Olympic Toán

58

XI Olympic toàn Liên đoàn dành cho HỌC SINH

I. Klumova, M. Smolyansky

Thế vận hội
trong toán học

Năm nay, Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XI dành cho học sinh được tổ chức nhân kỷ niệm 60 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại.

Vòng chung kết Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XI đã diễn ra tại thủ đô của Estonia, thành phố Tallinn.

Có 153 học sinh ở Tallinnik - những người chiến thắng trong các Cuộc thi Tài nguyên và những đứa trẻ đã giành vị trí thứ 1 và thứ 2 tại Olympic trước đó. Lần đầu tiên, một đội (3 người) gồm học sinh các trường dạy nghề, những người đoạt giải Olympic trường dạy nghề Leningrad, được đại diện tại Olympic. Chủ nhà của vòng chung kết Olympic, cư dân Talin, cũng tranh tài với đội 3 người của họ.

Học sinh hiện đại nhận 42 học sinh lớp 8, 56 học sinh lớp 9 và 55 học sinh lớp 10.

Lễ khai mạc chặng cuối cùng của Olympic toàn Liên minh lần thứ XI diễn ra vào ngày 14 tháng 4 tại hội trường của Học viện Chính trị Tallinn. Chủ tịch Ban tổ chức, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Estonia A.K. Khumal chúc mừng những người tham gia Olympic khi bắt đầu cuộc tổng hợp, chúc họ thành công và bày tỏ lời chào và lời chúc mừng từ Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô M.A. Prokofiev.

Trong gần sáu tháng, ban giám khảo đã lựa chọn tỉ mỉ bài toán cho Olympic từ một danh sách lớn gồm bài toán “ứng cử viên” do các nhà toán học từ các thành phố khác nhau trình bày. Để người đọc nhận thấy những bài toán này, chúng tôi trình bày đầy đủ các điều khoản của họ. Hầu hết chúng đã được xuất bản trong “Bài toán Kvant (xem Số 7-9)*.

Như thường lệ, chặng cuối của Olympic được tổ chức thành hai hiệp.

Đến lời giải bài toán của vòng đầu tiên, các em học sinh đã có mặt vào ngày 15/4. Mỗi lớp mất 5 tiếng để trả lời lời giải bài toán.

Dưới đây chúng tôi trình bày danh sách bài toán của vòng đầu tiên.

lớp 8

1. Cho một đường thẳng gãy kín không tự cắt nhau trên mặt phẳng, không có ba đỉnh nào nằm trên cùng một đường thẳng. Biết rằng nếu một đường thẳng đi qua hai hoặc nhiều điểm cắt thì tổng các số viết gần các điểm này đều bằng 0. Chứng minh rằng số cặp đặc biệt là số chẵn. (M457)

2. Một số điểm được đánh dấu trên mặt phẳng không nằm trên cùng một đường thẳng và một số được viết bên cạnh mỗi điểm. Biết rằng nếu một đường thẳng đi qua hai hoặc nhiều điểm cắt thì tổng các số viết gần các điểm này đều bằng 0. Chứng minh rằng mọi số đều bằng 0. (M451)

3. Đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường tròn ngoại tiếp AB và AC của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC tại các điểm K và L. Chứng minh các điểm A, K, L và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC là các đỉnh của hình thoi.

4. Có một số chip màu đen và trắng xung quanh vòng tròn. Họ lần lượt thực hiện thao tác sau: thao tác đầu tiên loại bỏ tất cả các chip đen có hàng xóm trắng (ít nhất là ở một bên) và thao tác thứ hai

*) Trong ngoặc đơn sau điều kiện, chúng ta viết số mà bài toán tương ứng được đặt trong “Sổ Vấn đề”.

59

sau đó, loại bỏ tất cả các chip màu trắng có hàng xóm màu đen. Họ làm điều này cho đến khi còn lại tất cả các chip cùng màu.

a) Ban đầu có 40 viên bi. Có thể tin rằng sau mỗi lần di chuyển của hai nước đi, sẽ chỉ còn lại một quân cờ trên vòng tròn?

6. Lúc đầu có 1000 con chip trên vòng tròn. Sau bao nhiêu nước đi nhỏ nhất mà một quân có thể còn lại trên vòng tròn?

lớp 9

1. Các hình tam giác $T_1$ và $T_2$ nội tiếp trong một đường tròn và các đỉnh của tam giác $T_2$ là trung điểm của các cung mà đường tròn chia các đỉnh của tam giác $T_1$. Chứng minh rằng trong lục giác $T_1 \cap T_2$ các đường chéo nối các đỉnh đối diện song song với các cạnh của tam giác $T_1$ và cắt nhau tại một điểm. (M452)

2. Cho một dãy số vô hạn $a_1, a_2, \ldots, a_n$, ta biết rằng $\lim_{n \to \infty} \left( a_{n+1} - \frac{1}{2} a_n \right) = 0$. Chứng minh rằng $\lim a_n = 0$.

