Знакомы ли вы с линзой?

58

А. Дозоров

Знакомы ли вы с линзой?

Наверное, нет на свете такого мальчика, который не играл бы с увеличительным стеклом (линзой). Впрочем, и девочки тоже. А хорошего ли вы знаете линзу? Это можно легко проверить на опытах.

1. Если у вас есть стеклянная линза, ограниченная двумя выпуклыми поверхностями (одна из них может быть плоской или даже вогнутой), получите с ее помощью изображение Солнца на лице белой бумаги. Лучи от Солнца, находящого очень далеко от Земли, падают на Землю практические параллельным лучом. Линза собирает эти лучи в точке, называемое моей фокусом. Расстояние от линзы до фокуса называют фокусным расстоянием. Определенте фокусное расстояние вшей линзы. Подумайте, почему стеклянную линзу иногда называют «зажигательным стеклом»?

2. Подойдите к включению телевизору, расположите линзу между экраном и листом белой бумаги. Перемешая лист, получите на нем четкое изображение телевизционного экрана. Каким будет это изображение?

Кстати сказаны, точно так же устроен фотоаппарат, только там роль белого листа бумаги играет фотопленка или фотопластика.

Нетрудно получить изображение окна, включенной настолько лампы, удаленного здания. может быть, вам даже удался таким образом «сфотографировать» своего товара.

Попробуйте вращать линзу вокути оси, перепендикулярной плоскости сечения линзы. Поворачивается ли изображение?

3. Получив на лице бумаги какое-нибудь изображение, вынимайте на рассмотрение его. Затем закройте

59

Посмотрите на эту красную фотографию капель росы на листе. Оказывается, водяные капельки—это тоже линзы. Изображение в капельке тем больше, чем меньше сама капелька.

Фото А. Макценко

половину линзы. Что изменилось при этом? Ну конечно, изображение осталось на том же месте и тех же размеров, но яркость его уменшилась. Пострайтесь обьясить это.

4. В принципие, любое произведение тела с неплоской поверхностью образует линзу. Так, очень хорошо увеличивают стеклянные шарики, причем оказывается, чем меньше шарики, тем больше его уведомление. Именно маленький шарик был главной частью в первом микросокопе.

Если у вас есть такой шарик, вы можете сделать себе неплоской карманный микросокоп. Для удобства шарик лучше закрепить в оправу. Расматриваемый предмет надо располагаать как можно близке к шарику.

Стеклянные палочки (их можно найти в школьном химчесском кабинете) — тоже линзы.

Даже волнистая поверхность воды действует как линза. Включите свет вванной комнате, налейте вванную воды и слегка взволнуйте воду — по днуванны побегут светлые «зайчики».

Сделайте те опыты, о которых мы расскажали, и подумайте, какие еще интересные опыты можно провести с линзой.

(Начало см. с. 28)

Пусть $P$ и $S$ — точки, определяемые уравнениями (1) при $\lambda = 1$ и уравнениями (2) соответственно. Координаты вектора $\vec{SP}$ равны разности координат точки $P, S$:

$$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \cos \frac{q}{2} \cos \varphi, \\ y = \frac{1}{2} \cos \frac{q}{2} \sin \varphi, \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{q}{2}. \end{cases}$$

Из уравнения (3) видно, что вектор $\vec{SP}$ меняется периодически, с периодом 4л. Его длина $|\vec{SP}|$, как и следовало ожидать, остается равной $\frac{1}{2}$ (проверьте!). Следовательно, изменения этого вектора свойства к одним поворотам, причем при изменении $\varphi$ на величины 2π направление вектора меняется на противоположное, а при изменении $\varphi$ в диапазоне от 0

(Окончание см. с. 81)

61

Теорема Ферма помогает искать точки экстремума функции $f$ следующим образом. По этой теореме точки экстремума могут быть лишь те внутренние точки области $D(f)$, в которых производная существует и равна нулю, либо точки, в которых производная не определяна. Все такие точки называются «критическими» для данной функции.

Отъискав критические точки и промежутки монотности данной функции, часто удается найти и точки максимума или минимума этой функции. Так, в рассмотрении выше примере в критической точке $x$ 1 функция имеет минимум в силу того, что она убивает на промежутке [0; 1] и возвращает на [1; +∞].

