Bài toán M471—M475; F483—F487

47

Vấn đề
lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 1 năm 1978 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M471, M472” hoặc “F483”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán và vật lý), cũng như các bài tập mới, được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải trong phong bì này). Gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên phong bì ghi: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

M471. Hai đường tròn giao nhau cắt ra ba vùng giới hạn không giao nhau trên mặt phẳng. Chứng minh rằng không có đường tròn nào chia đôi diện tích của ba vùng này.

S. Fomin

M472. Bên trong hình lập phương có một khối đa diện lồi, hình chiếu của nó lên mỗi mặt trùng với mặt này. Chứng minh rằng thể tích của khối đa diện ít nhất bằng 1/3 thể tích của hình lập phương.

V. Prasolov

M473. Có hai nhóm vật nặng $n$, trong đó mỗi nhóm vật nặng được sắp xếp theo thứ tự khối lượng tăng dần. Cho thấy điều đó
a) $2n-1$ các vật nặng có thể được sắp xếp và tất cả các vật nặng $2n$ theo thứ tự khối lượng tăng dần;
b) $*$ nhỏ hơn $2n-1$ khi sử dụng số cân, nói chung là không thể thực hiện được điều này.
(Trong một lần cân, khối lượng của hai quả cân được so sánh; khối lượng $2n$ của các quả cân khác nhau theo từng cặp.) V. Gribere

M474. Một số tự nhiên được gọi là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó (trừ chính nó); chẳng hạn như các số $6=1+2+3$ và $28=1+2+4+7+14$. Chứng minh rằng số $N$ không hoàn hảo nếu biết nó là
a) Khi chia cho 4 thì dư 3;
b) Khi chia cho 6 thì dư 5.
(Người ta thường không biết số hoàn hảo lẻ có tồn tại hay không.) K. Satarkulov, S. Yudey

M475. a) Chứng minh rằng không thể có một tam giác đều trên giấy ca-rô sao cho các đỉnh của nó rơi đúng vào các nút (tại các đỉnh của ô).
b) $*$ Chứng minh rằng trên tờ giấy ca rô có cạnh hình vuông bằng 1, với bất kỳ $\varepsilon>0$ nào, người ta có thể vẽ một tam giác đều có các đỉnh cách ba nút khác nhau nhỏ hơn $\varepsilon$.

c) * Có đúng là đối với bất kỳ đa giác $M$ và bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, có thể vẽ trên giấy ca rô một đa giác $M$ tương tự, tất cả các đỉnh của chúng sẽ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varepsilon$ từ các nút khác nhau không?

V. Kalinnikov

F483. Một cái nêm có góc $\alpha$ (Hình 1) phải chuyển động với gia tốc ngang bằng bao nhiêu để tải nằm trên nó hướng lên trên, nếu hệ số ma sát giữa tải và nêm là $\mu$?

F484. Bên trong một quả cầu có bán kính $R$, được tích điện đều với mật độ thể tích $\rho$, có một quả cầu kim loại nối đất có bán kính $r$ (Hình 2). Tìm sự phụ thuộc của thế năng của hệ này vào khoảng cách đến tâm quả cầu.

F485. Chu kỳ dao động nhỏ của bốn vật tích điện bằng nhau được nối bằng những sợi dây giống hệt nhau có chiều dài $l$ như trong Hình 3 là bao nhiêu? Trong hình, các mũi tên chỉ hướng chuyển động của các vật trong quá trình dao động tại cùng một thời điểm. Khối lượng và điện tích của mỗi vật lần lượt là $m$ và $q$.

F486. Hình 4 thể hiện sơ đồ của máy đo khối phổ. Trong bộ hạ thấp $A$, các ion được hình thành, được gia tốc bởi điện áp $U = 10$ kV và đi qua khe hở $C$ thành từ trường có cảm ứng $|\vec{B}| = 0,1$ T. Sau khi quay, chúng rơi xuống tấm ảnh $D$ và khiến nó chuyển sang màu đen. Các sọc $H^{+}, ^{2}H^{+}, ^{3}H^{+}, He^{+}$ sẽ nằm cách nhau bao xa trên tấm nhựa ảnh? Chiều rộng của khe để các sọc $^{16}O$ và $^{15}N$ tách biệt phải là bao nhiêu?

F487. Con bọ được chụp ở hai thang đo: từ khoảng cách $l_{1} = 3F$, trong đó $F$ là tiêu cự của vật thể và từ khoảng cách $l_{2} = 5F$. Phải thay đổi đường kính khẩu độ của vật bao nhiêu lần để độ sáng của ảnh trên phim trong cả hai trường hợp là như nhau? Hãy xem xét rằng đường kính của vật trong cả hai trường hợp đều nhỏ hơn $F$ nhiều.