3. Xem bài toán #1 từ lớp 8.

4. Ở một số quốc gia, bạn có thể đi từ thành phố này đến bất kỳ thành phố nào khác trong vài phút đến các thành phố còn lại. Chi phí của mỗi chuyến đi như vậy được biết đến. Hai tuyến đường đã được biên soạn cho các thành phố của đất nước. Mỗi tuyến đường này bao gồm mỗi thành phố đúng một lần. Khi vẽ tuyến đầu tiên, chúng tôi được hướng dẫn theo nguyên tắc sau: điểm bắt đầu của tuyến được chọn ngẫu nhiên và ở mỗi bước tiếp theo, trong số các thành phố mà tuyến chưa đi qua, điểm có chi phí đi tàu thấp nhất từ ​​thành phố trước đó sẽ được chọn (nếu có một số thành phố như vậy thì bất kỳ thành phố nào trong số đó sẽ được chọn); và cứ như vậy cho đến khi tất cả các thành phố đã được thông qua. Khi tổng hợp tuyến đường thứ hai, thành phố xuất phát cũng được chọn ngẫu nhiên và ở mỗi bước tiếp theo, trong số các thành phố mà tuyến đường chưa đi qua, thành phố có chi phí đi tàu thấp nhất ở mỗi thành phố trước đó sẽ được chọn. Chứng minh rằng tổng chi phí đi lại trên tuyến đường thứ nhất không lớn hơn tổng chi phí đi lại trên tuyến đường thứ hai. (M459)

lớp 10

1, 2. Xem bài toán Số 1 và Số 2 từ lớp chín.

3. Tại mỗi đỉnh của khối đa diện $M$ 3 cạnh hội tụ. Người ta biết rằng mỗi mặt của nó là một đa giác xung quanh có thể mô tả được một vòng tròn. Chứng minh rằng có thể mô tả được một hình cầu xung quanh khối đa diện này. (M456)

4. Đa thức $x^{10} + x^9 + x^8 + \ldots + x^2 + x + 1$ được viết. Hai người chơi trò chơi này. Đầu tiên, phần tử đầu tiên là bất kỳ ngôi sao nào của một số phần tử, bất kỳ ngôi sao nào còn lại, sau đó một lần nữa phần tử đầu tiên được thêm vào số lượng sao, v.v. (tổng cộng 9 bước). Nếu đa thức thu được không có nghiệm thực thì đa thức đầu tiên sẽ thắng.

60

người chơi thắng và nếu có ít nhất một gốc thì cái thứ hai sẽ thắng. Người chơi thứ hai có thể thắng bất kỳ ván nào của người chơi thứ nhất không? (M458)

5. Xem bài toán số 1 từ lớp 8.

Bài toán khó nhất đối với học sinh lớp 8 là bài toán Số 2. Sau khi kiểm tra bài, các em phát hiện chỉ có 4 người giải được. bài toán Số 4 cũng gây khó khăn, đặc biệt là điểm 6).

Học sinh lớp 10 thấy bài toán Câu số 4 khó - chỉ có 3 người giải được.

Và các học sinh lớp chín đã giải bài toán của mình theo cách tương tự. Bạn có thể xem chính xác cách học sinh giải quyết các nhiệm vụ trong bảng dưới đây. Nó cho thấy ở mỗi lớp có bao nhiêu người đã giải được hoàn toàn cái này hoặc cái kia bài toán (điểm “+”), bao nhiêu người đã giải được “gần như” hoàn toàn, có những thiếu sót nhỏ (điểm “±”), bao nhiêu người chưa giải được bài toán nói chung nhưng đã bày tỏ những ý kiến ​​quan trọng về nó lời giải (điểm “≠”). Tất nhiên, bạn nhận thấy rằng đối với học sinh lớp 10, số lượng người tham gia vòng một và vòng hai không giống nhau. Một trong những người tham gia, S. Samigulin (từ nhóm RSFSR), đang đi đến Tallinn từ Bashkiria; anh ấy đã bị trì hoãn do thời tiết xấu và bị trễ vòng đầu tiên. Ở Tallinn, cần phải đưa ra một lệnh khác bài toán, đặc biệt là đối với anh ta đúng thời hạn (loại bài toán đã được phê duyệt mà tôi đã biết). Ở loại thứ hai, S. Samigulin đã giải được bài toán tương tự với mọi người: có 55 học sinh lớp 10, như lẽ ra phải như vậy ngay từ đầu.