В большинстве практических задач, однako, требуется найти не экстремумы, а наименьшее значение некоторой функции (сырья, материалов, затрат) или наименьшее (продукции, приблиги и т. п.). В чем разница этих понятий?

Когда мы говорим, что функция $f$ имеет в точке $x_0$ экстремум, скажем, максимум, что мы тем самым описываем поведение функции в близку_TO, что она убивает на промежутке [0; 1] и возвращает на [1; +∞].

В большинстве практических задач, однako, требуется найти не экстремумы, а наименьшее значение некоторой функции (сырья, материалов, затрат) или наименьшее (продукции, приблиги и т. п.). В чем разница этих понятий?

Когда мы говорим, что функция $f$ имеет в точке $x_0$ экстремум, скажем, максимум, что мы тем самым описываем поведение функции в близку_TO, что она убивает на промежутке [0; 1] и возвращает на [1; +∞].

Заметим еще, что если функция задана на интервале, то у нее может и не быть наименьшего или наименьшего значения на этом интервале. Такова, например, функция $y(x)$ на интервале [0; 1]: она не достигает ни наименьшего, ни наименьшего значения. Действительно, на левом конце интервала $y(x)$ становится сколь угодно малой, но значение 0 не принимает, а справа «не достигает» значения 1. Еще один пример: функция

$$y(x) = \frac{x-2}{(x-1)(x-3)},$$

задана на интервале [1; 3]. Когда $x$ приближается к 1, значения функции неограниченно возрастают (говорят, что функция стремится к «плосе бесконечности»). Когда же $x$ приближается к 3, значения функции неограниченно увеличют (функция стремится к «минус бесконечности»!) Здесь нет даже значения, которые функция могла бы «достигать».

Отметим, что для дифференцируемых функций, заданных на отрезке, такая непрянность возникнуть не может.

Теперь остановимся на некоторых примерах.

62

Пример 2 (МЭИС *, 1977). Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y(x)=x-2\ln x$ на отрезке [1; $e$].

Здесь $y'=1-2/x$. Приравнивая производную нулю и решая полученное уравнение, находим: $x=2$. Поскольку $1<2<e$, эта точка — критическая. Далее, анализируя формулу $y'=1-2/x$, мы видим, что производная не определяна при $x=0$, но эта точка вне отрезка [1; $e$]. Значит, функция определяна и дифференцируем на отрезке [1; $e$] и потому по указанному выше правлу обязана принять наибольшее и наименьшее значение, причем эти значения будут каждой в одной из трех точек: $x=1$, $x=e$ (гранничные точки), $x=2$ (критическая точка). Имеем: $y(1)=1$, $y(2)=2-2\ln 2$, $y(e)=e-2$. Оценив эти числа, можно показать, что $y(2)$ — наименьшее, а $y(1)$ — наибольшее значение данной функции на отрезке [1; $e$], но сравнить $2-2\ln 2$ и $e-2$ нелегко. Прошле исследовать поведение функций на данном отрезке. Строя схему знаков производной и возрастания и убывания функции $y$ (рис. 2), находим, что функция $y$ убивает на [1; 2] и возрастает на [2; $e$]. Значит, наименьшее значение функции $y$ существует и достигается при $x=2$ (и это—точка минимума). Наибольшее значение тоже существует и достигается в одной из точек $x=1$, $x=e$ (но ни одна из них не является точкой максимума!). Сравнивая $y(1)=1$ и $y(e)=e-2$, находим, что $e-2<2,9-2=0,9<1$. Значит, наибольшим значением функции является $y(1)=1$.

Подобным образом (по знакам производной) исследуют все критические точки функции, когда требуется найти все экстремумы функции и указать их характер. Общее правило здесь такое.

Если в точке $x_0$ производная меняем знак с «плюса» на «минус», то $x_0$ — мощка максимума функции;

Если в точке $x_0$ производная меняем знак с «минуса» на «плюс», то $x_0$ — мощка минимума функции;

*) Московский электроннический институт связи.

если производная в точке $x_0$ равна нулю, но положительная как до точки $x_0$, так и за него, или отрицательная как до точки $x_0$, так и за него, то функция не имеет в точке $x_0$ ни максимума, ни минимума (такие точки называются «мощками перешiba»).

