Ярославский государственный университет

73

круг примо $y=1$ плоской фигуры, ограниченной графиком функции

$$y = 1 + \cos^2 x$$

на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и этой прямой.

15. Будет ли последовательность

$$a_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + n + 1}$$

монotonной?

16. Доказать, что для произвольного натурального числа $n \geq 2$

$$\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{16}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n}.$$

17. Вычислить предел

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n}.$$

18. Сколько есть пятизначных чисел, в записи которых каждая последующая цифра больше предыдущего?

19. Прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны и не лежат в одной плоскости. На $l_1$ взято $m$ точек, на $l_2 - n$ точек и на $l_3 - k$ точек. Сколько есть треугольников с вершинами в этих точках?

20. Сумма квадратов длины всех сторон и всех диагоналей правильного многоугольника равна $n^2r^2$, где $n$ — число сторон многоугольника, а $r$ — радиус описанной окружности. Доказать это.

21. Доказать, что отношение суммы квадратов длины медиан треугольника к сумме квадратов длины его сторон равно $\frac{3}{4}$.

22. Вычислить площадь равноведренной трапеции, если ее высота равна $h$, а боковую сторону видно из центра описанной окружности под углом $\alpha$.

23. Можно ли из отрезков, конгруентных медиан треугольника, построить треугольник?

24. Вычислить длины диагоналей параллельства, построенного на векторах $\vec{a} = 5\vec{p} + 2\vec{q}$ и $\vec{b} = \vec{p} - 3\vec{q}$, если известно, что $\|\vec{p}\| = 2\sqrt{2}, \|\vec{q}\| = 3$ и $(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\pi}{4}$.

В. Вышенский, Н. Перестюк, А. Самойленко

Ярославский государственный университет был основан в 1918 году по декрету, подписанному В. И. Лениным. В связи с тяжелым положением в стране после гражданской войны в 1924 году он был реорганизован в педагогический институт. В 1970 году — в год столета со дня рождения В. И. Ленин — университет возобновил свою работу. Сейчас в составе университета 5 факультетов: математический, физический, экономический, биологический и психологический, истории и права.

Математический факультет имеет два отделения — математики и прикладной математики.

Студенты физического факультета специальизируются по теоретической физике, физике твердого тела и радиофизике.

Математика

Mathematical факультет

1. Из течки $P$ ($-3; 9$) кривой $y=x^2$ опущены перpendикуляры на оси координат. В каком отношении, считая от оси абсцисс, кривая $y=x^2$ делит площадь прямоугольника, образованного этим perpendикулярами и осями координат?

2. Каким должен быть угол при вершине равноведренного треугольника, вписанной в данной круг, чтобы его перimeter был наиболее большим?

3. Решить уравнение

$$x + 4)\log_4(x + 1) - (x - 4)\log_2(x - 1) = \frac{8}{3}\log_2(x^2 - 1).$$

4. Доказать неравенство

$$n^{n+1} > (n+1)^n (n \geq 3, n \in \mathbb{N}).$$

Физический факультет

1. Найти

$$\lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x}.$$

2. Боковая поверхность правильной четырехугольной прямой равна $a^2$. Найти наиболее большим этой прямой.

3. Решить неравенство:

$$\frac{2 - 4\log_9 x}{\sqrt{2x^2 - x - 6}} \geq 0.$$

4. Решить уравнение:

$$81(\sin 2x - 1)\cos 3x - 9(\sin x - \cos x)^2 = 0.$$

М. Доброхотова