Viện ô tô và đường cao tốc Siberia được đặt theo tên. V. V. Kuibysheva

58

4. Đơn giản hóa
   $$\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}.$$

5. Cho một hình nón có thể tích $V$ và góc nghiêng của máy sinh so với đáy $\alpha$. Xác định mặt bên của hình nón.

6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $y = \frac{4-x^2}{4+x^2}$ trên đoạn $[-1; 3]$.

7. Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
   $$y = 4x - x^2, \quad y = 0, \quad x = 1, \quad x = 4.$$
   Tùy chọn 2

8. Giải phương trình
   $$x^{\log_2(1-x)^2} = 9.$$

9. Giải phương trình
   $$1 + \cos x = 2\sin^2x.$$

10. Với những giá trị nào của $k$ thì bất đẳng thức $x^2 - (k-3)x - k + 6 > 0$ có giá trị với mọi số thực $x$?

11. Đơn giản hóa
    $$\left(\frac{\sqrt{2}}{(1-x^2)^{-1}} + \frac{2}{x^{-2}}\right)^{-1}.$$

12. Thể tích của một hình lăng trụ tam giác đều là $V$, góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên vẽ cùng một đỉnh là $\alpha$. Xác định cạnh đáy của lăng kính.

13. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = 1-x^3$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

14. Tìm cosin của góc giữa các vectơ $a + b$ và $a - b$, nếu $|\vec{a}| = 2, \|\vec{b}\| = 1, (a, b) = 60^\circ$.
    G. Melemieva

Viện Đường tự trị Siberia được đặt theo tên. V. V. Kuibysheva

Viện Đường tự trị Siberia (Omsk) được thành lập vào năm 1930. Khoa toàn thời gian có bốn khoa: vận tải tự hành, ô tô đắt tiền, kỹ thuật công nghiệp và dân dụng và xây dựng đường bộ.

Matematika
Tùy chọn 1

1. Tính diện tích hình được giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = x$.

2. Đơn giản hóa
   $$\frac{\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha \cdot \mathrm{ctg}^2\beta}.$$

3. Hiển thị bằng trichnovka trên mặt phẳng tọa độ nhiều điểm xác định bởi hệ bất đẳng thức
   $$y \leq \log_2 x, \quad 4x - 3y - 12 \leq 0.$$

4. Đường chéo của bốn thông thường bằng $d$ và nghiêng về mặt bên một góc $\alpha$. Xác định diện tích của bề mặt bên và thể tích của nó.

Tùy chọn 2

1. Một công nhân dành ít thời gian hơn 7 phút để xử lý một bộ phận này so với bộ phận khác. Mỗi phần sẽ xử lý được bao nhiêu phần trong 4 giờ, nếu phần đầu tiên xử lý nhiều hơn phần thứ hai 28 phần trong thời gian này?
2. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \frac{x^2}{\lg(x - 2)} - \sqrt{9 - x}.$$
3. Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
   $$y = x^2, \quad y = 6 - x, \quad y = 0.$$
4. Diện tích mặt cắt của hình nón bằng $S$ và góc giữa các bộ tạo bằng $2\alpha$. Tìm thể tích của hình nón.

Vật lý

1. Trong quá trình sản xuất, một bóng đèn điện được đổ đầy nitơ ở áp suất $p_1 = 5 \cdot 10^4$ Pa và ở nhiệt độ $t_1 = 15^\circ C$. Nhiệt độ của khí trong đèn nóng là bao nhiêu nếu áp suất trong nó tăng lên $p_2 = 1,1 \cdot 10^5$ Pa?
2. Trên bếp điện, công suất là $P = 600$ W, có k.p. d. $\eta = 45\%$, $V = 1,5$ lít nước lấy ở $t = 10^\circ C$ được đun sôi đến sôi và $\alpha = 5\%$ nó biến thành hơi nước. Quá trình này mất bao lâu?
3. Xác định xem một thiên thạch sắt có khối lượng $m = 2$ g, đáp xuống bề mặt Mặt trăng với tốc độ $|\vec{v}| = 220$ km/s, có tan chảy hay không nếu nhiệt độ của nó trước khi va chạm với Mặt trăng là $t = 100^\circ C$.
4. Động cơ của một chiếc máy bay bay quãng đường $l = 500$ km với tốc độ trung bình $v = 250$ km/h đã tiêu thụ bao nhiêu xăng, nếu công suất trung bình của động cơ là $P = 2000$ kW? K.p. d. $\eta = 25\%$.

