Tính đối xứng trong các bài toán vật lý

65

Tính đối xứng trong các bài toán vật lý

Với vật chất đối xứng dễ hiểu - về tự nhiên, công nghệ, nghệ thuật, khoa học. Chúng ta hãy nhớ lại đặc tính đối xứng của quả táo và lá phong, tính đối xứng của các hình thức tự động hóa và máy bay, tính đối xứng trong cấu trúc cổ điển của một bài thơ hoặc cụm từ âm nhạc, tính đối xứng của đồ trang trí, tính đối xứng trong cấu trúc nguyên tử của phân tử và tinh thể. Đặc biệt, tính đối xứng khá phổ biến trong các bài toán vật lý.

đối xứng là gì? Nhiều người cảm thấy khó đưa ra đáp số cho câu hỏi này, mặc dù hầu hết mọi người đều cảm nhận được những biểu hiện của tính đối xứng trong các trường hợp cụ thể khác nhau. Trong thực tế hàng ngày, tính đối xứng dễ hiểu thường được so sánh với một thứ gì đó cân đối, hài hòa và có tỷ lệ cân đối hợp lý. Trong ứng dụng cụ thể của khái niệm này, họ nói, ví dụ, về tính đối xứng quanh một trục, tính đối xứng khi được phản chiếu trong gương, tính đối xứng của hình vuông, hình lục giác đều, v.v.

Khi giải bài toán, chúng ta thường sử dụng tính đối xứng mà không quy định thực tế này, như một điều hiển nhiên. Do đó, có vẻ rất rõ ràng rằng tâm của một tấm hình chữ nhật đồng nhất trọng lực nằm ở giao điểm của các đường chéo của nó, rằng trường bên ngoài một quả cầu kim loại tích điện có thể được coi là trường của một điện tích chính xác nằm ở tâm quả bóng, rằng về mặt toán học, nam châm tạo ra các dao động đối xứng với hướng của lực hấp dẫn.

Trong các giải pháp bài toán người ta có thể tìm thấy các cụm từ như “từ sự đối xứng được báo cáo, rõ ràng là…” hoặc “dựa trên tính đối xứng người ta có thể kết luận…”. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể.

Bài toán 1. Bốn điện tích q mạnh giống hệt nhau được đặt ở các đỉnh của một hình vuông. Phải đặt điện tích Q trái dấu nào vào giữa hình vuông để hệ điện tích cân bằng?

Cân bằng có nghĩa là tổng các lực tác dụng lên mỗi điện tích bằng không. Trong trường hợp này, chỉ cần xét trạng thái cân bằng của một trong năm điện tích là đủ. Anh ấy hỏi cái nào? TỪ sự đối xứng đã trình bày, rõ ràng là việc xét điện tích Q là vô nghĩa, vì nó sẽ ở trạng thái cân bằng bất kể giá trị của nó là bao nhiêu. Một lần nữa, từ tính đối xứng, có thể thấy rất rõ ràng rằng mọi điện tích q đều tương đương nhau, do đó bất kỳ điện tích nào trong số chúng cũng có thể được chọn với lý do như nhau. Ví dụ: khoảng cách, điện tích đặt tại điểm A (Hình 1). Chúng ta hãy mô tả các lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ và $\vec{F}_4$ tác dụng lên nó từ bốn điện tích còn lại. Hãy chiếu các lực này lên hướng AB và viết điều kiện

66

Hình 2.

cân bằng:
$$\vec{F}_4 - \vec{F}_1 \cos 45^\circ - \vec{F}_2 \cos 45^\circ - \vec{F}_3 = 0,$$
hoặc, sử dụng định luật Coulomb (tương tự cho tất cả các thừa số $1/(4\pi\varepsilon_0)$ mà chúng ta giảm dần):
$$\frac{Qq}{a^2/2} - \sqrt{2} \frac{q^2}{a^2} - \frac{q^2}{2a^2} = 0$$
(ở đây $a$ là độ dài cạnh hình vuông). Nó theo sau đó
$$Q = \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1).$$

Bài 2. Bốn phần cắt nằm ở các đỉnh của hình vuông có cạnh $a$. Chúng bắt đầu chuyển động đồng thời với tốc độ không đổi bên ngoài $v$, với bánh răng thứ nhất luôn hướng về số thứ hai, số một hướng về số một, số một hướng về số thứ tư và số thứ tư luôn hướng về số một. Liệu Cherenakhs có gặp nhau không? Nếu vậy thì sau bao lâu?

