17 bài toán bằng phân tích (giới hạn, tính liên tục, tính đơn điệu, đạo hàm)

36

17 bài toán
bằng cách phân tích
(giới hạn, tính liên tục,
sự đơn điệu, bắt nguồn)

bài toán dưới đây được gửi đến học sinh lớp chín. Đối với lời giải của họ, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào: chỉ cần hiểu các định nghĩa tương ứng trong sách giáo khoa “Đại số và Phân tích cơ bản 9” cũng như cách diễn giải chúng trên đồ thị hàm số là đủ.

§ 1. Giới hạn chức năng (khoản 38)

1. Hình 1, $a - \theta$ thể hiện đồ thị của hàm số $y = f(x)$ được xác định tại $x \neq 0$. Hãy cho biết:
   a) giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại trong trường hợp nào (và nó bằng bao nhiêu);

6. trong trường hợp nào giới hạn $f(x)$ tại $x \to 0$ không tồn tại (và giải thích lý do).

Đồ thị trong Hình 1, $\theta$, là một đường đứt đoạn vô hạn, các điểm ngắt của nó có hoành độ $x = \pm 1/n$, trong đó $n = 1, 2, 3, \dots$ (chẵn $n$ tương ứng với điểm tối thiểu, điểm lẻ - điểm tối đa).

2. Các hàm $y = f(x)$, đồ thị của chúng được hiển thị trong Hình 2, $a - \theta$, được xác định tại $x < 0$. Phân bổ thêm các hàm này tại $x > 0$ (hoàn thiện đồ thị) để thu được các hàm:
   a) có giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ (điều này luôn có thể thực hiện được không? Nếu không thì giải thích tại sao);

6. không có giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ (điều này luôn có thể được thực hiện không?).

Không phải đưa ra một mà có thể đưa ra hai hoặc ba cách khác nhau để xây dựng biểu đồ (trong trường hợp có thể thỏa mãn yêu cầu bài toán).

§ 2. Tính liên tục của chức năng (mục 38)

3. Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ liên tục tại mọi điểm $x$, ngoại trừ: a) $x = 100$; 6) $x = \pm 1$; b) $x = 1, 2, 3, 10$; d) $x = n$, trong đó $n$ là số nguyên tùy ý.

4. Trong số các hàm có đồ thị được hiển thị trong Hình 3, $a - \theta$, hãy chỉ ra những hàm không bị gián đoạn (không liên tục) tại điểm $x = x_0$ hoặc $x = x_1$.

5. Vẽ (tốt nhất là theo nhiều cách) các đồ thị trong Hình 4, $a - \theta$ để bạn có được đồ thị của cả hàm xác định và hàm liên tục. Điều này có thể thực hiện được trong mọi trường hợp?

§ 3. Tính đơn điệu của chức năng

6. Hàm $f$ là xác định và tiêu diệt trên toàn bộ trục số. Hàm $f$ có thể là:
   a) luôn dương (nghĩa là sao cho $f(x) > 0$ với bất kỳ $x$ nào)?
   b) nước âm? thậm chí? d) kỳ quặc? d) định kỳ?

7. Cho biết các khoảng của các hàm tăng và giảm, có đồ thị như Hình 5, $a - \theta$.

8. Được biết, hàm $f$ sẽ giết chết các khoảng: a) $[0,1]$ và $[1,2]$; b) $[0,1]$ và $[1,2]$. Có thể nói rằng hàm $f$ giết chết:

1. tại sự kết hợp của các khoảng này - trên bán đảo $[0,2]$?
2. trên “khoảng phụ” $[0,1/2]$?

9. Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ sao cho:
   a) bị tiêu diệt trong khoảng thời gian $[-\infty, -2]$ và $[1,4]$ và tăng theo khoảng thời gian $[-2,1]$ và $[4, +\infty]$;
   b) tăng trên mỗi khoảng của dạng $[n, n + 1]$, trong đó $n$ là một số nguyên, nhưng không tăng trên mỗi khoảng có độ dài đơn vị lớn;
   b) tăng theo tập hợp tất cả các giá trị nguyên $x$ và bị tiêu diệt bởi tập hợp tất cả các số khác.

Có thể “làm” hàm $f$ âm không?