Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

78

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học

Tùy chọn 1

1. $a \geq b$ có nghĩa là gì? Chứng minh rằng nếu $a > b$ và $b \geq c$ thì $a > c$.
2. Tìm diện tích tam giác $ABC$ nếu cho tọa độ các đỉnh của nó: $A (3; -1)$, $B (1; -3)$, $C (-6; 6)$. Cho biết tất cả các chuyển động của mặt phẳng khiến tam giác $ABC$ ánh xạ lên chính nó.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{1 - \sqrt{2}} \sin x + 2 \cos x = 0.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$4^x - 2^{x+1} - 3 < 0.$$
   Có đúng $\sqrt{2}$ là giải pháp của nó không?
5. Đặt $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, trong đó $f_1(x) = 2x - \sqrt{9 - x^2}$, $f_2(x) = \log_1(x^2 + x - 2)$.
   Tìm miền định nghĩa của hàm $f(x)$, cũng như giá trị cao nhất và cao nhất của hàm $f_2(x)$ trên khoảng [3; 6].

Tùy chọn 2

1. Khoa phẫu thuật có 40 bác sĩ. Có bao nhiêu cách để thành lập một lữ đoàn gồm:
   a) bác sĩ phẫu thuật và trợ lý;
   b) một bác sĩ phẫu thuật và 4 trợ lý của ông ta?
2. Các điểm $A (-6; 3)$, $B (-7; 7)$, $C (-3; 6)$ và $D (-2; 2)$ được cho trên mặt phẳng. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình thoi và tính diện tích của nó. Chỉ ra tất cả các chuyển động của mặt phẳng mà hình thoi $ABCD$ được ánh xạ lên chính nó.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{4 - \sqrt{3}} \cos x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin x = 0.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2^{x+1} - 5 \cdot 3^x}{2^x - 3^{x+1}} < 1.$$
   Có đúng $\lg \frac{1}{32}$ là giải pháp của nó không?
5. Hàm $f$ được cho bởi công thức
   $$f(x) = \frac{|3x - 4| + 2x^2 - 4x - 1}{|2x + 1| - 2};$$

a) tìm miền định nghĩa của hàm $f$;
b) tìm hàm tùy ý $f$ trong khoảng $- \infty; -2 [$; $f' (-4)$ bằng bao nhiêu?
b) hàm số $f$ có giới hạn ở $x \rightarrow \frac{1}{2}$ và ở $x \rightarrow -\frac{3}{2}$ không?
d) hàm $g$ được quy định bởi quy tắc có giá trị nào $a$
$$g(x) = \begin{cases} f(x), \text{ если } x \neq \frac{1}{2}, \\ a, \text{ если } x = \frac{1}{2}, \end{cases}$$

có một điểm tùy ý tại điểm $x = \frac{1}{2}$?
Tùy chọn 3

1. Cho một hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} 2x - y > a, \\ 3x + 2y > 3a. \end{cases}$$
   a) tại $a = 0$ một hệ thống lời giải sẽ được chỉ định;
   b) có đúng là tất cả lời giải của hệ này đều thỏa mãn bất đẳng thức $5x + y > 4a$ không?
   b) có đúng là tất cả lời giải của hệ này đều thỏa mãn bất đẳng thức $x + 3y > 2a$ không?
2. Khi mặt phẳng tọa độ được quay qua một góc $\alpha$ với tâm tại điểm $M$, điểm $A (2; 3)$ chuyển thành $A_1 (5; 2)$ và $B (2; 5)$ đến $B_1 (7; 2)$. Tìm ảnh của điểm $C (2; 4)$. Tìm hình ảnh của một điểm khác (bạn chọn). Tìm độ lớn của góc $\alpha$ và tọa độ của điểm $M$.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{3 - 5 \cos x - 7 \sin^2 x} + \cos x = 0.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x - 1}{9} - 3^{x-1} \log_2 56 + \log_2 7 < 0.$$
   Có đúng $\frac{1}{\lg 9}$ là giải pháp của nó không?
5. Hàm $f$ được cho bởi công thức
   $$f(x) = a \ln x - 3x^2, \text{ где } a > 0.$$
   a) Tìm giá trị lớn nhất và khoảng đơn điệu của hàm số $f$;

6. cho $a = 32$ tìm ít nhất một bất đẳng thức lời giải
   $$f(x) > 0;$$
   b) với $a$ thì bất đẳng thức $f(x) > 0$ có ít nhất một lời giải?
   d) Chứng minh rằng với $a < 300$ đồ thị hàm số $f$ không cắt đồ thị hàm số $g$ cho bởi công thức
   $$g(x) = \frac{18a - 3x^2}{2}.$$
   Câu này có đúng với $a = 400$ không?
   B. Tonya