Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина (физический факультет)

76

4. Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном объеме $V$ наименьшую полную поверхность.
5. Найти функцию $F(x)$, если $F'(x) = 3x^2 + 1$ и $F(1) = 3$, и построить ее график. Вариант 2
6. Решить уравнение
   $$2^{2x+1} + 4 = 9 \cdot 2^x.$$
7. Решить уравнение
   $$6\sin^2 x - 3\sin x \cdot \cos^2 x = 1.$$
8. Решить неравенство
   $$\log \frac{2x}{2} < 1.$$
9. Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в шар радиуса $R$.
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
    $$y = x + 1$$ и $$y = 5 + 3x - 2x^2.$$
    А. Рязановский

Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
(физический факультет)

Математика
Вариант 1

1. Найти косинусы углов, которые образуют с базисными векторами вектор $\vec{a} = 6i - 2j - 3k$.

2. Решить уравнение
   $$7 \cdot 10^{2x+3} - 5 \cdot 4^{2x+3} = 2 \cdot 25^{2x+3}$$

3. Решить уравнение
   $$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \sin \frac{x}{2}.$$

4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $y = \sqrt{3}x$.

5. Построить график
   $$y = x^4 - 2x^2 + 5.$$
   Вариант 2

6. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ единчные и взаимно перpendикулярные. Найти угол между суммой и разностью векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$, где $\vec{p} = 8a + 4b$ и $\vec{q} = 4a + b$.

7. Решить уравнение
   $$7 \cdot 2^x - 4^x = 10.$$

8. Решить уравнение
   $$8 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \sin x - 4 = 0.$$

9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
   $$y = e^x, y = e^{-x}, x = 1.$$

10. Построить график
    $$y = x^3 - 3x^2 + 2.$$
    Физика

11. С крыши уплотни две капли с интервалом времени $\Delta t$. Расстояние между каплями через $t_1 = 1$ с после падения второй из них составляет $l = 50$ см. Определить $\Delta t$.

12. Груз массой $m = 10$ кг перемещают равномерно по прямой в горизонтальной плоскости, прилага силу, направленную под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Определить величины этой силы, если коэффициент треня $\mu = 0,2$.

13. Два груза массами $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 6,8$ кг высот на концах нити, перекиниут через блок. Меньший груз находится на $h = 2$ м ниже большего. Грузы приходят в движение без начальной скорости. Через какое время они оказываются на одной высоте?

14. При выстреле в горизонтальном направлении ствол ордия, масса которого $M = 500$ кг, откатавается на расстояние $l = 80$ см. Определить среднее значение силы торможения в горизонтном устройстве ордия. Масса снаряда $m = 4$ кг, его начальная скорость $|\vec{v}| = 600$ м/с.

15. Льдина постоянной толщины плавает в воде, выдаваясь над поверхностью на высоту $h = 2$ см. Какова масса льдины, если ее площадь 150 см²? Плотность льда $\rho = 0,92$ г/cm³.

16. Сообщающееся с площадью сечение $S_1$ и $S_2$ заполнены жидкостью плоскости $p$. Затем колено сосуда с сечением $S_1$ закрыли, и нахождение в нем воздействи на температуры $T_0$ до температуры $T$. Определить температуру $T$, если уровень жидкости в колене сечение $S_2$ поднялся на величины $\Delta H_2$. Начальний объем воды в закрытом колене $V_0$, атмосферное давление $p_0$ const, тепловым распределением сосуда и жидкости пребежать.

17. Для нагрева неокоторая воля от $0^\circ C$ до температуры клипения на электрическом нагревателе потребовалось $\tau_1 = 15$ мин. После этого потребовалось $\tau_2 = 1$ и 20 мин для обработки всей этой воды в пар при тех же условиях. Определить по этим данным уделную теплоту парообразования воды.

18. Две электрические лампочки включаны в сетка параллельно. Сопротивление первой лампочки $R_1 = 360$ Ом, сопротивление второй $R_2 = 240$ Ом. Какая из лампок поглощает большую мощность и во сколько раз?

19. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделемая во внешней цепи, одинаковая при двух значениях внешнего сопротивления $R_1 = 5$ Ом и $R_2 = 0,2$ Ом.

20. На каком расстоянии от собирающей линия с фокусным расстоянием $F = 12$ см следует поставить предмет, чтобы его действительное изображение было в $n = 3$ большие самого предмета?
    О. Овчинников, Г. Шадрин