Hãy nói về định nghĩa

32

I. Yaelom

Hãy nói về một số

Toán học bao gồm những gì? Tất nhiên, trước hết là từ các định lý và tiên đề (“Hình học 6”, đoạn 6). Phần quan trọng nhất của toán học là bằng chứng. Chuyên luận mang tính bước ngoặt của N. Bourbaki “Các nguyên tắc toán học” *) bắt đầu bằng những từ: “Kể từ thời Hy Lạp, nói “toán học” có nghĩa là nói “chứng minh”.

Cùng với đó, các định nghĩa đóng một vai trò cơ bản trong toán học (“Hình học 6”, đoạn 2) - xét cho cùng, trước khi chứng minh các định lý về một số đối tượng toán học nhất định, người ta phải hiểu chúng là loại đối tượng nào. Tại sao lại “chứng minh”! Ngay cả để hiểu đơn giản định lý “Đường răng cưa của đường tròn thì vuông góc với đường kính đi qua điểm tiếp tuyến” thì chúng ta phải biết “đường tròn”, “đường răng cưa của đường tròn”, “điểm tiếp tuyến”, “đường kính”, “vuông góc” là gì.

*) Một nhóm các nhà toán học người Pháp, hợp nhất dưới bút danh “Nicolas Bourbaki”, tự đặt mục tiêu viết một chuyên luận hoàn chỉnh về toán học hiện đại. Chuyên luận đã được xuất bản thành nhiều ấn bản riêng ở Paris từ năm 1939. Ở nước ta, bản dịch chuyên luận bắt đầu được xuất bản vào năm 1958. Chuyên luận vẫn chưa hoàn thành. Vì toán học cũng đang tiến lên trong khi viết luận văn nên có thể nó sẽ không bao giờ được hoàn thành.

Hình 1.

33

STVIA - “Chi gần nhất”, từ đó chúng tôi phân biệt các chức năng và “đối với từng phần tử của một bộ…” - “sự khác biệt về loài” đặc trưng cho chúng.

Các định nghĩa theo sơ đồ của Aristotle không chỉ tồn tại trong toán học. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng voi là động vật có vú có vòi dài. Như bạn đã biết, bogatika là khoa học về thực vật.

Tất nhiên, cùng một khái niệm “thông qua một giống gần gũi và sự khác biệt cụ thể” có thể được định nghĩa theo những cách khác nhau. Do đó, hình vuông có thể được định nghĩa là hình chữ nhật có các đường chéo vuông góc với nhau hoặc hình chữ nhật có thể nội tiếp một hình tròn. Cũng có thể phân biệt cùng một “loài” với các “chi” khác nhau. Ví dụ: hình vuông có thể được định nghĩa là hình thoi có đường thẳng (Hình 1).

Bài tập

1. Nêu thêm một số định nghĩa về hình vuông theo sơ đồ của Aristotle.
2. Xác định hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ.
3. Đưa ra một số định nghĩa khác nhau theo sơ đồ của Aristotle về một số khái niệm phi toán học.

Nhiều định nghĩa trong toán học không phù hợp với sơ đồ của Aristotle. Ví dụ, trong các định nghĩa “Đồ thị của hàm y=ax³ (a≠0) được gọi là parabol bậc ba”, “Chúng ta sẽ nói, a lớn hơn b’’ nếu hiệu a - b dương”, “Mô đun của số a là chính số a, nếu a ≥ 0 và số - a, nếu a < 0”, khó có thể chỉ ra một cách tự nhiên “giống gần nhất” và “sự khác biệt về loài”.

Mỗi định nghĩa là một thỏa thuận về việc sử dụng một thuật ngữ hoặc chỉ định nhất định. Vì vậy, người ta không thể nói về sự thật-giả hay bằng chứng về các định nghĩa. Mặt khác, người ta có thể và nên suy nghĩ về tính hợp lý, hữu ích và tiện lợi của một định nghĩa cụ thể.

Từ bất kỳ định nghĩa nào, một định lý (đúng) tự động theo sau, có dạng “tương đương” (“Đại số 7”, đoạn 21). Ví dụ, từ định nghĩa về tính đối xứng trung tâm. Định nghĩa mà bạn biết (“Hình học 6”, đoạn 17) có thể được hình thành như sau: cố định điểm O; Đối với mỗi điểm A của mặt phẳng, chúng ta gán một điểm A’ trên cùng một mặt phẳng, đối xứng với điểm A so với O (Hình 2); Ánh xạ mô tả của mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng với tâm O.

Aristotle (Rome, Bảo tàng Quốc gia tại Nhà tắm). chia hình vuông thành p. 32 tuân theo định lý “Hình chữ nhật của mô hình và mô hình là hình vuông khi các cạnh kề của nó tiếp giáp nhau”.

Định lý tương tự có thể được rút ra từ định nghĩa một cách tầm thường theo một cách xây dựng lý thuyết và yêu cầu lý luận có ý nghĩa theo cách khác. Ví dụ, trong môn hình học phổ thông, định lý “Nếu điểm X nằm giữa hai điểm A và B thì |AX| + |XB| = |AB|" đường thẳng suy ra từ định nghĩa (“Hình học 6,” đoạn 5), và trong hình học dựa trên hệ tiên đề Hilbert, cần có một chứng minh khá dài dòng.

