Витебский технологический институт лёгкой промышленности

80

3. Решите уравнение
   $$\sin^2(3x-1)=0,5\sin(3x-1).$$
4. Вычислите интеграл
   $$\int_1^4 \frac{3}{\sqrt{x}} dx.$$

Билет 3

1. Достаточно условие экстремума функции
2. Теорема синусов.
3. Данные векторы: $a=(-1; 2; 0)$ и $b=(2; -3; -2)$. Найдите координаты вектора $2a + \frac{1}{2}b$.
4. Решите уравнение:
   $$(\log_2 x-3)(2^x-5)=0.$$
   Билет 4
5. Теорема об общем виде всех первообразных данных функций.
6. Формулы площади поверхности и объема призмы.
7. Вычислите
   $$\cos(-300^\circ)-2\mathrm{ctg}(-390^\circ).$$
8. Решите неравенство
   $$\log_8 x-\log_8 7 \geq -1.$$
   Билет 5
9. Свойства логарифмической функции.
10. Разложение вектора по трем некомпланным векторам.
11. Решите уравнение
    $$|x^2-3|=8.$$
12. Вычислите:
    $$\arcsin(-1)+2\mathrm{ctg}(-\sqrt{3}).$$

Физика

1. Груз массой $m=20$ кг перемешается вверх по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha=30^\circ$ и коэффициент трения $\mu=0,05$. К грузу параллельно основанию приложена сила $|\vec{F}|=500$ Н. Найти ускорение, с которой перемешается груз.
2. Плавающий в руту куб погружен в нее на $1/4$ своего объема. Какая часть объема будет погружена в руту, если поверхнее налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность руту $\rho_{pT}=13,6 \text{ г/cm}^3$, воды $-\rho_B=1 \text{ г/cm}^3$.
3. В бомбе объемом $V=10$ л содержится смесь водорода и кислорода в равных количеств (масса каждого $m=2$ г). Весь кислород, соединяясь с частью водорода, образует воду. Каково давление оставшегося водорода при $t=17^\circ\text{C}$? Универсальная газовая постоянная $R=8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$.
4. Какова затрата электрозергини в киловатт-часах на получение $m=1$ кг алюминия, если электрозергини при напряжении $U=10$ В, а КПД всей установки $\eta=80\%$? Электрохимический эквивалент алюминия $k=0,093 \text{ мг/K}$.
5. Оптическая система состоит из coincraюшей линзы с фокусным расстоянием $F=30$ см и плоского зеркала, нахождения гося на расстоянии $l=15$ см от линзы Определить положение изображения, даваемого этой системой, если предмет находится на расстоянии $d=15$ см перед линзой.
   Г. Валяшко, Н. Дорошкевич, А. Пузачева

Витебский технологический институт легкой промышленности был открыт в 1965 году. В настоящее время он готовит специалист для легкой и машиностроительной промышленности.
На шести факультетах института по дневной, вечерней и заочной формам обучения обучается свыше 4-х тысяч студентов.
Механико-технологический факультет готовит инженеров-механиков для работы в отделах, лабораториях и цехах швейных и обувных фабрики, домов модели, а также художников-технологической по художественному оформлению трикотажных и текстильных изделия.
Иженерно-экономический факультет готовит инженеров-экономистов для предприятий легкой и текстильной промышленности и предприятий бытового обслуживания населення.
Институт имеет также вечерний и заочный факультеты.

Matematika
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\cos 2x+3\sin x+1=0.$$
2. Докажите, что последовательность, общий член которого $u_n=2\cdot 3^n$, является геометрической прогрессей, и найдет сумму первых 8 членов.
3. Найдите промежутки монotonности и экстремумы функции
   $$y=\frac{\ln x}{x}.$$
4. Вычислите
   $$\int_0^1 |2^x-2^{-x}| dx.$$
5. В правильной четырехоногой примике сторона основания $a$, угол между

81

Ду плоскостями двух боковых граней с общим ребром равен $\alpha$. Найдите объем пирамиды.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\log_{x+1}(x-0,5) = \log_{x-0,5}(x+1).$$
2. Решите неравенство
   $$3 \cdot 4^{x+1} - 35 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^{x+1} \geq 0.$$
3. Вычислите интеграл
   $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$$, если
   $$f(x) = \frac{1 + \sin 2x + \cos 2x}{\sin x + \cos x}.$$
4. Найдите экстремумы функций $f(x) = -x + \cos 2x$ на промежутке $-\frac{\pi}{2}; 0$.
5. Основание прямого параллелепида — ромб с острым углом $\varphi$ и меньшей диагональю $d$. Найдите объем параллелепида, если большая диагональ его составляет с плоскостью боковой грани угол $\alpha$.

Физика

1. Два поезда прошли одинаковый путь за одно и то же время. Оdnako один поезд, трояясь с места, прошел весь путь равноускоренное сускорением $|\vec{a}|=3 \, \text{cm}/c^2$, а другой поезд положину пути щел со скоростью $|\vec{v}_1|=18 \, \text{km}/\text{ч}$, а другую положину пути — со скоростью $|\vec{v}_2|=54 \, \text{km}/\text{ч}$. Найти путь, проijdенный каждой поездом.

(Начало см. c. 28, 59)

до 4π вектор $\vec{SP}$ совершает полный оборот. Следовательно, внешняя часть представляется собой дважды (т. е. на 360°) перекрученную полоску. Таким образом, мы видим, что, выполняя второй и третьий разрезы (см. 2), 3) с. 28), мы в существии резали одну и ту же полоску. Не удивительно, что получился одинаковый результат!

Но почему же получились две з а цепленые полоски? Это легко понять, если вспомнить взаимное расстояние частей до разреза: внешняя часть была как бы обвинавенную.

У праженяя

1. Что будет, если разрезать a) по центральной линии, b) по линии, идущей параллельно краю рядом с ним, — трижды перекрученную полоску? n раз перекрученную полоску?

2. При каких $p$ поверхность, описываемая уравнением
   $$\begin{cases} x = (R + \lambda \cos p\varphi) \cos \varphi, \\ y(R + \lambda \cos p\varphi) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin p\varphi \end{cases}$$
   окажется односторонней?