Пример 3. Найти экстремумы и наименьшее и наименьшее значения функции $y(x)=3x^5-5x^3+1$ на отрезке [−2; 2].

Приравнивая нулю производную $y'(x)=15x^4-15x^2$, получаем три критические точки: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Строя схему знаков производной и поведения функции (рис. 3), находим, что функция $y$ имеет в точке $x=-1$ точку максимума, в $x=0$ точку перешiba и в точке $x=1$ точку минимума. Сравнивая значения функций $y$ в точках $x=-2$, $x=-1$, $x=1$ и $x=2$, находим, что наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y(2)=57$, а наименьшим $y(-2)=-55$.

3. «Текстовые» задачи на экстремумы

Выше мы остановились на исследовании функций с помощью производной. Необходимость такого исследования возникнет при решении самых разнообразных прикладных «текстовых» задач. Общая схема решения этих задач следующая. Мы описываем условия задачи переменными и уравнениями и вычисляем функцию, экстремум которого надо найти. Эта функция обычно зависит от многох переменных, но с помощью уравнения мы выражаем все переменные через какую-либо одну, подставляем их в выражение для функции и получаем функцию от одной переменной, после чего стандартным методом проводим исследование.

Пример 4 (МЭИС, 1977). Найти конус наибольшего объема, образующая комородо имеем данную длину $l$.

Obъем конуса выражается через высоту $H$ и радиус основания конуса $R$ следующим образом:

$$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H.$$

В эту формулу входят две переменные

63

Рис. 2.

Рис. 3a.

Рис. 36.

Рис. 4.

ные (R и H), но с помощью условия, что образуются имеет длину l, можно исключить одну из переменных. Какую именно? В принципие — безразлично, но на практике надо учитывать, что данные нам придется резать уравнение $V'=0$, поэтому лучше оставить ту переменную, через которой V выражается наиболее просто. В данном случае имеем: $R^2+H^2=l^2$, откуда $R^2=l^2-H^2$, а также $H^2=l^2-R^2$. Получаем:

$$V(H) = \frac{1}{3} \pi (l^2-H^2) H,$$

$$V(R) = \frac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{l^2-R^2}.$$

Видно, что лучше оставить H, тогда

$$V(H) = \frac{1}{3} \pi l^2 H - \frac{1}{3} \pi H^3,$$

$$V'(H) = \frac{1}{3} \pi l^2 - \pi H^2.$$

Функция V определяна (по смыслу задачи) при $H \in [0; l]$. Критическая точка всего одна: $H = l/\sqrt{3}$. Строя схему знаков произвольной и поведения функции (рис. 4), мы видим, что $H = l/\sqrt{3}$ — точка максимума, причем в ней достигается и наибольшее значение функции V, так как до этой точки V возвращает, а после нее — убывает.

Заметим, что если бы в задаче спрашивалось, при каком радиус основания объем конуса наибольший, наше решение не изменилось бы. Мы сначала нашли бы $V(H)$, точку максимума (и наибольшего значения)

$$H = l/\sqrt{3}, \text{ а потом}$$
$$R = \sqrt{l^2 - (l/\sqrt{3})^2} = l\sqrt{2/3}.$$

Ураженяя

1 (МИТXT*), 1977). Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y(x) = x^4-8x^2-9$ на отрезке [-1; 3].

2 (МИНХ**), 1977). Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$ на отрезке [0; $\pi/3$].

*) Московский институт тонкой химической технологии.
**) Московский институт народного хозяйства.

64

3. (МГУ, мехмат, 1977). Дана функция $f(x) = \cos x \sin^2 x$, $x \in [-\pi; \pi]$. Доказать, что наименьшее значение функции $f$ на этом отрезке больше — 0,39.

4. (МЭИС, 1977). Цена бриллианта порциональная квадрату его массы. Если бриллиант разбит на две части, то в каком случае общая стоимость двух части будет наименьшей?

5. (МЭИС, 1977). Даны точки $A(0; 3)$ и $B(4; 5)$. Найти на оси $Ox$ точку $M$ такую, чтобы $S = |AM| + |MB|$ было наименьшим.

6. Найти наименьшее значение функции $y(x) = \sin(x)$.