G. Danilova,
V. Fedorov

59

67; A. Antoyan (Yerevan) 71, 72, 73a), 74, 75a); B. Aronov (Saratov) 66-68, 71, 72, 73a), 74, 75; A. Arumuyan (Leninakan) 71-73a); K. Arkhangelsky (Kyiv) 66, 67, 71; R. Arykbæv (làng Liman, vùng Astrakhan) 62; P. Afanasenko (Saratov) 66, 67; N. Babina (Làng khoa học Crimea) 66; V. Baysakolov (Alma-Ata) 75a); K. Baklanov (Tula) 67, 69a); A. Balinsky (Làng Dublyany, vùng Lviv) 62, 64, 65a), 6), r), 66, 67, 71, 74, 75a), 6); V. Batyshev (Moscow) 62, 65a), r), 66—69, 71, 72, 73a), 74, 75a), 6); S. Bakhudiev (MPR) 62, 66, 71; V. Benyash-Krivets (Novogrudok) 67, 68; M. Bestvina (SFRY) 61, 62, 65a), 6), 66, 67, 69, 71, 74; N. Bovsunovsky (làng Putilovich, vùng Zhitomir) 67; V. Bolotnikov (Kharkov) 66, 67, 69a), 71, 73a), 75a), 6); O. Vainbere (Kazan) 61, 62, 64, 71, 72, 74, 75a), 6); M. Varmanyan (thôn Khojayek, GSSR) 67; N. Velikorosov (Konkovo) 66, 67, 68, 69a), 71, 72; A. Vekua (Koutanci) 67, 71; V. Verzakov (Rudny) 656), 6), 67, 72, 75a), 6); D. Vinogradov (Dzerzhinsk) 66; G. Virodov (Voroshilovgrad) 67; S. Galstyan (làng Chahrlu ArSSR) 61-64, 65a), r), 66-68; I. Gashimov (Baku) 62, 67; A. Gelfayem (Riga) 71; A. Gilman (Moscow) 66-68, 706), 72, 75a); E. Gorbaty (Odessa) 71, 72, 74; G. Gritsoryan (làng Ashar ArSSR) 71, 72; S. Grishechkin (Moscow) 61-75; V. Guba (Vologda) 62, 66, 67, 69, 71-74, 75a), 6); A. Dedkov (Omsk) 65a), 67, 69a), 73a), 75a); A. Dorozovtsev (Kyiv) 66, 67, 73, 74; O. Evdokimov (Leningrad) 61-63, 65a), 66-69, 706); A. Yeoyan (Tbilisi) 66, 67, 71, 72, 73a), 74, 75a); S. Zhelezovsky (Saratov) 67-74, 75a), 6); V. Zhivaev (Tashkent) 66, 67, 71-73a), 74; T. Zhuraev (Tashkent) 67; V. Zabelin (Saratov) 66, 67, 71, 75a); I. Zaitsev (Nikolaev) 66, 67; I. Zverovich (Minsk) 67, 73a), 75a); E. Zimanov (Alma-Ata) 62, 66, 67, 69a), 71, 73a), 75a); K. Zinovev (Moscow) 66, 67, 70; Y. Zolomarov (Tashkent) 62, 66-68, 71, 73a), 74, 75a), 6); R. Izmailov (Baku) 62, 64, 66, 68, 72, 73, 74, 756); F. Kabdykairov (Alma-Ata) 66, 67, 71; L. Kabadze (Tbilisi) 62, 67-69, 71, 75a); V. Kalmkov (Voronezh) 66, 71, 75a); J. Kanes (Lilevarde) 65a), r), 66, 67; A. Kaplan (Sumgant) 67, 71, 73a), 74; V. Karanetyan (Leninakan) 66, 67, 71, 72, 73a); P. Kamalmov (Alma-Ata) 73a); A. Kach (Tashkent) 66, 71, 72, 74; A. Kachubsky (Novosibirsk) 66, 67, 69a); I. Kevkhishili (Tbilisi) 62, 66, 69a), 73a); A. Kerimov (Baku) 67; A. Kerimov (Moscow) 71, 72, 75a); R. Kirznev (Taldy-Kurgan) 67; V. Klimovich (Moscow) 62; S. Kolpkov (Moscow) 66, 71, 73a), 75a); V. Korneev (Angarsk) 66-69; A. Korotkov (Izhevsk) 67; I. Korotkov (Volgograd) 66, 67; S. Korchanov (Alma-Ata) 61, 62, 66-68, 71, 72, 73a), 75a); D. Korchemny (Moscow) 66-69, 70, 71-75a); G. Korchemsky (Kshinev) 66-68; M. Kosoy (Odessa) 67; V. Kostmusak (Zaporozhye) 62-64, 66, 68, 71-74, 75a), 6); L. Kostmok (Kyiv) 66-68; F. Chris (Tashkent) 67; E. Kuzmin (Cherpovet) 62, 67, 71, 74, 75a); S. Kuznetsov (Angarsk) 67; S. Sidorenko (Bryansk) 66, 706); K. Skudlarsky (Ba Lan) 66; V. Smelyansky (Moscow) 66, 71, 73a); Yu. Smirnov (Leningrad) 62, 63, 71, 73a), 75a); V. Smova (Moscow) 62-64, 66-75; M. Sturinsky (Severodonets) 67, 68; F. Sukachev (Tashkent) 67, 71, 73a), 74, 75a); A. Suzmin (Bryansk) 66-69, 70, 71-75a); G. Korchemsky (Kshinev) 66-68; M. Kosoy (Odessa) 67; V. Kostmusak (Zaporozhye) 62-64, 66, 68, 71-74, 75a), 6); L. Kostmok (Kyiv) 66-68; F. Chris (Tashkent) 67; E. Kuzmin (Cherpovets) 62, 67, 71, 74, 75a); A. Udavikhin (Yoshkar-Ola) 66, 67, 69, 71;

