Điều bất ngờ của dải Mobius

28

A. Thaler

Suorpiza
dải Mobinus

Hãy tưởng tượng một bề mặt và một con kiến ​​đang đậu trên đó. Có phải đàn kiến ​​đã bò tới mép mép của bề mặt - nói theo nghĩa bóng, đến mặt dưới của nó - mà không tràn ra mép? Tất nhiên là không! Các nhà toán học đã bị thuyết phục về điều này cho đến giữa thế kỷ này, khi nhà thiên văn học và nhà hình học người Đức August Mobinus đưa ra ví dụ đầu tiên về bề mặt một mặt, ở bất kỳ nơi nào mà một con kiến ​​có thể bò qua mà không nằm trên các cạnh. Chúng ta sẽ nói về bề mặt này, được gọi là dải Möbinus (hoặc dải).

Trước khi đọc thêm, hãy tạo mô hình dải Mobinus: lấy một dải giấy có chiều dài bằng hình chữ nhật hẹp ABCD (Hình 1); vặn nó 180°, dán một chiếc nhẫn ra khỏi nó - dải Möbinus đã sẵn sàng. Hãy thử che một mặt của nó, để lại màu trắng cho mặt còn lại. Bạn sẽ sớm nhận ra rằng thuốc nhuộm “từ trong ra ngoài”. Vì vậy, dải Möbinus thực sự là một bề mặt một mặt.

Dải Möbinus sẽ vượt qua nhiều tốc độ ngay cả khi bạn cố gắng cắt nó:

1. Cắt dải Mobinus của bạn dọc theo đường trung tâm. Ở lần cắt cuối cùng (Hình 2), chiếc kệ thay vì tách ra thành hai mảnh lại mở ra thành một dải khép kín dài được nối với nhau.

2. Cắt băng thu được sau lần cắt đầu tiên dọc theo đường chính giữa của nó. Trước lần sụp đổ cuối cùng, hãy thử đoán xem điều gì sẽ xảy ra?

3. Lấy một dải giấy rất hẹp khác, lần này xoắn nó không phải 180° mà là 360° và dán nó lại với nhau.

Hình 1.

29

những thứ kia; sau đó cắt nó dọc theo đường trung tâm. So sánh kết quả với kết quả của lần cắt trước đó.

Tại sao điều này lại xảy ra? Không cần dùng đến mô hình giấy và kéo, chúng ta hãy thử tính toán nó bằng toán học.

Phương trình bề mặt Möbnus

Chúng ta hãy xây dựng các bề mặt Möbnus trong hệ tọa độ Descartes ba chiều $Oxyz$. Xét trên mặt phẳng $z = 0$ một đường tròn có bán kính $R$ với tâm là gốc $O\left(x^2 + y^2 = R^2\right)$. Để điểm $A$ di chuyển đều theo hướng dương dọc theo đường tròn này; thì mặt phẳng $\alpha$, đi qua trục $Oz$ và điểm $A$, sẽ quay cùng với nó quanh trục $Oz$. Chúng ta hãy xem xét trong mặt phẳng $\alpha$ đường thẳng $l$ đi qua điểm $A$. Cho đường thẳng $l$ quay quanh điểm $A$ ngược chiều kim đồng hồ (nếu bạn nhìn $\alpha$ theo hướng chuyển động của điểm $A$) và tại bất kỳ thời điểm nào góc giữa tia $OA$ và đường thẳng $l$ bằng một nửa góc $\varphi$ giữa trục $Ox$ và tia $OA$. Do đó, khi điểm $A$ hoàn thành một vòng quay hoàn toàn, đường thẳng $l$ xuất hiện trên bề mặt so với vị trí ban đầu tại $180^\circ$.

Tập hợp các điểm trong không gian mà đường thẳng $l$ đi qua (tham gia vào hai chuyển động) là các bề mặt Möbnus (Hình 3). Tại-
Hình 2.

Hình 3.

30

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

ở đâu $0 \leq \varphi < 2\pi, \lambda \in \mathbb{R}^*$).

Cái nhìn tổng quát về bề mặt Mobius được mô tả trên trang bìa của tạp chí. Trong Hình 4 cho thấy phần bề mặt tương ứng với $-1 \leq \lambda \leq 1$; Chúng tôi mô tả phần bề mặt này bằng mô hình giấy.