Vào ngày 16 tháng 4, tất cả học sinh đã tham gia vào một subbotnik cộng sản. Và ban giám khảo Olympic lúc này đang kiểm tra các tác phẩm.

Phần tiếp theo của phần tổng hợp diễn ra vào ngày 17/4. Học sinh lớp 8 và lớp 9 lại giải được 4 bài toán, học sinh lớp 10 - ba. Đây là bài toán.

lớp 8

5. 7 chú lùn đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Trước mỗi tiếng rên rỉ có một chiếc cốc. Một số cốc này chứa đầy sữa. Một trong những chú lùn đổ hết sữa của mình vào cốc của những người khác. Sau đó, người hàng xóm bên phải của anh ta cũng làm như vậy. Sau đó, người hàng xóm tiếp theo bên phải cũng làm như vậy, v.v. Sau khi người lùn cuối cùng, thứ bảy, rót sữa của mình cho tất cả những người khác, mỗi cốc chứa cùng một lượng sữa như lúc đầu. Tất cả các cốc đều chứa 3 lít sữa. Hỏi ban đầu mỗi cốc có bao nhiêu sữa? (M454)

6. Chúng ta sẽ gọi số có 2 chữ số là số đặc biệt nếu bản thân nó là số chính phương và các số được tạo bởi n chữ số đầu tiên và n chữ số cuối cùng của nó cũng là số chính phương; trong trường hợp này, số thứ hai bắt đầu bằng số 0 nhưng không được bằng 0.

a) Tìm tất cả các số đặc biệt có hai chữ số và bốn chữ số.

6. Có thể có các số đặc biệt gồm sáu chữ số không? (Chứng minh rằng chúng không tồn tại hoặc cho ví dụ về số đó.)

7. Cho một tập hợp số dương {a₁; a₂; …; aₙ}. Đối với mỗi tập hợp con của nó, chúng ta viết ra tổng các số có trong nó (chúng ta xét tổng của một, hai, …, n số hạng). Chứng minh rằng tất cả các số viết được có thể chia thành n nhóm sao cho trong mỗi nhóm tỉ số giữa số lớn nhất và số ồn nhất không vượt quá 2. (M453)

8. Có một nghìn vé có số 000, 001, …, 999 và một trăm ô có số 00, 01, …, 99. Một vé được phép đặt vào ô nếu số ô đó có thể lấy được từ số của vé này bằng cách gạch bỏ một trong các số. Chứng minh rằng a) có thể xếp tất cả các vé vào 50 ô;

6. không thể phân phối tất cả vé vào ít hơn 40 hộp;

b) không thể phân phối tất cả vé vào ít hơn 50 hộp.

lớp 9

5. Cho một tờ giấy ca-rô hình vuông có kích thước 100×100 ô. Một số đường đứt nét không tự cắt nhau được vẽ, nằm dọc các cạnh của ô và không có điểm chung. Những đường đứt đoạn này đi thẳng vào bên trong hình vuông và đầu của chúng đi đến đường viền của nó. Chứng minh rằng, ngoài các đỉnh của hình vuông còn có một nút (bên trong hoặc trên biên) không thuộc một đoạn thẳng nào.

6. Cho các số tự nhiên x₁, x₂, …, xₙ, y₁, y₂, …, yₙ. Các tổng x₁+x₂+…+xₙ và y₁+y₂+…+yₙ bằng nhau và nhỏ hơn mn. Chứng minh rằng trong đẳng thức x₁+x₂+…+xₙ=y₁+y₂+…+yₙ bạn có thể gạch bỏ một số số hạng để bạn lại có được đẳng thức thực sự.

7. Có 1000 hình vuông trên mặt phẳng có các cạnh song song với trục tọa độ. Gọi M là tập trung tâm của các hình vuông này. Chứng minh rằng có thể đánh dấu một phần của các ô vuông sao cho mỗi điểm của tập M rơi vào ít nhất một và nhiều nhất là các ô vuông có bốn số hạng.

8. Trên bàn có cân cốc và n cân có khối lượng khác nhau. Các vỉ lần lượt được đặt trên cân (ở mỗi bước, bất kỳ griya nào cũng được lấy ra khỏi bàn và thêm vào cái này hoặc cái kia của cân).

a) Chứng minh rằng greri có thể được sắp xếp theo thứ tự sao cho

61

Cốc trái, rồi phải, rồi lại trái, lại phải, v.v.

