Сюрпризы листа Мёбиуса

28

А. Таллер

Сюорпизы
листа Мёбинуса

Представим себе поверхность и сидящего на ней муравы. Удассяли муравы до оправной стороны поверхности — образно говоря, до ее изнанки, — не перележая через краей? Конечно же нет! В этом были утверены математики до середины прошло века, когда немецкий астроном и геометр Август Мёбинус привел первый пример односторонней поверхности, в любое место которого может доползти мурави, не перележая через краей. Об этой поверхности, называемой листом (или лентой) Мёбинуса, мы и рассケем.

Прежде, чем читать далее, изготовьте модель листа Мёбинуса: возьмите бумажную полоску длиной узкий прямогольник ABCD (рис. 1); перекрутите ее на 180°, склейте из нее колюцо — лист Мёбинуса готов. Попробуйте закрыть одну его сторону, оставив другую белой. Вскоре вы судивлением обнаружите, что краситель «изнанку». Таким образом, лист Мёбинуса действительно является односторонней поверхностью.

Лист Мёбинуса преодолесет вам не один скорpirз и в том случае, если вы попытаете его разрезать:

1. Разрежьте вашу ленту Мёбинуса по центральной линии. При последнем разрезе (рис. 2) положка, вместе того, чтобы развалиться на два куска, разворчивается в длинуную связную замкнутую ленту.

2. Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по ее центральной линии. Перед последним скатнем пожкини попробуйте угадать, что будет?

3. Возьмите еще одну очень узкую полоску бумаги, скрутите ее на этот раз не на 180°, а на 360° и склей-

Рис. 1.

29

те; затем разрежьте и ее по центральной линии. Сравните результат с результатом предыдущего разреза.

Почему так происходит? Не прибегая более к бумажным модельм и ножницам, попробуем посять это математически.

Уравнение поверхности Мёбнуса

Построим поверхности Мёбнуса в трехмерной декартовой системе координат $Oxyz$. Расмотрим на плоскости $z = 0$ окружность радиуса $R$ с центром в начале координат $O\left(x^2 + y^2 = R^2\right)$. Пусть точка $A$ равномерно движется в положительном направлении по этой окружности; тогда плоскость $\alpha$, проходящая через ось $Oz$ и точку $A$, будет вместе с ней равномерно врашаться вокруг оси $Oz$. Расмотрим в плоскости $\alpha$ прямую $l$, проходящую через точку $A$. Пусть прямая $l$ врашается вокруг точки $A$ против часовой стрелки (если смотреть на $\alpha$ в направлении движения точки $A$), причем в любой момент угл между лучом $OA$ и прямой $l$ равен половине угла $\varphi$ между осью $Ox$ и лучом $OA$. Таким образом, когда точка $A$ завершит полный оборот, прямая $l$ оказывается поверхности относительно начального положения на $180^\circ$.

Множество точек пространства, через которых проходит прямая $l$ (участвушая в двух движениях), есть поверхности Мёбнуса (рис. 3). При-
Рис. 2.

Рис. 3.

30

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

где $0 \leq \varphi < 2\pi, \lambda \in \mathbb{R}^*$).

Общий вид поверхности Мёбиуса изображен на обложке журнала. На рис. 4 показана часть поверхности, отвечающая $-1 \leq \lambda \leq 1$; эту часть поверхности мы и изображали бумажной моделью.

Если при обходе окружности мы будем врашать нашу прямую с удвоенной скоростью, то при $-1 \leq \lambda \leq 1$ получим полоску, перекрученную на $360^\circ$ (вспомните разрез 3)). Это уже двусторонняя поверхности (рис. 5). Ее уравнение, очевидно, будет

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \varphi. \end{cases}$$

Заметим теперь, что при $\varphi = 0$ образующая $l$ пересекает исходную окружность еще и в точке $(-R, 0, 0)$. Следовательно, она пересекает не

*) Такое задание поверхности часто называют параметрическим; здесь параметры $\varphi$ и $\lambda$ используются исключительно поверхности (подобно ширете и долгите на земной поверхности).

Линняя самопересечения

Чтобы найти линю самопересечения поверхности Мёбиуса, выясним, какие пары образующих могут пересекаться.

Если две образующие лежат в различных вертикальных плоскостях, то точка их пересечения, если она существует, должна лежать на линей пересечения этих плоскостей, т. е. на оси $Oz$.

Для каждой $\varphi \in [0; 2\pi]$ найдем точку пересечения образующей с осью $Oz$. Для этой точки

$$x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi = 0,$$

$$y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi = 0.$$

Поскольку $\sin \varphi$ и $\cos \varphi$ не могут быть равны 0 одновременно, $R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} = 0$. При $\varphi \neq \pi$, $\lambda = -\frac{R}{\cos \frac{\varphi}{2}}$. Из (1) $z = -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2}$.

Таким образом, координаты точки пересечения образующей с осью $Oz$:

$$\left( 0, 0, -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} \right).$$

Существием для нас является тот факт, что все образующие при $\varphi \neq \pi$

31

пересекают ось $Oz$ в различных точках. При $\varphi = \pi$ образуются параллельна оси $Oz$.

Таким образом, пересекаются могут только такие пары образуших, которые лежат в одной вертикальной плоскости; иными словами, если одной из пересекающих образуших соответствуют угол $\varphi$, то другой соответствуют угол $\varphi + \pi$. Пусть положение точки пересечения этих образуших определяется значением $\lambda_1, \lambda_2$ параметра $\lambda$. Тогда из (1)

$$\begin{cases} x = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y' = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Из этих выражений следует, что $\lambda_1, \lambda_2$ удовлетворяют системе уравнений

$$\begin{cases} R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2} = -R + \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}, \\ \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

откуда ($\text{при } \varphi \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$) находится $\lambda_1 = -2R \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{\cos \varphi}$. Подставив найденное значение $\lambda_1$ в уравнения (1), получим координаты точки самопересечения:

$$x = -R, \ y = -R \text{tg} \varphi, \ z = -R \text{tg} \varphi.$$

Отсюда видно, что при изменении $\varphi$ точка самопересечения поверхности Мёбиуса движется вдоль прямой, которая лежит в плоскости $x = -R$ и описывает равенением $z = y$. Таким образом, линии самопересечения является прямой (но не является образующей!). Отрезок этой прямой изобразен на обложке. Внимательно изучив заставку, вы найдете линю самопересечения и на ней.

Рис. 6.

Почему же лист Мёбиуса не распадается при разрезе?

Тепер нетрудно ответить и на этот вопрос. Расмотите на рисунке 4 (и на обложке) край ленты Мёбиуса, т. е. линю $\lambda = \pm 1$. Присмотите: этот край не распадается на пару замкнутых кривых, как было бы в случае неперекрутенной плоски, а представляет собой одну неперерывную кривую. Наш разрез не касался края, и поэтому края (а значит и все полоска) после разреза будет оставаться целым кусом.

Как объяснить другие сiopриззы?

Можно считать, что второй разрез осуществляется по линии $\lambda = \frac{1}{2}$ (рис. 6).

Координаты точки на этой линии описываются (при $\varphi \in [0, 2\pi]$) уравнениями

$$\begin{cases} x = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Очевидно, разрез делит нашу плоску на две части, которые можно условно назвать внешней и внутренней, причем внутренняя часть является такой же, только более узкой, полоской листа Мёбиуса. Что же представляется собой внешняя часть?

(Продолжение см. стр. 59)