Nếu khi đi quanh vòng tròn, chúng ta quay đường thẳng với tốc độ gấp đôi thì ở $-1 \leq \lambda \leq 1$ chúng ta sẽ có một dải xoắn $360^\circ$ (nhớ cắt 3)). Đây đã là bề mặt có hai mặt (Hình 5). Phương trình của cô ấy rõ ràng sẽ là

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \varphi. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta lưu ý rằng tại $\varphi = 0$ bộ tạo $l$ cũng cắt đường tròn ban đầu tại điểm $(-R, 0, 0)$. Vì vậy nó không cắt nhau

*) Kiểu định nghĩa bề mặt này thường được gọi là tham số; ở đây các tham số $\varphi$ và $\lambda$ được sử dụng riêng cho bề mặt (tương tự như vĩ độ và kinh độ trên bề mặt trái đất).

Tự giao tuyến tính

Để tìm đường tự giao nhau của bề mặt Möbius, chúng ta tìm xem những cặp máy phát nào có thể giao nhau.

Nếu hai máy phát điện nằm trong các mặt phẳng thẳng đứng khác nhau thì giao điểm của chúng, nếu tồn tại, phải nằm trên đường giao nhau của các mặt phẳng này, tức là trên trục $Oz$.

Với mỗi $\varphi \in [0; 2\pi]$, chúng ta tìm giao điểm của ma trận sinh với trục $Oz$. Đối với điểm này

$$x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi = 0,$$

$$y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi = 0.$$

Vì $\sin \varphi$ và $\cos \varphi$ không thể đồng thời bằng 0 nên $R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} = 0$. Tại $\varphi \neq \pi$, $\lambda = -\frac{R}{\cos \frac{\varphi}{2}}$. Từ (1) $z = -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2}$.

Như vậy tọa độ giao điểm của ma trận sinh với trục $Oz$:

$$\left( 0, 0, -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} \right).$$

Sự tồn tại đối với chúng tôi là thực tế là tất cả các máy phát điện ở $\varphi \neq \pi$

31

cắt trục $Oz$ tại nhiều điểm khác nhau. Tại $\varphi = \pi$ chúng được tạo thành song song với trục $Oz$.

Như vậy, chỉ những cặp đường sinh nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng mới có thể cắt nhau; nói cách khác, nếu một trong các bộ tạo giao nhau tương ứng với góc $\varphi$, thì bộ kia tương ứng với góc $\varphi + \pi$. Giả sử vị trí giao điểm của các ảnh này được xác định bằng giá trị $\lambda_1, \lambda_2$ của tham số $\lambda$. Khi đó từ (1)

$$\begin{cases} x = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y' = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Từ các biểu thức này suy ra $\lambda_1, \lambda_2$ thỏa mãn hệ phương trình

$$\begin{cases} R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2} = -R + \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}, \\ \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

trong đó ($\text{при } \varphi \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$) là $\lambda_1 = -2R \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{\cos \varphi}$. Thay giá trị tìm được $\lambda_1$ vào phương trình (1), ta thu được tọa độ điểm tự giao:

$$x = -R, \ y = -R \text{tg} \varphi, \ z = -R \text{tg} \varphi.$$

Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng khi $\varphi$ thay đổi, điểm tự giao của bề mặt Möbius di chuyển dọc theo một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $x = -R$ và được mô tả bởi phương trình $z = y$. Như vậy, đường tự giao là đường thẳng (nhưng không sinh sôi!). Một đoạn của đường thẳng này được mô tả trên trang bìa. Sau khi nghiên cứu kỹ trình bảo vệ màn hình, bạn sẽ tìm thấy một đường tự giao nhau trên đó.

Hình 6.

Tại sao dải Mobius không bị phân hủy khi cắt?

Bây giờ không khó để trả lời câu hỏi này. Thư giãn trong Hình 4 (và trên trang bìa) cạnh của dải Mobius, tức là dòng $\lambda = \pm 1$. Hãy xem xét kỹ hơn: cạnh này không tách thành một cặp đường cong khép kín, như trường hợp của một mặt phẳng không xoắn, mà biểu thị một đường cong liên tục. Vết cắt của chúng tôi không chạm vào cạnh và do đó cạnh (và do đó toàn bộ dải) sẽ vẫn là một mảnh nguyên vẹn sau khi cắt.

Làm thế nào để giải thích sioprizzes khác?

Chúng ta có thể giả định rằng lần cắt thứ hai được thực hiện dọc theo đường $\lambda = \frac{1}{2}$ (Hình 6).

Tọa độ của một điểm trên đường thẳng này được mô tả (tại $\varphi \in [0, 2\pi]$) bằng các phương trình

$$\begin{cases} x = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Rõ ràng, vết cắt chia mặt phẳng của chúng ta thành hai phần, có thể được gọi một cách có điều kiện là bên ngoài và bên trong, và phần bên trong giống nhau, chỉ hẹp hơn, dải Mobius. Phần bên ngoài là gì?

(Tiếp theo trang 59)