn số và $x$ là tham số, thì chúng ta có ít nhất một lời giải $T = T_0$ dương, thỏa mãn ngay lập tức cho tất cả các giá trị của tham số $x \in R$.

Thuộc tính này thực ra là một sự phát triển lại của định nghĩa: xét cho cùng, nếu hàm $f(x)$ là tuần hoàn, thì sẽ tồn tại một số $T_0 > 0$ sao cho với bất kỳ $x \in R$ nào

$$f(x + T_0) = f(x),$$

và điều này có nghĩa là số $T_0$ là nghiệm của phương trình (2) với bất kỳ giá trị nào của tham số $x$.

Liên kết với thuộc tính cuối cùng là cách tiêu chuẩn sau đây để chứng minh tính không tuần hoàn của các hàm $f(x)$: nếu chúng ta cũng có thể chỉ ra hai giá trị của đối số $x = a$ và $x = b$, thì phương trình

$$f(a + T) = f(a)$$

Và

$$f(b + T) = f(b)$$

không có điểm dương chung lời giải $T = T_0$ thì hàm số $f(x)$ không tuần hoàn.

IV. Nếu đối với hàm tuần hoàn $f(x)$ với chu kỳ $T$ trên một khoảng nào đó $[\alpha, \alpha + T]$ thì bất đẳng thức

$$|f(x)| \leq M,$$

thì bất đẳng thức này đúng với mọi giá trị của đối số.

Cụ thể, đối với hàm tuần hoàn $f(x)$ xác định trên toàn bộ trục số, tồn tại một số $M > 0$ sao cho bất đẳng thức (3) đúng với mọi $x \in R$.

Tính chất IV suy ra từ lý luận sau. Cho hàm $f$ tuần hoàn với chu kì $T$ và cho bất đẳng thức (3) đúng với $x \in [\alpha, \alpha + T]$. Khi đó, nhờ đẳng thức (1), bất đẳng thức này đúng trên mọi phân đoạn

45

[α+nT, α+(n+1)T], n ∈ Z. Tuy nhiên, bất kỳ giá trị nào của đối số đều được đưa vào một trong các phân đoạn như vậy.

V. Nếu một hàm tuần hoàn khả vi thì tích của nó là hàm tuần hoàn có cùng chu kỳ.

Tính chất này chứng minh điều này. Trước hết, từ định nghĩa của hàm tuần hoàn và hàm tùy ý, ta suy ra rằng nếu hàm tuần hoàn f(x) với chu kỳ T có một f’(x) tùy ý tại một điểm x nào đó, thì nó cũng có một hàm tuần hoàn tùy ý tại điểm x + T. Nói cách khác, nếu x ∈ D(f’), thì x + T ∈ D(f’). Vẫn còn phải đảm bảo rằng

$$f'(x + T) = f'(x)$$

với x ∈ D(f’). Chúng ta hãy biểu thị hàm f(x + T) bằng g(x) và coi nó là một hàm phức với hàm “nội” x + T và hàm “bên ngoài” f(x). Khi đó, theo công thức hàm phức tùy ý, ta sẽ có

$$g'(x) = f'(x + T) \cdot (x + T)' = f'(x + T).$$

Nhưng do tính tuần hoàn g(x) = f(x) nên

$$g'(x) = f'(x).$$

Từ đẳng thức (5) và (6) đẳng thức (4) suy ra. Do đó, f’(x) là hàm tuần hoàn có chu kỳ T.

VI. Nếu f(x) là hàm tuần hoàn xác định trên toàn bộ trục số và bị bỏ qua khỏi một hằng số thì không có giới hạn nào của hàm f\left(\frac{1}{x}\right) khi x → 0.

Thuộc tính này có thể thu được từ một số xem xét đồ họa. Cho x tiến tới 0 trong khi vẫn dương; thì biểu thức 1/x tăng vô hạn. Vì hàm tuần hoàn f “dao động” khi đối số tăng, nên hàm g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) “dao động” trong vùng lân cận của điểm x = 0 và do đó không có giới hạn khi x → 0.

