Анализ помогает алгебре

53

А. Звонкин

Аnaliz
помогает алгебре

Довольно часто алгебраическую задачу удается решить, подыскав и исследовав методами анализа кakyонибудь подходящую вспомогательную функцию. С таким задачи мы познакомимся на этом занятии математического кружака.

Пример 1. Сколько корней имеет уравнение
$$x^3 - 3x = a^2$$ (1)

Решение. Как известно, существует формула для решения кубнеского уравнения («Квант», 1976, № 9). Однако эта формула очень громоздка. Нельзя ли найти число корней уравнения, не решая его?

Используя произвольную, нарисуем график функции $y = x^3 - 3x$ (рис. 1a). На том же чертеже нарисуем график функции $y = a$, то есть горизонтальный прямую (на рисунке 16 изображено сразу несколько таких прямых — для разных значений $a$). Количество корней уравнения (1) есть просто количество точек пересечения нашего графика и прямой*). Сразу

*) То, что прямая действительно пересекает график так, как показано на чертеже, вытекает из п. 84 учебника «Алгебра и начала анализа 10». Действительно, функция $x \rightarrow x^3 - 3x$ непрерывна и monotonна на каждом из промежутков $] -\infty, -1]$, $[-1, 1]$, $[1, +\infty]$; следовательно, ее множество значений на каждом из этих промежутков — промежуток; поэтому, например, для любого $a \in [-2; 2]$ существует такое $x_0 \in [-1; 1]$, что $f(x_0) = a$, причем, ввиду monotonности функции $f$ на отрезке $[-1; 1]$, такое $x_0$ единственно. В последующих примерах читатель легко проверет подобное рассужение сам.

Рис. 1.

54

Рис. 2.

Рис. 3.

не менее вместе $a^x$ подставим $x$, получим $x = \frac{1}{\ln a}$. Полученное значение $x$ подставляем в первое уравнение:
$$a^{\frac{1}{\ln a}} = \frac{1}{\ln a};$$
логарифмируем и преобразуем:
$$\frac{1}{\ln a} \cdot \ln a = \ln \left( \frac{1}{\ln a} \right) \Leftrightarrow 1 = -\ln (\ln a) \Leftrightarrow \ln a = \frac{1}{e} \Leftrightarrow a = e^{\frac{1}{e}}.$$
Итак, $a_0 = e^{\frac{1}{e}}$.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение
$$a^x = \log_a x?$$
Указание $*$). На рисунке 3 изобра-
*) См. также статью А. Егорова в «Кванте»
№ 10 за 1977 г., с. 37.

жены пять случаев взаимного расположения графиков $y = a^x$ и $y = \log_a x$. Для удобства пунктиром изображена также прямая $y = x$. Функции $a^x$ и $\log_a x$ взимно образны, поэтому их графики симметрины относительно этой прямой. Вам остается лишь найти значения $a_1$ и $a_2$.

Заметим, кстати, что рисунок 3 изображен на обложке учебника «Алгебра 8» (при $a = 10$). Особенно интересным нам кажется случай, изображенный на рисунке 3d. Такая картина получается, например, при $a = \frac{1}{16}$.

Уражениее. Для $a = \frac{1}{16}$ найдите координаты точек пересечения.

Пример 3. При каких значениях $a$ существует такое положительное $b$, что уравнение
$$x^2 + a = 2b \cdot \ln x$$
имеет единственный корень?

55

Решение. Как всегда, начнем с картины. На рисунке 4 изображены три случая взаимного расположения графиков $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot \ln x$ (для $b>0$). Ясно, что уравнение (3) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда эти графики касаются (рис. 46). В точке касания совпадает не только значения симых функций $f(x)=x^2+a$ и $g(x)=2b\cdot \ln x$, но и значения их произвольных $f'(x)=2x$ и $g'(x)=\frac{2b}{x}$. Получилась система:

$$\begin{cases} x^2+a=2b\cdot \ln x \\ 2x=\frac{2b}{x} \end{cases}$$

Из второго уравнения этой системы находится $x=\pm \sqrt{b}$ (напомним, что по предположению $b>0$). Значение $x=-\sqrt{b}$ системе не удовлетворяет, так как $\ln x$ при $x=-\sqrt{b}$ не определяет. Подставляя полученное значение $x$ в первое уравнение, получаем $a=b\cdot \ln b-b$. (4)

Таким образом, графики $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot \ln x$ касаются, если и только если выполнен условие (4); при этом касание проинсходит в точке с абсциссой $x=\sqrt{b}$.

