Hypotrochoid

32

Sau đó, bất cứ khi nào một đường gãy rơi vào một trong các cạnh của hình bình hành của chúng ta - đường thẳng $y = 0, y = 5, z = 0, z = 3$ - chúng ta coi cạnh này như một tấm gương. (Quy luật phản chiếu gương được giải thích là do mỗi đoạn của đường đứt nét song song với cạnh của tam giác ban đầu tương ứng với thao tác đổ chất lỏng từ bình này sang bình khác, trong khi lúc này bình thứ ba không được chạm vào.) Như vậy ta được lời giải $(8, 0, 0) \rightarrow (3, 5, 0) \rightarrow (3, 2, 3) \rightarrow (6, 2, 0) \rightarrow (6, 0, 2) \rightarrow (1, 5, 2) \rightarrow (1, 4, 3) \rightarrow (4, 4, 0)$ và lời giải $(8, 0, 0) \rightarrow (5, 0, 3) \rightarrow (5, 3, 0) \rightarrow (2, 3, 3) \rightarrow (2, 5, 1) \rightarrow (7, 0, 1) \rightarrow (7, 1, 0) \rightarrow (4, 1, 3) \rightarrow (4, 4, 0)$. Rõ ràng là chỉ có thể đo bất kỳ số nguyên lít chất lỏng nào trong trường hợp $h = a = b + c$ nếu các số $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau.

Hypotrochond

Hình vẽ trên trang đầu tiên của trang bìa, được thực hiện trên máy tính, mô tả một họ các đường cong khép kín - hypotrochonds.

Trochoid là đường thẳng được vẽ bởi một điểm nối cứng với đường tròn $(O_2, r)$, lăn không trượt theo đường thẳng. Khi vòng tròn $(O_2, r)$ không lăn theo đường thẳng mà dọc theo một vòng tròn đứng yên $(O_1, R)$, chạm vào nó từ bên trong thì điểm $M$ được nối cứng với vòng tròn $(O_2, r)$, mô tả hypotrochond. Rõ ràng chu kỳ London («Kvant», 1978, số 4, trang 13) là một trường hợp đặc biệt của hypotrochonda, hypopyclonda (xem ibid.) là một trường hợp đặc biệt của hypotrochonda.

Ở đây hình minh họa các điểm $M_1, M_2, M_3$, được gắn chặt vào vòng tròn $(O_2, r)$, trong đó $r = \frac{R}{3}$. Những điểm này được đặt sao cho $M_1\overset{\frown}{O_2}M_2 = M_2\overset{\frown}{O_1}M_1$ và $|O_2M_2| - |O_2M_1| = |O_2M_3| - |O_2M_2|$. (Do đó, các điểm $M_1, M_2$ và $M_3$ nằm trên nhánh Arichimedes - xem «Kvant», 1976, số 6, trang bìa thứ ba).

Họ hypotrochond hiển thị trên trang bìa được mô tả bằng các điểm $M_1, M_2, M_3, \dots, M_{10}$, được sắp xếp theo cách tương tự. Tại $|O_2M_i| < 2R/3$ hạ âm là một đường khép kín tự giao nhau, là một tam giác cong lõm có các vòng ở đỉnh. Nếu $|O_2M_i| > 2R/3$, thì chúng ta thu được một đường khép kín tự giao nhau có dạng hơi khác: nó bao gồm ba cánh hoa lồi, giao điểm của chúng là một hình tam giác cong lồi.

V. Berezin