Chúng ta sẽ tiến hành một chứng minh chặt chẽ về việc hình thành tính chất của chúng ta bằng phản chứng. Hãy giả sử rằng

$$\lim_{x \to 0} g(x) = A.$$

Trước tiên, chúng ta hãy đảm bảo rằng hàm g(x) có ít nhất một điểm x > 0 nhận giá trị khác A. Thật vậy, nếu g(x) = A với mọi x > 0, thì f(x) = g\left(\frac{1}{x}\right) = A

với mọi x > 0. Nhưng từ tính tuần hoàn của hàm f(x) ta suy ra rằng f(x) không đổi trên mọi trục số, và điều này mâu thuẫn với các điều kiện.

Do đó, tồn tại một điểm x₀ > 0 sao cho

$$g(x₀) = \alpha \neq A.$$

Lấy ε = \frac{1}{2} |A - \alpha| > 0. Theo định nghĩa về giới hạn, đẳng thức (7) ngụ ý sự tồn tại của một số δ > 0 sao cho mọi x ≠ 0 thỏa mãn bất đẳng thức |x| < δ, (8)

bất đẳng thức |g(x) - A| < ε. (9)

Tuy nhiên, với n ∈ Z đủ lớn thì số

$$x^* = \frac{x_0}{1 + nTx_0}$$

• thỏa mãn bất đẳng thức (8), nhưng không thỏa mãn bất đẳng thức (9) với x = x*:

$$g(x^*) = g\left(\frac{x_0}{1 + nTx_0}\right) = f\left(\frac{1 + nTx_0}{x_0}\right) = f\left(\frac{1}{x_0}\right) = g(x_0) = \alpha,$$

và do đó

$$|g(x^*) - A| = |\alpha - A| > \frac{1}{2} |\alpha - A| = \varepsilon.$$

Chúng ta đã đi đến mâu thuẫn với đẳng thức (7).

Ví dụ

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra một số ví dụ về cách sử dụng các tính chất trên của hàm tuần hoàn để chứng minh tính không tuần hoàn của một hàm cụ thể.

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số không tuần hoàn

$$f_1(x) = \cos \ln |x|; \quad f_2(x) = \sqrt{x(x - 1)}; \quad f_3(x) = \arcsin x.$$

Nếu hàm f₁(x) là tuần hoàn với chu kỳ T > 0, thì vì T ∈ D(f₁), theo tính chất

$$\frac{x_0}{1 + nTx_0} < \delta.$$

46

Tôi sẽ đáp ứng các điều kiện
$$0 = T - T \in D(f_1),$$
điều đó rõ ràng là không đúng sự thật.

Giả sử rằng hàm $f_2(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $T$. Lấy một số nguyên $n$ sao cho
$$x^* = \frac{1}{2} + nT > 1.$$
Sau đó $x^* \in D(f_2)$ và theo tính chất tôi
$$x^* - nT = \frac{1}{2} \in D(f_2),$$
điều đó không đúng.

Hàm $f_3(x)$ được xác định trên khoảng $[-1,1]$ và do đó, không tuần hoàn do tính chất I.

Ví dụ 2. Chứng minh tính không tuần hoàn của hàm số
$$f_1(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1}, \quad f_2(x) = \cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}),$$
$$f_3(x) = 2x - \cos x.$$
phương trình
$$\frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1} = a$$
(trong đó $a \in \mathbb{R}$ có thể có, như dễ thấy, không quá hai nghiệm. Do đó, hàm $f_1(x)$ lấy mỗi giá trị ở không quá hai điểm và do đó, theo tính chất II, không tuần hoàn.

Hàm $f_2(x)$ tại $x = 0$ nhận giá trị 3. Giải phương trình
$$\cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}) = 3.$$
(10)

Vì $|\cos t| \leq 1$ nên phương trình (11) tương đương với hệ
$$\begin{cases} \cos x = 1, \\ \cos(x\sqrt{2}) = 1, \\ \cos(x\sqrt{3}) = 1. \end{cases}$$

Nhưng phương trình đầu tiên của hệ thỏa mãn ở $x = 2k\pi$ và phương trình thứ hai - ở $x = \frac{2n\pi}{\sqrt{2}}(k, n \in \mathbb{Z})$, vì dễ dàng nhận thấy rằng cả hai chuỗi giá trị $x$ này chỉ có một điểm chung duy nhất $x = 0$, rõ ràng thỏa mãn phương trình thứ ba của hệ. Do đó, phương trình (10) chỉ có một nghiệm. Nói cách khác, hàm $f_2(x)$ chỉ nhận giá trị 3 một lần và theo tính chất II, hàm này không tuần hoàn.