Задача свелась к выяснению следующого вопроса: при каких значениях $a$ существует максиме $b$, что выполняется равенство $a=b\cdot \ln b-b$? Еще одна, эквивалентная, формулировка: найти множество значений функции $f(b)=b\cdot \ln b-b$.

Контрольный вопрос: почему мы опустили требование положительного $b$?

На координатной плоскости $Oba$ нарушем график функции $b \rightarrow b\cdot \ln b-b$ (рис. 5). Тепер ответ на поставленный вопрос «почти ясен»: нужно значение $b$ существует при $a\geq a_0$ (значений может быть и два!). Значение $a_0$ находится уравнения $f'(b)=0$. Поскольку $f'(b)=\ln b$, $b_0=1$.

Таким образом, $a_0=f(b_0)=-1$.

Контрольный вопрос. Как видно из рисунка 5, если $a$ принадлежит интервалу $[-1, 0]$, то ему соответствует два значения $b$. Что это означает для графиков $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot \ln x$? Нарисуйте.

Иногда значение количества корней помещает решить уравнение. Например, если известно, что некоторое уравнение имеетровно один

56

корень, можно попробовать просто угадать его.

Прием 4. Решить уравнение
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2}.$$

Решение е. Один из корней этого уравнения легко угадается: $x = 0$. Есть ли еще корни? Обратимся к графику (рис. 6). Вблизи точки $x = 0$ графики функции $y = \cos x$ и $y = 1 - \frac{x^2}{2}$ так похожи друг на друга, что без дополнительного исследования невозможно получить, какой из рисунков, ба или 66, — правильный. Попробуем доказать, что для всех $x \neq 0$ справедливо уравнение $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ (то есть равенство невозможно).

Пусть $f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$.

Эта функция четна, (т. е. $f(x) = f(-x)$), поэтому рассмотрим только положительные значения $x$. Поскольку $f(0) = 0$, для доказательства уравнения $f(x) > 0$ при $x > 0$ достаточно установить, что $f$ возвращана при $x = 0$, достаточно установить, что $f'(x) > 0$ при $x > 0$ («Алгебра и начала анализа 9», п. 54). Поскольку $f'(x) = x - \sin x$, уравнение $f'(x) > 0$ равносильно уравнению $\sin x < x$, которое при $x > 0$ оченьindo*).

Последикий пример, который мы рассмотрим, касается обобщения уравнения между средним геометрическим и средним аргументческим. Легко доказать, что при $x > 0$, $y > 0$ имеет место $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$, причем уравнение достигается тогда и только тогда, когда $x = y$. Запишем это уравнение в таком виде:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y.$$

Напращиваем следующее обобщение:

Прием 5. Пусть положительные числа $a$ и $b$ максимы, что $a + b = 1$. Доказать, что для всех $x > 0$,

$$y > 0 \quad \text{справедливо уравнение}$$
$$x^a y^b \leq ax + by,$$
(5)

причем уравнение достигается тогда и только тогда, когда $t = 1$. Это доказательство мы оставим в виде упражнения читателю. (Указан ие. Функция $at - t^a + 1 - a$ при $t = 1$ имеет минимум).

Задание и

4. Сколько корней имеет уравнение
   a) $e^x = ax$?
   b) $3x^4 + 4x^3 - 36x^2 = a$?
   b) $\frac{x}{\ln x} = a$?

5. Решить (одно уравнение с двумя неизвестными):

a) $\frac{1}{x} + 2\sqrt{x} = 3y (1 - \ln y)$;
b) $\frac{\ln x}{x} = e^{\cos y}$;
b) $4^x + 1 = 2^{x+1} \sin y$.
6. Нарисовать на плоскости $(p, q)$ множество значений $(p, q)$, при которых уравнения
a) $x^3 = 3p^2x + q$;
b) $p^x = x^q (x > 0)$ имеют 0, 1, 2, … решения относительно $x$.
7. Решить уравнение
a) $\ln x = x - 1$
b) $(x - 1)e^x + x^2 - 3x + 2 = 0$
b) $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3$.

8. Определить (без помощью таблицы), какое число больше $e^\pi$ или $\pi^e$.