Kappa

76

Kappa

Đường cong, được gọi là Kanna (xem trang thứ ba của trang bìa) có tâm đối xứng $O$ và hai trục đối xứng vuông góc với nhau. Kappa cũng có hai đường tiệm cận ngang. Một đường thẳng vẽ trong mặt phẳng của kappa cắt nó nhiều nhất ở bốn điểm.

Ý tưởng đằng sau việc xây dựng Sluz, người phát hiện ra kappa, như sau. Khoảng cách (Hình 1) là các đường tròn tắc nghẽn có tâm nằm trên đường thẳng $l$ và không chứa điểm $O$ bên trong. Đối với mỗi đường tròn như vậy từ điểm $O$ chúng ta vẽ một cặp tiếp tuyến. Tập hợp $\{M\}$ của các điểm tiếp xúc này được biểu thị bằng kappa. Phương pháp này về cơ bản tương đương với phương pháp $I$. Nyyuton (việc cướp bán kính của các vòng tròn tắc nghẽn được Nyyuton sử dụng để sử dụng cạnh của hình vuông $MB$).

Phương pháp $I$. Tuy nhiên, Newton có ưu điểm là nó có thể được sử dụng để xây dựng đồ thị một tiếp tuyến với kappa tại bất kỳ điểm nào. Để làm điều này, chỉ cần xây dựng một pháp tuyến (vuông góc với tiếp tuyến) là đủ. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách làm điều đó.

Chuyển động của hình vuông tại mỗi thời điểm có thể được biểu diễn dưới dạng chuyển động quay quanh một điểm nhất định $N$. Làm thế nào để tìm được vị trí của điểm này tại một thời điểm tùy ý? Các điểm $B$ và $O$ của hình vuông (Hình 2), cùng với các điểm khác của nó, quay tương đối với $N$ và chúng ta biết hướng của vận tốc tại các điểm này ($B$ di chuyển dọc theo $l$ và $O$ di chuyển dọc theo $AM$). Do đó, $N$ nằm ở giao điểm của các đường vuông góc với $AM$ và $l$. Khi đó $MN$ là pháp tuyến của kappa tại điểm $M$.

Sử dụng Hình 3, có thể dễ dàng suy ra phương trình kappa cực $\rho=a$ sttg $\varphi$ (a là bán kính của các vòng tròn tắc nghẽn).

Chúng tôi sẽ trình bày phương pháp chế tạo tấm bảo vệ miệng của I. Barrow. Chúng ta hãy vẽ một tia “thẳng đứng” từ điểm $O$; qua điểm $A$ trên đó chúng ta vẽ đường thẳng $m$ vuông góc với $OA$ (Hình 4). Khoảng cách là một tia tùy ý $OA_1$ cắt nhau với $m$. Chúng ta hãy đặt đoạn $OM_1 \cong AA_1$ tại $OA_1$ sang một bên. Tập hợp $\{M\}$ các điểm như vậy tạo thành hai nhánh trên của kappa. (Bạn có thể thấy đây thực sự là một kappa bằng cách nhìn vào phương trình cực của nó.)

Chúng tôi trình bày một phương pháp chế tạo miếng bảo vệ miệng khác của I. Bernoulli mà không cần bản vẽ. Hãy vẽ một vòng tròn $(L, |LO|)$ với tâm $L \in l$. Chúng ta hãy vẽ hai cung tắc nghẽn $OP < \frac{\pi}{2}$ và $PQ$ trên vòng tròn này. Hãy nối các điểm $O$ và $Q$ bằng một hợp âm. Tại giao điểm của dây cung này hoặc phần tiếp theo của nó với đường thẳng đi qua điểm $P$ và song song với $l$, chúng ta thu được điểm $M$. Tập hợp các điểm như vậy $\{M\}$ cho tất cả các vị trí có thể có của điểm $P$ cũng được biểu thị bằng hai nhánh của kappa. Chứng minh điều đó.

V. Berezin