Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

72

Kiev
tình trạng
trường đại học
họ. T. G. Shevchenko

Matematika

Tùy chọn thi viết
Khoa Cơ học và Toán học

1. Một hình trụ nội tiếp trong một tứ giác đều paramid, các mặt bên của nó nghiêng với mặt phẳng đáy một góc φ (một đáy của hình trụ nằm trong mặt phẳng của đáy paramid, và đường tròn của đáy thứ hai có một điểm chung với mỗi mặt bên). Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ đều bằng r. Tính khối lượng của paramid. Tại giá trị nào của góc φ thì thể tích của paramid nhỏ nhất?

2. Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số

$$y = \frac{|4 - x^2|}{4} \text{ и } y = 7 - |x|.$$

3. Giải bất đẳng thức

$$\sqrt{\log_2^2 x + \log_1 x^2 - 3} > \sqrt{5}(\log_4 x^2 - 3).$$

4. Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà ký hiệu thập phân không quá hai chữ số khác nhau?

Khoa Vật lý

1. Một paramid tam giác đều có chiều cao H được mô tả xung quanh một quả cầu có bán kính r. Tính diện tích bề mặt bên của paramid. Tại H thì diện tích này nhỏ nhất? Tìm giá trị diện tích nhỏ nhất.

2. Với giá trị nào của x thì hàm đạo hàm

$$y = \sin 2x + 10\cos x - 6x$$

bằng 0?

3. Tìm giới hạn

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)}}{2n^2 + n + 1}.$$

4. Hai đường thẳng vuông góc nhau được cho trên một mặt phẳng. Tìm tập hợp tất cả các mặt phẳng đó, tích các khoảng cách từ đó đến các đường thẳng đã cho bằng tổng các khoảng cách này.

Bài thi vấn đáp

1. Giải phương trình

$$\sin |x| = |\sin x|.$$

2. Giải bất đẳng thức

$$\sqrt{4 - x^2} + \frac{1}{x} \geq 0.$$

3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

$$x^5 = 5x + 2a$$

tùy thuộc vào tham số a?

4. Hệ phương trình có bao nhiêu lời giải?

$$\begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x^2 + y^2 = a \end{cases}$$

tùy thuộc vào tham số a?

5. Vẽ tập hợp điểm trong hệ tọa độ thẳng

$$\begin{cases} (x; y) | \log \left( |x| - \frac{1}{2} \right) (x^2 + y^2) \leq \log \left( |x| - \frac{1}{2} \right)^4 \end{cases}$$

6. Tìm tất cả các giá trị của a mà số nhiều

$$\{(x; y) | x^2 + y^2 + 2x \leq 1 \} \cap \{(x; y) | x - y + a = 0\}$$

chỉ chứa một điểm. Tìm điểm này.

7. Vẽ đồ thị hàm số

$$y = \begin{cases} 1 - \sqrt{1 - x^2}, \text{ если } x \leq 1, \\ 1 + \log \frac{1}{2} x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$$

8. Chứng minh rằng hàm

$$f(x) = \frac{2}{3} x^9 - x^6 + 2x^3 - 3x^2 + 6x - 1$$

tăng đơn điệu trên R.

9. Tìm tất cả các giá trị của a mà hàm

$$f(x) = \frac{a^2 - 1}{3} x^3 + (a - 1) x^2 + 2x + 1$$

tăng với mọi x ∈ R.

10. Đặt x₁ và x₂ tương ứng, điểm tối đa và điểm tối thiểu

$$f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1.$$

Ở mức bao nhiêu x₁ 2 = x ₂ 2?

11. Vì chức năng gì

$$f(x) = \frac{a}{3} x^3 + (a + 2) x^2 + (a - 1) x + 2$$

có điểm tối thiểu âm?

12. Tại giá trị nào của x được hình thành bằng 0 từ các hàm khác biệt đầu tiên

$$f(x) = \pi \sin \pi x + 2x - 4,$$

tại x = 1 có giá trị 3?

13. Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số

$$y = 2 + \sin x \text{ и } y = 1 + \cos^2 x$$

trên khoảng [0; π].

14. Tính thể tích của hình không gian được tạo thành do chuyển động quay của một