Chuỗi kết quả cân này so sánh các từ trong chữ L và R: LRLRLR… Ở đây chữ L nghĩa là dịch cốc trái, còn chữ R nghĩa là dịch cốc phải.

6. Chứng minh rằng với một từ bất kỳ có độ dài n gồm các chữ cái L và R, có thể đặt các trọng số lên cân theo thứ tự sao cho từ này tương ứng với dãy kết quả cân.

a) Với mỗi số α, tìm tất cả các đa thức Q bậc nhiều nhất là 3 thỏa mãn đa thức P (x)=x2−α.

6. Cho P là đa thức bậc 2, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng có nhiều nhất một đa thức bậc k giao hoán với P.

b) Tìm tất cả các đa thức bậc 4 và 8 giao hoán với một đa thức P bậc 2 cho trước.

d) Đa thức Q và R giao hoán với cùng đa thức P bậc 2. Chứng minh rằng chúng giao hoán với nhau.

e) Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các đa thức P₂, P₃, P₄, …, Pₙ, …, trong đó Pₙ là đa thức bậc k trong đó hai đa thức bất kỳ giao hoán và đa thức P₂ có dạng P₂(x)=x²−2.

7. Cho A là số có 2 chữ số (chữ số đầu tiên không bằng 0). Chúng ta sẽ gọi một số là A đặc biệt nếu bản thân nó là một số chính phương và các số được tạo bởi n chữ số đầu tiên và n chữ số cuối cùng của nó cũng là số chính phương: trong trường hợp này, số thứ hai bắt đầu bằng chữ số 0, nhưng không được bằng 0.

a) Tìm tất cả các số đặc biệt có hai chữ số và bốn chữ số.

6. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số đặc biệt có 20 chữ số.

b) Chứng minh có nhiều nhất 10 số đặc biệt có 100 chữ số.

d) Chứng minh tồn tại ít nhất một số đặc biệt có 30 chữ số. (M460)

8. Bảng chữ cái của người sao Hỏa bao gồm 10 chữ cái và bất kỳ từ có ba chữ cái nào cũng tạo thành họ của người sao Hỏa (nghĩa là có 1000 họ khác nhau trên sao Hỏa). Theo luật của người sao Hỏa, tên người sao Hỏa phải bao gồm hai chữ cái và được lấy từ họ của anh ta bằng cách gạch bỏ một chữ cái.

a) Chứng minh rằng có thể lập danh sách 50 cái tên để một người sao Hỏa có họ bất kỳ có thể chọn một trong những cái tên này.

6. Chứng minh rằng không thể lập được danh sách ít hơn 40 tên.

b) Chứng minh rằng không thể lập được danh sách ít hơn 50 tên.

d) Trước đây, người sao Hỏa có họ gồm bốn chữ cái và tên có hai chữ cái có được từ họ bằng cách gạch bỏ hai chữ cái bất kỳ. Chứng minh rằng trước đây có thể bỏ qua danh sách 34 tên.

e) Tìm danh sách tên tối thiểu (hai chữ cái) phù hợp nếu họ của người Sao Hỏa được tạo thành từ k chữ cái. Hãy thử giải bài toán này với k=4, 5, 6, v.v.

Làm ơn, bài thứ hai hóa ra khó hơn đối với học sinh lớp 8 (thực tế cũng như đối với các lớp khác). Và đặc biệt khó khăn là bài toán số 8 cuối cùng (tất nhiên, nếu không tính đến số 7 hoàn toàn “áp đảo” bài toán mà học sinh chưa đạt được vì đã mất rất nhiều thời gian để tìm kiếm đáp số trong các bài toán khác). Điểm cuối cùng của bài toán này chỉ được giải quyết bởi một phần - Gayane Shakhbozan - sinh viên Trường Vật lý và Toán số 45 tại Đại học bang Leningrad, kết quả đã nhận được giải nhất. Tác phẩm xuất sắc nhất dựa trên kết quả của hai ngày đã được công nhận là tác phẩm của học sinh cùng trường, Ilya Zakharevich. Nhìn chung, cần lưu ý rằng Khoa Vật lý và Toán học tại Đại học bang Leningrad đã đạt kết quả xuất sắc tại Optimida: học sinh của trường đạt 3 giải nhất, 1 giải nhì và 2 giải ba; ngôi trường này được trang bị một lăng kính đặc biệt “Để có kết quả tốt nhất”.