60

Vật lý

Hầu hết tất cả độc giả đã gửi lời giải bài toán F463 - F477 đã hoàn thành các vấn đề F463 và F468. Những người còn lại bài toán quyết định đúng: A. Avtyushkov (Minsk) 67; K. Hakobyan (Yerevan) 70, 73-77; E. Aleksadrova (Glazov) 69; M. Alekseev (Obninsk) 70; A. Antoyan (Yerevan) 70, 74, 77; S. Bavkun (Cherkessk) 70; A. Barzkin (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 69, 70, 73, 77; A. Belov (Moscow) 74, 75; V. Berkut (Depropetrovsk) 64; A. Bolshakov (Saratov) 69, 70; S. Bomkin (Karaganda) 70, 74, 77; L. Bruskin (Irkutsk) 73; M. Bykov (Gorky) 70; I. Vaisburd (Tomsk) 64, 65, 79-72; D. Vaslevich (Leningrad) 75, 76; N. Velikorosov (Konkovo) 65; S. Veselyansky (Kharkov) 66, 67, 69, 70, 74, 76, 77; V. Gavrilov (Orsk) 65, 70, 73-77; M. Gavrilov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 64, 65, 67, 69, 71, 72, 74; N. Gazda (làng Klevan, vùng Rivne) 69-72; V. Garkaviy (Lida) 64, 65, 70-77; V. Golubenko (Cherkessk) 70, 72; Yu. Gorbunkov (Kursk) 70, 74, 77; E. Gordienko (Kshinev) 66, 67; S. Gorshkov (Sredneuralsk) 67; I. Gusev (Vorkuta) 64-66, 69-77; S. Derechenik (p/o Mezhirieg, vùng Grodno) 69, 72; I. Dubovoy (Alma-Ata) 69; S. Dinnik (Taraklia) 64; L. Evelson (Bryansk) 69, 70; K. Elin (Kokchetav) 70; V. Zhabomitsky (Depropetrovsk) 75, 76; M. Zhukov (Moscow) 70, 72; A. Zabrodin (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 64-67, 69-77; I. Zaitsev (Nikolaev) 67; E. Zimanov (Alma-Ata) 73, 76; I. Ivannikov (Dushanbe) 70, 74; E. Ivanov (Dolgoprudny) 64-67, 69-76; S. Iskov (Perm) 66; E. Kazarova (Yerevan) 77; L. Kakaabdze (Tbilis) 64, 65, 67, 69-71, 73-77; J. Kalaizidis (Chimkent) 69, 71, 76, 77; V. Karanetyan (Leninkan) 69-71, 73, 74; A. Karnaukhov (khu định cư Kutana, YASSR) 67; S. Karnaukhov (Rostov-on-Don) 66, 67, 69, 70, 73—75, 77; V. Kelman (Moscow) 70, 71, 73; S. Kleiman (Lukov) 69, 70; V. Kobelev (Shigry) 64, 65, 75, 76; V. Komov (Aleksadrov) 64-67, 69-77; M. Konstantinov (Sverdlovsk) 73, 77; Yu. Kordikov (Serov) 64; G. Korcemsky (Kshinev) 70, 73; V. Kostmusyan (Zaporozhye) 75; A. Krajan (Yerevan) 70; A. Kudinov (Voronezh) 72; E. Kuzmin (Cherepovets) 73; P. Kulinich (Voronezh) 67; A. Kuprin (Moscow) 64, 69, 70, 72—74, 76, 77; S. Kuramov (Kshinev) 64; M. Kurbatov (Moscow) 64-67, 70-77; T. Kukhtina (Kyiv) 67; L. Kushinir (Astrakhan) 64, 65, 67, 71, 74-77; V. Lashkin (Kyiv) 64, 65, 69, 73-77; A. Levenko (Sverdlovsk) 66, 67, 69, 70, 73-75; A. Leonovich (Lida) 69; D. Lepitsin (Dimitrovgrad) 67; I. Lesok (làng Yukhnovich, vùng Brest) 73—75, 77; I. Lozitsky (Gantsevich) 67, 70; D. Lyudmirsky (Kyiv) 64, 65, 67, 69-71, 75-77; A. Makagonov (Moscow) 65, 67; V. Makarov (Chelyabinsk) 64-67; T. Makenko (Depropetrovsk) 64, 74; M. Mamiev (Dubna) 64-67; M. Mekueva (Chelyabinsk) 70; A. Mirlin (Leningrad) 64, 67, 69-71, 73, 75, 76; N. Mironov (Kashin) 69, 70; M. Mitrofanov (Volgograd) 64, 70, 73-75; A. Mkrtyan (Leninkan) 70, 71, 73, 74, 76, 77; A. Motsilner (Sverdlovsk) 69, 70, 73-76; I. Molchanov (Kyiv) 69, 70, 76, 77; I. Muromtsev (Orsk) 69, 70; O. Nanov (Rohatyn) 67; V. Natkovich (Tbilis) 74; V. Nevmerzhiky (làng Levovich, vùng Zhitomir) 64-67, 70, 72, 73, 76; S. Nester (Depropetrovsk) 64; A. Nikitenkov (Velikne) 64-67, 69-77; V. Nikitin (Zaporozhye) 70, 74; L. Nikolaev (Moscow) 75; A. Oparin (Gorky) 64, 67, 73-76; O. Orazmamedov (R/C KyzylAtrek TSSR) 64, 65; A. Parshakov (Sverdlovsk) 76, 77; S. Pasoma (Gatchina) 74; V. Pereverzev (Omsk) 66; P. Pobilitsa (Leningrad) 64, 65; E. Ponamarov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 64-67; A. Popov (Chusovoy) 64-66; S. Pryadkin (Kyiv) 69, 76; M. Raikin (Orenburg) 64, 67; Yu. Reznik (làng Veselyanka, vùng Zaporozhye) 64-67, 70, 72, 77; S. Rozuvan (Kyiv) 65; I. Romanov (Moscow) 65; V. Rudyako (Mironovka, vùng Kyiv) 64; N. Savchenko (Kyiv) 64, 65; P. Sainov (Tashkent) 69; S. Sedov (Drezna) 69, 70; P. Silvestrov (Novosibirsk) 65; A. Scier (n/o Bogorodishche, vùng Smolensk) 65; N. Smolykov (Tolyatti) 65; V. Smytslyaev (Leningrad) 64, 65, 67; A. Storozhev (Aktyubinsk) 64, 65, 71, 74, 77; R. Sultanov (Tashkent) 64-67; V. Terekhin (Baku) 64, 67; Y. Torosan (Tbilis) 74; K. Trumneev (Kazan) 64-67, 69-75, 77; N. Fedin (Novosibirsk) 65-67; A. Filamov (Tomen) 65; L. Hunt (Mogilev-Podolsky) 64, 65; A. Khanchechkiy (Vileika) 65; A. Sheptovetsky (Moscow) 64, 65, 67; I. Shlyakhova (Lobnya) 64.

