Bài toán M506—M510; F518—F522

42

Vấn đề
lượng tử

M506—M510; F518—F522

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là vào ngày 1 tháng 4 năm 1978 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Vấn đề «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M486, M487” hoặc “F498”. Lời giải bài toán cho mỗi môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới, vui lòng gửi cả Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này, bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Mỗi chữ cái, vui lòng cho biết số trường thực tế của bạn và lớp mà bạn là giáo viên.

M506*. Chứng minh rằng với $a, b, c$ và $d$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2 abcd \geq a^2 b^2 + a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 + c^2 d^2.$$
E. Turkewitz

M507. Được xuất bản năm ngoái trong bản dịch tiếng Nga của “Các bài toán được chọn” từ tạp chí American Mathematical Monthly (M., “Mir”, 1977), hai bài toán của nhà toán học xuất sắc P. Erdos (Số 138 và 139) đã được đưa ra mà không có lời giải. Các biên tập viên của «Kvant» đã nhận được một số chữ cái có chứa lời giải trong số này bài toán. Trước khi giới thiệu các giải pháp tới độc giả của tạp chí, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình suy nghĩ về những vấn đề khó khăn này; vì mục đích này, chúng tôi đưa chúng vào Bài toán «Kvant».
Giả sử $a_1 < a_2 < \dots < a_n < 2n$ là một dãy hữu hạn các số tự nhiên ($n \geq 6$).
a) Chứng minh rằng
$$\min_{i,j} |a_i, a_j| \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
trong đó $|a_i, a_j|$ có nghĩa là bội số chung nhỏ nhất của các số $a_i$ và $a_j$, và giá trị tối thiểu được lấy trên tất cả các tham số của các số $a_i, a_j$.
b) Chứng minh rằng
$$\max_{i,j} (a_i, a_j) > \frac{38n}{147} - c,$$
trong đó $c$ độc lập với $n$ và $(a_i, a_j)$ biểu thị ước chung lớn nhất của $a_i$ và $a_j$.
Không thể cải thiện các ước tính trong bài toán a) và b) (nghĩa là hệ số 6 có thể được thay thế bằng hệ số nhỏ hơn và $\frac{38}{147} - \text{бóльшим})$.

M508. Vòng tròn tiếp xúc với ba đường kính dương có đường kính $AB, BC$ và $AC$ ($C \in |AB|$, Hình 1). Chứng minh rằng bán kính của đường tròn lớn bằng một nửa tính từ tâm đến đường thẳng $AB$.

I. Sharytsin

43

M509. Giải các phương trình sau dưới dạng số tự nhiên:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

D. Fleishman

M510. Trong cuốn sách “Olympic Toán học Hungary”, bài toán (số 148) sau đây được đưa ra: “Chứng minh rằng với mọi số dương $\alpha < \pi$ bất đẳng thức đúng
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha > 0.$$
Chứng minh sự tổng quát hóa sau đây của bất đẳng thức này: với mọi $0 < \alpha < \pi$ và tự nhiên $n$
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha + \dots$$
$$\dots + \frac{1}{n} \sin n\alpha > 0.$$
I. Birder, R. Ushakov

F518. Hình 2 thể hiện vị trí của hai điểm $A$ và $B$ cùng ảnh của chúng $A'$ và $B'$, được biểu thị bằng một đường mảnh. Tìm bằng cách xây dựng vị trí của đường thẳng và tiêu điểm của nó.

Olympic thể chất lần thứ XXIV dành cho học sinh Cộng hòa Nhân dân Ba Lan

F519. Trọng lượng $A$ được treo vào cốc $BC$ bằng một sợi chỉ $AB$ (Hình 3). Biên độ dao động của tải phải bằng bao nhiêu để các dao động này điều hòa? Tải trọng $m = 0,1$ kg, độ cứng của lò xo $k = 1600$ N/m.

F520. Trong nhiệt lượng kế dòng chảy (Hình 4), khí đang nghiên cứu được đưa qua đường ống và được làm nóng bằng đường xoắn ốc. Khí đi vào nhiệt lượng kế ở nhiệt độ $t_1 = 20^\circ\text{C}$. Với công suất lò sưởi là $W_1 = 1$ kW và tốc độ dòng khí là $m_1 = 540$ kg/h, nhiệt độ khí phía sau lò sưởi hóa ra giống như với công suất lò sưởi là $W_2 = 2$ kW và tốc độ dòng khí là $m_2 = 720$ kg/h. Áp suất khí trong đường ống ở mọi nơi là như nhau. Tìm nhiệt độ của khí $t_2$ nếu nhiệt dung riêng của nó ở thể tích không đổi là $c_V = 21$ J/(mol K) và khối lượng mol của khí là $M = 29$ kg/kmol.

F521. Hình 5 cho thấy một phần quỹ đạo của một vật thể tốt được ném nghiêng một góc so với phương ngang. Tại điểm $A$ vật có tốc độ bằng 20 m/s ở giá trị abscylotic. Cơ thể bay từ điểm $A$ đến điểm $B$ mất bao lâu?

F522. Mục tiêu hiển thị trong Hình 6 được kết nối với điện áp nguồn xoay chiều $U_0 = 220$ V. Điện áp giữa các điểm $A$ và $B$ là bao nhiêu?

A. Zilberman