Hãy tính hàm đạo hàm $f_3(x)$:
$$f_3'(x) = 2 + \sin x.$$
Chúng ta thấy rằng $f_3'(x) > 0$ với bất kỳ $x \in \mathbb{R}$ nào, và do đó, hàm $f_3(x)$ đang tăng trên toàn bộ trục số; theo tính chất II nó không tuần hoàn.

Ví dụ 3. Tìm xem hàm số có tuần hoàn không
$$f(x) = \{x\} + \sin x.$$
Đối với lời giải bài toán này, chúng tôi sử dụng đường dẫn được liên kết với thuộc tính III. Giả sử rằng $f(x)$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ $T > 0$. Khi đó với bất kỳ giá trị nào của $x$ đẳng thức
$$\{x + T\} + \sin(x + T) = \{x\} + \sin x.$$
Cụ thể, với $x = 0$ không có $\{T\} + \sin T = 0,$ (11) và với $x = -T$ chúng ta có được
$$0 = \{-T\} - \sin T.$$ (12)
Cộng các đẳng thức (11) và (12), ta thu được đẳng thức
$$\{T\} + \{-T\} = 0.$$
Hãy nhớ rằng phần phân số $\{x\}$ của bất kỳ số nào $x$ đều không âm. Do đó, đẳng thức cuối cùng chỉ có thể xảy ra nếu $\{T\} = \{-T\} = 0$, tức là nếu $T$ là số nguyên. Hơn nữa, nếu $\{T\} = 0$, thì từ đẳng thức (11) suy ra $\sin T = 0$, tức là $T = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Trong khi đó, số $k\pi$ đối với bất kỳ số nguyên $k \neq 0$ nào không phải là số nguyên, vì $\pi$ là số vô tỷ và do đó phương trình (11) và (12) chỉ có một nghiệm chung $T = 0$. Do đó, hàm $f(x)$ không tuần hoàn.

Ví dụ 4. Chứng minh hàm số không tuần hoàn
$$f(x) = 2x \cos(x^2).$$
Giả sử rằng hàm $f(x)$ là tuần hoàn và $T > 0$ là chu kỳ của nó. Vì $f(x)$ được xác định trên toàn bộ trục số và $|f(x)| \leq 2T$ cho $x \in [0, T]$, nên theo thuộc tính IV cho bất kỳ $x \in \mathbb{R}$ nào
$$|f(x)| = |2x \cos(x^2)| \leq 2T.$$
Tuy nhiên, sự bất bình đẳng này không giữ được.

47

đúng với $x = \sqrt{2n\pi}$ trừ khi số tự nhiên $n$ được chọn sao cho $\sqrt{2n\pi} > T$.

Ví dụ 5. Chứng minh tính không tuần hoàn của hàm số
$$f_1(x) = \sin(x^2), \quad f_2(x) = 2\sin x + \sin(x\sqrt{2}).$$

Hãy tính tích của các hàm này:
$$f_1'(x) = 2x\cos(x^2), \quad f_2'(x) = 2\cos x + \sqrt{2}\cos(x\sqrt{2}).$$

Hàm $f_1'(x)$, như trong Ví dụ 4, không tuần hoàn, do đó, theo tính chất V, hàm $f_1(x)$ cũng không tuần hoàn. Hàm $f_2'(x)$ cũng không tuần hoàn (chứng minh điều này về cơ bản được thực hiện trong Ví dụ 2) và do đó, dựa trên tính chất V, hàm $f_2(x)$ không tuần hoàn.