Hãy xem xét hai định nghĩa về số 0 của sự đối xứng trung tâm. Định nghĩa mà bạn biết (“Hình học 6”, đoạn 17) có thể được hình thành như sau: cố định điểm O; Đối với mỗi điểm A của mặt phẳng, chúng ta gán một điểm A’ trên cùng một mặt phẳng, đối xứng với điểm A so với O (Hình 2); Ánh xạ mô tả của mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng với tâm O.

34

Hình 2.

Bài toán 1. Chứng minh rằng ánh xạ của một mặt phẳng lên chính nó khi và chỉ nếu là đối xứng có tâm $O$ khi điểm cố định duy nhất của nó là điểm $O$ (tức là $O'=O$ và với $A \neq O$ ta có $A' \neq A$), nó biến đổi bất kỳ đường thẳng nào thành đường thẳng song song và tồn tại một điểm $B$ $|B'O|=|BO|$.

Định lý thiết lập ở bài toán 1 cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa thứ hai cho khái niệm đối xứng trung tâm: ánh xạ của một mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng có tâm $O$ nếu điểm cố định duy nhất của nó là điểm $O$, thì nó biến đổi bất kỳ đường thẳng nào thành đường thẳng song song và tồn tại một điểm $B$ mà $|B'O|=|BO|$.

Trong định nghĩa đầu tiên, chúng ta đã xây dựng một đối tượng nhất định (ánh xạ một mặt phẳng lên chính nó) và sau đó là một phép biến dạng. Định nghĩa thứ hai trông như thế này: một đối tượng của thành phố mới được gọi là mak-mo nếu nó có những đặc tính như vậy.

Các định nghĩa thuộc loại thứ nhất được gọi là mang tính xây dựng hoặc trực tiếp, các định nghĩa thuộc loại thứ hai được gọi là mô tả (từ tiếng Latin descriptio - “mô tả”) hoặc gián tiếp.

Hãy để tôi nhấn mạnh ngay: không phải vô ích mà chúng tôi chỉ tuyên bố khái niệm định nghĩa mang tính xây dựng và mô tả bằng ví dụ - chúng hầu như không cho phép mô tả chặt chẽ. Bất chấp sự mơ hồ và mơ hồ của chúng, sự đối lập giữa các định nghĩa mang tính xây dựng và mang tính mô tả thường rất hữu ích.

Nếu một khái niệm được định nghĩa mang tính mô tả thì đối tượng tương ứng không nhất thiết phải tồn tại. Ví dụ, giả sử một số tự nhiên khác 1 là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó. Trong trường hợp này, định nghĩa mà chúng tôi đưa ra không xác định bất kỳ đối tượng nào, vì số ước của số $n$ cũng bao gồm chính $n$; Không có con số hoàn hảo*).

Vì vậy, không giống như các định nghĩa mang tính xây dựng, bất kỳ định nghĩa mô tả nào cũng yêu cầu bằng chứng cho thấy đối tượng tương ứng tồn tại.

Hãy xem xét một ví dụ khác về định nghĩa mô tả: các đường thẳng $a$ và $b$, nằm trong cùng một mặt phẳng, được gọi là hội tụ nếu chúng không có điểm chung và khi một điểm di chuyển dọc theo một trong các đường thẳng này theo một trong các hướng, khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia là không giới hạn (Hình 3). Định nghĩa này có định nghĩa bất kỳ đối tượng nào không? Nói cách khác, có đường thẳng không? Hóa ra đáp số câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào hình học mà chúng ta “đang ở”, hình học mà chúng ta đang xem xét.

Trong hình học được đưa vào (hoặc, tương tự cho câu hỏi này, với các tiên đề được chấp nhận trong sách giáo khoa ở trường), tất nhiên, các đường hội tụ không tồn tại (đó là lý do tại sao chúng tôi buộc phải mô tả các đường trong Hình 3 là nhân tạo). Trong hình học của Lobachevsky, các đường thẳng cũng tồn tại (chúng được gọi là song song).

Tư tưởng khoa học thời Trung Cổ, đưa ra những định nghĩa mang tính mô tả: đá triết gia là một loại thuốc cho phép bạn biến kim loại cơ bản thành vàng; eternal dikesamel (di động vĩnh viễn) - đây là một thiết bị cho phép bạn thực hiện công việc mà không tiêu tốn năng lượng - đã nỗ lực hoàn hảo để xây dựng không

*) Tuy nhiên, Stont thêm một từ vào định nghĩa số hoàn hảo: một số tự nhiên khác 1 được gọi là hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó - khi tình huống thay đổi. Ví dụ: $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$. Phần lớn đã được viết về số hoàn hảo trong «Kvant» (1971, số 8, trang 1; 1972, số 4, trang 39; 1973, số 10, trang 71; 1975, số 5, trang 7).