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng xét từ quan điểm điều kiện bài toán tất cả Cherenakh đều hoàn toàn bình đẳng, tương đương với nhau. Từ các thông điệp đối xứng, rõ ràng là tại bất kỳ thời điểm nào, các phần cắt sẽ tạo thành một hình vuông và tốc độ của chúng sẽ hướng dọc theo các cạnh của hình vuông (Hình 2). Hướng và kích thước của các hình vuông như vậy sẽ thay đổi theo thời gian - cho đến khi hình vuông co lại thành điểm $O$

(Rồi Cherenakhs sẽ gặp nhau). Một lần nữa, từ các thông báo, điểm đối xứng $O$ là tâm chung của tất cả các hình vuông được đề cập. Để tìm thời điểm $t$ mà sau đó Cherenakh đang tới sẽ xảy ra, chúng ta phân tách vectơ vận tốc $v$ Cherenakh thành thành phần $\vec{v}_1$, hướng về tâm $O$ và thành phần vuông góc $\vec{v}_2$. Sau đó
$$t = \frac{a/\sqrt{2}}{|\vec{v}_1|} = \frac{a/\sqrt{2}}{|\vec{v}|/\sqrt{2}} = \frac{a}{|\vec{v}|}.$$

Bài toán 3. Một khối đồng nhất có khối lượng $m$ đứng trên ba sợi dây thẳng đứng có chiều dài bằng nhau, nằm đối xứng (Hình 3). Xác định lực căng của dây nếu dây ở giữa là thép và hai dây còn lại là đồng. Giả sử mô đun Young của thép gấp đôi mô đun Young của đồng và tiết diện của các dây là như nhau.

Từ các thông điệp đối xứng, rõ ràng độ giãn dài $\Delta l$ của cả ba dây là như nhau. Theo định luật Hooke, lực kéo của dây thép và dây đồng lần lượt bằng nhau
$$|\vec{F}_c| = \frac{\Delta l}{l_0} SE_c \text{ и } |\vec{F}_M| = \frac{\Delta l}{l_0} SE_M,$$

hình 3.

hình 4.

68

sẽ giảm theo khoảng cách từ điện tích $+q$. Hình ảnh các đường sức và bề mặt đẳng thế của điện trường tạo ra bởi chính điện tích $+q$ và điện tích cảm ứng trên mặt phẳng được thể hiện trên Hình 6, $a$ (các đường liền màu xanh - đường trường mận, đường chấm - tiết diện các mặt đẳng thế).

Nếu chúng ta thêm hình ảnh bất đối xứng này vào một hình ảnh đối xứng (Hình 6, 6), chúng ta sẽ thu được hình ảnh của điện trường được hình thành bởi hai điện tích chính xác $+q$ và $-q$, nằm cách nhau một khoảng $2r$. Điều này có nghĩa là nhìn từ phía trên mặt phẳng điện, trường được tạo ra bởi điện tích chính xác $+q$ và các điện tích cảm ứng trùng với trường của các điện tích chính xác $+q$ và $-q$. Do đó, lực hút mong muốn của điện tích $+q$ lên mặt phẳng bằng lực tương tác của điện tích $+q$ và $-q$:

$$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{4r^2}.$$

Bài toán 7. Bóng được ném với mặt đất nghiêng một góc $\alpha$ với tốc độ ban đầu $\vec{v}_0$ (Hình 7, $a$). Có một bức tường thẳng đứng cách điểm ném $l$. Những quả bóng ngoan cố đập vào tường và bật trở lại. Anh ta tiếp đất ở khoảng cách bao nhiêu $x$ so với bức tường?

Hãy nhẩm bỏ bức tường và tiếp tục đường bay của quả bóng (đường đứt nét trong Hình 7, 6). Khi va chạm đàn hồi vào tường, giá trị tuyệt đối của tốc độ của quả bóng không thay đổi và góc tới $\beta$ bằng góc phản xạ $\beta_1$. Do đó, các phần của quỹ đạo $AB$ (khi không có bức tường) và $AC$ (khi có bức tường) với nó là số liệu đối với đường thẳng $AA_1$ (so với bức tường). Từ đây chúng tôi nhận được:

$$x = OB - l = \frac{v_0^2}{|g|} \sin 2\alpha - l.$$

Bài toán 8. Quả bóng có di tích $A$ và $B$ bao gồm lực cản $R$. Ngoài sức mạnh giữa mỗi cặp thánh tích, bao gồm soda và thánh tích $A$ và $B$, một điện trở $R$ cũng được gắn vào. Cái tên dẫn đến tổng phản kháng là di tích $A$ và $B$.

Chúng ta hãy nhẩm đặt các điểm $N-2$ được chỉ định trên dòng $OO_1$, so với các điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau. Vì vậy, chúng ta sẽ chuyển từ hình bất đối xứng như ở Hình 8, $a$ sang hình đối xứng như ở Hình 8, $b$ (trong Hình 6). Từ các thông điệp đối xứng, rõ ràng là điện thế của tất cả các điểm trên đường thẳng $OO_1$ là như nhau nên các điểm này có thể tách rời nhau. Khi đó, điện trở cần thiết $R_{AB}$ có thể được tìm thấy bằng công thức:

$$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R}.$$

Từ đây

$$R_{AB} = 2R/N.$$

Chúng ta hãy quay lại câu hỏi được đặt ra trước đó: tính đối xứng là gì? Bằng dấu hiệu chính nào người ta có thể thiết lập sự hiện diện của nó trong một trường hợp cụ thể? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Hermann Weyl đã đề xuất một định nghĩa tuyệt vời và đơn giản về tính đối xứng, theo đó một vật thể có thể thay đổi bằng cách nào đó được gọi là đối xứng.