Ngày thứ hai của lớp 10 là chuyến tham quan nghiên cứu (năm ngoái mỗi lớp đều có chuyến tham quan như vậy). Học sinh lớp 10 được đưa ra ba câu bài toán khó, mỗi câu được chia thành nhiều điểm, sắp xếp theo độ khó tăng dần. Bài toán #6 là về đại số, #8 là về số học và bài toán #7 là sự phát triển của bài toán #6 dành cho lớp tám. Các tờ giấy có điều kiện bài toán, do một học sinh phát, bắt đầu bằng dòng chữ trong địa chỉ của Zhorni: “Vào ngày tối ưu hóa thứ hai, chúng tôi đưa ra cho bạn câu khó bài toán. Chúng tôi khuyên bạn nên chọn một trong số chúng và chuyển sang lời giải của nó càng xa càng tốt. Zhorny sẽ đánh giá cao nghiên cứu chuyên sâu về một bài toán hơn là đáp số trong một bài giảng gồm nhiều câu hỏi bài toán”. Thật không may, sự tiến bộ đáng kể trong mỗi

62

Học sinh lớp 8 có bằng cấp 1 (từ trái sang phải): S. Khlebutin, A. Lyakhovets, G. Shakhbozyan, I. Zakharevich.

Học sinh lớp 9 có bằng cấp một (từ trái sang phải): L. Lisnichuk, V. Bugaenko, V. Knizhnik, V. Galperin, V. Neiman.

Học sinh lớp 10 có bằng cấp một (từ trái sang phải): D. Flaass, A. Churbanov, G. Rybnikov, L. Gandelman.

Không một học sinh lớp 10 nào đưa ra đề xuất bài toán. Vì vòng nghiên cứu được tiến hành như một cuộc thử nghiệm nên ban giám khảo quyết định lời giải coi kết quả của ngày đầu tiên là kết quả chính. Kết quả của ngày thứ hai chỉ có thể cải thiện họ.

Trong thời gian rảnh rỗi từ lời giải bài toán, các chàng trai đã thực hiện một số chuyến du ngoạn quanh Tallinn và các bảo tàng của nó (xét cho cùng, Tallinn là một thành phố-bảo tàng thời Trung cổ, một trong những thành phố đẹp và thú vị nhất ở Liên Xô), thăm các phòng thí nghiệm của trường đại học lớn nhất ở Tallinn - Viện Attempt, thăm Nhà hát Opera và Ballet Estonia, gặp gỡ các nhà khoa học, với học sinh Tallinn. Ngày 18 và 19/4, nhiều bài giảng thú vị đã được trao cho các em: “Hình học Lobachsky và Cơ học thiên thể” (giảng viên - Giáo sư MSU V. A. Alekseev), “Khoảng cách giữa các đường cong thay đổi như thế nào” (giảng viên - Phó giáo sư MSU V. A. S Kvortsov), “Hệ thống số” (giảng viên - Giáo sư I. M. Yaglom), “Định lý Abel-Ruffini” (giảng viên: Thí sinh). của Khoa học Vật lý và Toán học D. B. Fuks), “Lý thuyết nhóm và Tối ưu hóa bài toán” (giảng viên: Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học A. K. Tolpygo). Chủ tịch ban giám khảo lớp 8, Thí sinh Vật lý và Toán học N. N. Konstantinov, đã tổ chức một số lớp Câu lạc bộ Toán học với học sinh lớp 8. Đã có một cuộc họp tổ chức của ban giám khảo với các học sinh đến từ các trường toán Tallinn.

Cho đến nay chúng ta chỉ nói về những người chiến thắng (xét cho cùng, tất cả những người tham gia Olympic toàn Liên minh đều là người chiến thắng trong các Olympic cấp trường, khu vực và cuối cùng là Olympic trường tài nguyên). Và bây giờ chúng ta chuyển sang những người yêu thích “nữ hoàng khoa học”, những người không nằm trong số những người chiến thắng. Đừng buồn! Thất bại tại Thế vận hội hoàn toàn không phải là dấu hiệu cho thấy bạn không có khả năng làm toán. Nhiều nhà toán học không thuộc loại “thể thao” hay “Olympic”. Họ giải quyết các bài toán khó một cách chậm rãi và chứng minh các định lý khó. Điều quan trọng là phải là một người thành công và chăm chỉ, quan tâm sâu sắc đến khoa học. Bạn chỉ có thể học toán bằng cách không ngừng giải quyết, suy nghĩ về đủ loại khái quát hóa, nghĩ ra bài toán của riêng mình và