7. Требуется построить несколько домов общей жилой площадью 40 000 м². Затраты на построку одного дома жилой площадью $S$ складываются из стоимости функции, порциональной $\sqrt{S}$, и стоимость наемной части, порциональной $S \sqrt{S}$. При строительстве дома жилой площадью 400 м² 80% затрат идет на функмент. Сколько надо строить домов, чтобы затраты были наименьшими?

8. Мощность, затрачиваемая на движение парoxода, порциональная кубу его скорости. Найти наиболее экономичную скорость парoxода при движении против течение, скорость которого равна $a$ km/ч.

9. Имеется батарея с внутренним сопротивлением $r$. Какое сопротивление надо подключит к батарее, чтобы выделяем на нем мощность была наименьшей?

10. На горизонтальной плоскости лежит кирпич массы $m$. С какой наименьшей (по модулю) силой и под каким углом к плоскости надо его тянуть, чтобы он сdwинулся с места, если коэффициент треня равен $k$?

11. (МИСИС*), 1977). Определить интервалы возрастания и убывания, экстреммы и построить схематически график функции

a) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$;
b) $f(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2$;
c) $f(x) = x^4 - \frac{20}{3}x^3 + 8x^2$;
d) $f(x) = x^2(x - 1)^2$;
e) $f(x) = 3x^3 - x + 2$.

12. (МИСИС, 1977). На промежутке $[0; \pi]$ задана функция $y = 1 - \cos x$. Найти наименьшее значение абсиссцы точки пересечения касательной к графику данной функции с осью $Ox$.

13. (МИСИС, 1977). Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом $V$. Каким должно быть его размеры, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материалов?

14. (MBTY**), 1977). Все вершины правый треугольной признак принадлежат ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$. Какой должно быть высота признак принадлежать ферее радиуса $R$.

*) Московский институт стали и сплавов.
**) Московское высшее техническое училище.

15. (МИСИС*), 1977). Найти наименьшее и наименьшее значение функции

a) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$ на отрезке $[-4; 0]$;
b) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 1]$;
b) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 1$ на отрезке $[-3; -1]$.

16. (MBTY, 1977). Оно из оснований цилиндра является сечением шара, а другое основание приладлежит большому кругу этого шара. Радиус шара равен $R$. Какой должно быть высота цилиндра, чтобы его объем был наименьшим?

17. (МИНХ, 1977). Найти наименьшее и наименьшее значения функции

a) $f(x) = 2.2^{3x} - 9.2^{2x} + 12.2^x$ на отрезке $[-1; 1]$;
b) $f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$ на отрезке $[e^{3/4}; e^3]$;
g) $f(x) = 2\log_2^3 x - 15\log_2^2 x + 36\log_2 x$ на отрезке $[4; 16]$.

18. (МИСИС, 1977). Исвex конусов, описанных около данного шара, найти тот, который имеет наименьший объем.

19. (МАП, 1977). Корабль стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки березера. С корабля нужно послать матроса в лагерь, расположенный в 15 км, считая по березу, от ближайшей к кораблю точки березера (лагерь расположен на березу). Если матрос может делать пшком по 5 км/час, а на весах по 4 км/час, то в каком пункте березера он должен присть, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

20. (МАП, 1977). В равноведенный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ висcan прямой угольник так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Какова должа бысть высота прямой угольника, чтобы он имел наименьшую (-3; 0) и (0; 5)?

21. (МИСИС, 1977). В фигуру, ограниченную линейним $y = x^2$, $y = 2x^2$, $x = 6$ висcan параллельрам наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой угольник $y = x^2$, $y = 2x^2$. Найти эту площадь.

22. (МИСИС, 1977). В фигуру, ограниченную линейним $y = 3x$ и параболю $y = x^2$, висcan прямой угольник наибольший площади так, что две его вершины лежат на прямой угольник $y = 3x$, $y = 2x^2$. Найти эту площадь.

23. (МИСИС, 1977). В фигуру, ограниченную линейним $y = 3x$ и параболю $y = x^2$, висcan прямой угольник наибольший площади так, что две его вершины лежат на прямой угольник $y = 3x$, $y = 2x^2$. Найти эту площадь.

*) Московский инженерно-строительный институт.