Viện Bách khoa Mari được đặt theo tên. A. M. Gorky

57

2. Giải phương trình
   $$A_x^3 + C_x^{x-2} = 14x.$$
3. Nghiên cứu hàm $y = x\sqrt{2-x^2}$ và xây dựng đồ thị của nó.
4. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} 10^1 + \lg(x+y) = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg 5. \end{cases}$$
   Tùy chọn 2
5. Chứng minh rằng giao điểm của các đường trung tuyến của một tam giác có các đỉnh là ba cạnh của một hình bình hành xuất phát từ một đỉnh của nó thuộc đường chéo của hình bình hành cùng xuất phát từ một đỉnh và chia nó theo tỷ lệ 1:2.
6. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg(x+10)^2}.$$
7. Tìm diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
   $$y = x^2 - 4x + 5 \quad \text{и} \quad y = x + 1.$$
8. Giải phương trình
   $$2\cos^2x + 5\sin x - 4 = 0.$$
   Vật lý
9. Khí cầu bay lên theo phương thẳng đứng so với mặt đất với gia tốc $|\vec{a}| = 2 \text{ m/c}^2$. Sau $t_1 = 10$ c hòn đá tách ra khỏi nó. Ở độ cao nào $h$ so với bề mặt trái đất, hòn đá sẽ ở mức $t_2 = 4$ s sau khi tách khỏi quả bóng? Gia tốc trọng lực $|\vec{g}| = 9,8 \text{ m/c}^2$.
10. Xác định động năng $E$ của một vật có khối lượng $m = 200 \text{ g}$ được ném theo phương ngang với vận tốc $|\vec{v}_0| = 25 \text{ m/c}$ khi vật đó kết thúc giây thứ 5 chuyển động. Gia tốc trọng lực $|\vec{g}| = 9,8 \text{ m/c}^2$.
11. Một quả cầu thủy tinh có lỗ rỗng bên trong nổi trên mặt nước, chìm trong đó một nửa thể tích. Phần thể tích của quả cầu ($V_\pi/V$) chiếm bao nhiêu phần thể tích của quả cầu? Mật độ ngăn xếp $\rho_c = 2500 \text{ kg/m}^3$, nước $\rho_B = 1000 \text{ kg/m}^3$.
12. Cần bao nhiêu lực $|\vec{F}|$ để kéo dài một thanh thép có chiều dài $l = 1$ m và tiết diện $S = 1 \text{ cm}^2$ thêm $\Delta l = 1$ mm? Ở mức tải tối thiểu $|\vec{F}_{\text{mln}}|$ thanh sẽ bị gãy nếu giới hạn cường độ của thép là $\sigma_{\pi p} = 7,85 \cdot 10^8 \text{ H/m}^2$? Mô đun Young của thép $E = 21,6 \cdot 10^{10} \text{ H/m}^2$.
13. Tìm điểm tiềm năng của điện trường nằm cách điện tích chính xác tạo ra trường một khoảng $r = 50$ cm nếu vectơ hướng về phía điện tích và $|\vec{E}| = 10^4 \text{ B/m}$.
14. Một electron chạy vào một tụ điện phẳng nằm ngang song song với các bản của nó với tốc độ $|\vec{v}| = 2 \cdot 10^4 \text{ km/c}$. Điện áp không đổi được áp dụng cho các tấm $U = 50 \text{ B}$. Chiều dài tấm tụ điện $l = 5$ cm, khoảng cách giữa các tấm $d = 10$ mm. Ở khoảng cách nào $h$ Liệu electron có chuyển động theo phương thẳng đứng dưới tác dụng của điện trường trong quá trình chuyển động của nó trong tụ điện không? điện tích $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K}$, khối lượng của nó $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.
15. Một tụ điện có công suất $C_1 = 4 \text{ mkФ}$ được tích điện đến hiệu điện thế $U_1 = 300 \text{ B}$, một tụ điện có công suất $C_2 = 2 \text{ mkФ}$ được tích điện đến hiệu điện thế $U_2 = 180 \text{ B}$. Hiệu điện thế $U$ nào sẽ được thiết lập trên các bản của tụ điện sau khi chúng được nối thành các dải đơn?
16. Electron chảy vào một từ trường đơn mode vuông góc với đường chỉ thị từ. Tốc độ điện tử $|\vec{v}| = 4 \cdot 10^7 \text{ m/c}$. Chỉ báo từ trường $|\vec{B}| = 10^{-3} \text{T}$. Tìm chu kỳ $T$ vòng quay và bán kính $R$ độ cong quỹ đạo của electron trong trường này. Điện tích của một electron là $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K}$, khối lượng của nó là $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.
17. Một tia sáng phát ra từ nhựa thông vào không khí. Góc giới hạn của phản xạ toàn phần là $\alpha_{\pi p}$ đối với chùm tia này $42^\circ 23'$. Tốc độ truyền ánh sáng trong nhựa thông là bao nhiêu? Tốc độ ánh sáng trong chân không là $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/c}$.
18. Từ khoảng cách $d = 100 \text{ m}$ một bức ảnh được chụp tự động, di chuyển với tốc độ $|\vec{v}| = 72 \text{ km/ч}$. Xác định thời gian phơi sáng $t$, sau đó hình ảnh trên biểu tượng sẽ dịch chuyển không quá $s = 0,01 \text{ мм}$. Tiêu cự của vật đèn pin là $F = 5 \text{ см}$.
    V. Kolpkov, L. Lauenenok

Viện Bách khoa Mari được đặt theo tên. A. M. Gorky
Viện Bách khoa Mari (Shshkar-Ola) được thành lập vào năm 1932 trên cơ sở Viện Lâm nghiệp Kazan. Cho đến năm 1965 nó được gọi là Viện Lâm nghiệp Volga.
Bộ môn toàn thời gian của viện có hai khoa: cơ khí, kỹ thuật vô tuyến, cơ khí, kinh tế, kết cấu, kỹ thuật lâm nghiệp, lâm nghiệp, nghệ thuật truyền thông và xây dựng đường bộ và khoa chế biến gỗ.
Vào năm 1977, người ta thông báo với các ứng viên rằng để nhận được điểm “xuất sắc”, họ chỉ phải thực hiện năm bài toán varnatas bất kỳ.

Toán học
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$2\log_9 x + 9\log_x 3 = 10.$$
2. Giải phương trình
   $$2\sin 5x \cos 6x + \sin x = \sin 7x \cos 4x.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$9^x < 3^x + 2.$$