Các công thức cơ bản của phương pháp tọa độ

88

(dễ dàng nhận thấy điều đó $h > 0$). Vì phải có $|\overrightarrow{O_1Q}| = r$ nên ta có phương trình
$$(a \mathrm{tg} \varphi - r - r \mathrm{tg} \varphi) \cos \varphi = r,$$
từ đó $r$ được tìm thấy:
$$r = \frac{a \sin \varphi}{1 + \sin \varphi + \cos \varphi}.$$
Ở sự khác biệt

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác tùy ý $ABC$ có thể tính được bằng công thức
   $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{|AB|^2 \cdot |AC|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}.$$
2. Các đường chéo không cắt nhau của hai mặt bên liền kề của hình bình hành hình chữ nhật nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ và $\beta$. Tìm góc giữa các đường chéo này.
3. Cạnh đáy của một paramid tứ giác đều $SABCD$ là $a$, chiều cao là $h$. Tìm khoảng cách giữa các dòng $BD$ và $SA$.
4. Các cạnh của một tứ diện bằng $l$. Tìm khoảng cách giữa các đường cao cắt nhau của các mặt của tứ diện.
5. Đáy của hình bình hành vuông là hình thoi có góc nhọn $\alpha$. Mặt phẳng cắt hình bình hành này thành một hình vuông nghiêng so với mặt phẳng đáy một góc bằng bao nhiêu?
6. (MSU, cơ chế, 1970). Độ dài mỗi cạnh của tham số tam giác $SABC$ bằng 1, điểm $D$ là đáy của chiều cao $BD$ của tam giác $ABC$. Tam giác đều $BDE$ nằm trong mặt phẳng tạo thành một góc $\varphi$ với cạnh $AC$, đồng thời các điểm $S$ và $E$ nằm cùng một phía của mặt phẳng $ABC$. Tìm khoảng cách giữa các điểm $S$ và $E$.
7. (MSU, vật lý, 1976). Cho một khối lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$. Điểm $E$ là giữa cạnh $A_1D_1$, điểm $F$ là giữa cạnh $AA_1$. Tìm bán kính nhỏ hơn hình cầu đi qua các điểm $E$ và $F$ và chạm vào mặt của góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng $BB_1C_1C$ và $DD_1C_1C$.

Ứng dụng

Các công thức cơ bản của phương pháp tọa độ

Tọa độ của vectơ $\vec{a}$
$$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x; y; z)$$
$$x = \vec{a} \cdot \vec{i}, y = \vec{a} \cdot \vec{j}, z = \vec{a} \cdot \vec{k}$$

Tọa độ của điểm $M$
Nếu $\overrightarrow{OM} = (x; y; z)$ thì $M (x; y; z)$

Mối quan hệ giữa tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tọa độ điểm đầu $A (x_1; y_1; z_1)$ và điểm cuối $B (x_2; y_2; z_2)$

Công thức chuyển song song $\vec{p} = (a; b; c)$, $M (x; y; z)$
$$\vec{p} (M) = M_1 (a + x; b + y; c + z)$$

Tổng và hiệu của vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$$

Tích của vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và số $p$
$$\vec{p a} = (px; py; pz)$$

Tích chấm của các vectơ không Les-Left $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

89

Độ dài vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Khoảng cách giữa các điểm $A(x_1; y_1; z_1)$ và $B(x_2; y_2; z_2)$
$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Góc giữa các vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$$

Công thức đồng nhất có tâm $O(0; 0; 0)$ và hệ số $k$, $M(x; y; z)$
$$H_O^k(M) = M_1(kx; ky, kz)$$

Phương trình mặt phẳng
$$ax + by + cz + d = 0$$

phần mở đầu chứa dấu chấm $O(0; 0; 0)$ tại
$$ax + by + cz + d > 0 \quad d > 0$$
$$ax + by + cz + d < 0 \quad d < 0$$

đóng cửa
$$ax + by + cz + d \geq 0 \quad d \geq 0$$
$$ax + by + cz + d \leq 0 \quad d \leq 0$$

Vector vuông góc với mặt phẳng $\alpha: ax + by + cz + d = 0$
$$\vec{n}_\alpha = (a; b; c)$$

Phương trình mặt phẳng chứa điểm $A(x_1; y_1; z_1)$ và vuông góc với vectơ $\vec{n} = (a; b; c)$
$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$

Góc giữa các mặt phẳng $\alpha: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$, $\beta: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$
$$\vec{n}_\alpha = (a_1; b_1; c_1), \vec{n}_\beta = (a_2; b_2; c_2)$$

Diện tích $S_{\pi p}$ của hình chiếu trực giao lên mặt phẳng $\beta$ của đa giác có diện tích $S$ nằm trong mặt phẳng $\alpha$
$$S_{\pi p} = S \cdot \cos(\alpha, \beta)$$

Phương trình hình cầu có bán kính $R$ có tâm tại điểm $S(a; b; c)$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ tại điểm $A(m; p; q)$
$$(m - a)(x - a) + (p - b)(y - b) + (q - c)(z - c) = R^2$$
$$(a - m)(x - m) + (b - p)(y - p) + (c - q)(z - q) = 0.$$