Ví dụ 6. Chứng minh tính không tuần hoàn của hàm số
$$f(x) = e^{\sqrt{\arctg|\sin(x^2)|}}.$$

Chức năng này trông khá lạ và không rõ thuộc tính nào có thể được phát ở đây. Tuy nhiên, vấn đề có thể được giải quyết dễ dàng nếu thỏa thuận “đơn giản hóa” chức năng này; Tất nhiên, trong trường hợp này, chúng ta sẽ không chỉ sử dụng các phép biến đổi thời thơ ấu mà còn sử dụng thực tế là nếu hàm $f(x)$ là tuần hoàn thì hàm $g(f(x))$ cũng tuần hoàn.

Vì vậy, hãy để hàm $f(x)$ tuần hoàn. thì định kỳ cần có chức năng sau:
$$f_1(x) = \ln[f(x)] = \sqrt{\arctg|\sin(x^2)|}, \quad f_2(x) = [f_1(x)]^2 = \arctg|\sin(x^2)|, \quad f_3(x) = \mathrm{tg}[f_2(x)] = |\sin(x^2)|, \quad f_4(x) = [f_3(x)]^2 = \sin^2(x^2).$$

Tuy nhiên, hàm số cuối cùng trong số này không tuần hoàn mà là đạo hàm của nó
$$f_4'(x) = 2x\sin(2x^2)$$
không tuần hoàn (điều này được chứng minh tương tự như trong Ví dụ 4). Mâu thuẫn thu được cho thấy giả định về tính tuần hoàn của hàm $f(x)$ là sai.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng mọi đa thức
$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$$
($a_0 \neq 0$) không phải là hàm tuần hoàn.

Giả sử rằng hàm $f(x)$ là tuần hoàn. Khi đó, theo tính chất V, tích $f'(x)$ của nó cũng là hàm tuần hoàn. Nhưng từ đó suy ra rằng $f''(x) = |f'(x)|'$ cũng là một hàm tuần hoàn, v.v. Đặc biệt, hàm tuần hoàn sẽ là đạo hàm bậc $(n-1)$ của đa thức $f(x)$:
$$f^{(n-1)}(x) = n! a_0x + (n-1)! a_1.$$
Tuy nhiên, hàm này trả về hoặc tiêu diệt tất cả các mục tiêu trực tiếp (nó là tuyến tính!) và không thể tuần hoàn.

Ví dụ 8. Chứng minh hàm số $f(x) = \sin(\ln(x^2+1))$ không tuần hoàn.
Hãy tính đạo hàm của hàm này:
$$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \cos \ln(x^2+1)$$

và xét hàm
$$g(x) = f'(\frac{1}{x}) = \frac{2x}{x^2+1} \cos \ln \frac{x^2+1}{x^2}.$$

Dễ dàng nhận thấy thiếu $|g(x)| \leq \left| \frac{2x}{x^2+1} \right| \leq 2|x|$ tức là $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. Vì hàm $f'(x)$ được xác định cho tất cả các mục đích của đường thẳng và khác với một hằng số, nên theo tính chất VI, nó không tuần hoàn. Do đó, theo tính chất V, bản thân hàm $f(x)$ không tuần hoàn.

Nhấn mạnh

Xác định xem hàm số sau có tuần hoàn hay không:

1. $f_1(x) = \{x\} + \cos 2x, \quad f_2(x) = \{x\} + \sin x.$
2. $f_1(x) = \sqrt{1-x^2}, \quad f_2(x) = 2\pi x - 3e^x.$
3. $f_1(x) = \ln(\sqrt{x^2+1} - x), \quad f_2(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + \ln(-x + \sqrt{x^2+1}).$
4. $f_1(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 - 5\sin x, \quad f_2(x) = (x^4 - 2x + 5)c - x.$
5. $f_1(x) = \sqrt{|\cos(x^2)|}, \quad f_2(x) = x\sin x.$
6. $f(x) = \sin \sqrt{x^2+1}.$
7. $f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{при } x \neq 0, \\ x \sin \frac{1}{x} & \text{при } x \neq 0, \\ 0 & \text{при } x = 0. \end{cases}$
8. $f_1(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x^4 + 3x^3 - 2x + 10}, \quad f_2(x) = \frac{x^6 - 3x^3 + 4x^2 + x + 2}{x^4 + 2x^3 - 4x + 1}.$