61

Đang trên đường đến lời giải

1. Chứng minh (ví dụ bằng phương pháp quy nạp toán học) bất đẳng thức
   $$\frac{n}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}.$$

2. Chứng minh bằng quy nạp toán học rằng $f_{2k}$ tận cùng bằng 6 và $f_{2k+1}$ tận cùng bằng 2.

3. Sau khi nhân phương trình của hệ (8), ta thu được
   $$\sqrt{f_{n-2}^2} \cdot xy + f_{n-2} \cdot (x+y) + 1 = \frac{f_{n-2}x_n + 1}{x_{n-1}} xy,$$
   hoặc
   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{f_{n-2}xy} = -f_{n-2} + \frac{f_{n-2}x_n + 1}{f_{n-2}x_{n-1}}.$$
   Ngoài ra, $x_n = f_{n-1}+1$ theo định lý; $f_{n-1} = f_{n-2}x_{n-1}$. Kết quả là tuân thủ
   $$\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} + \frac{1}{f_{n-1}} = A,$$
   chứng minh đẳng thức đúng
   $$\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-2}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{f_{n-2}xy} = A.$$
   4 và 5. Hãy chứng minh điều đó đối với dãy cơ sở
   $$\frac{f_{n-2}x_n + 1}{x_{n-1}} = f_{n-2}^2 + 1.$$

Câu hỏi dành cho sinh viên tốt nghiệp

Toán học

Đúng đáp số: 1. a. 2. d. 3. d. 4. d. 5. sinh 6. d. 7. sinh 8. b. 9. d. 10. d. 11. sinh 12. d. 13. sinh 14. b. 15. a. 16. g. 17. sinh.

Hãy bình luận về một số câu hỏi.

5. $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ$, tg $280^\circ < -1 < \sin 280^\circ < 0 < \cos 280^\circ$.

6. Không cần thiết phải tìm nguyên hàm, đặc biệt là vì bạn sẽ không tìm thấy nó, mặc dù nó tồn tại (xem đoạn cuối của đoạn 100 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”).

7. $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a \cdot b} < 0.$

8. $\alpha + \beta + \gamma = 270^\circ + \gamma < 360^\circ$, do đó $\gamma < 90^\circ$; $\gamma > \beta - \alpha = 30^\circ$.

9. Nếu $\alpha$ là góc lưỡng diện ở đáy của đường thẳng thì diện tích của đáy là $2 \cos \alpha$ và tổng bề mặt là $S = 2 + 2 \cos \alpha$.

10. Thật dễ dàng để chứng minh rằng khối lượng của khối đa diện làm sẵn có liên quan như lũy thừa thứ ba của độ dài các đoạn tương tự.

11. Nếu $S_0$ là diện tích đáy của đường thẳng, $h$ là chiều cao của nó thì
    $$S(x) = S_0 \cdot \left( \frac{h-x}{h} \right)^2 = \frac{S_0}{h^2} (h-x)^2.$$

12. Các mặt phẳng của các mặt bên chia không gian thành 7 phần. Các mặt phẳng của các đế được nhận biết khi mỗi phần này được chia thành ba.

13. Áp dụng một góc tam giác cho mỗi đỉnh, một góc tam diện “cắt cụt” cho mỗi cạnh và một góc nhị diện “cắt đôi” cho mỗi cạnh; ngoài ra còn có phần bên trong; chỉ có 15 phần.

Vật lý

Đáp số: 1. b. 2. 6. 3. b. 4. 6. 5. b. 6. 6. 7. r. 8. a. 9.r. 10. r. 11. r. 12. d. 13. 6. 14. r. 15. a. 16. 6. 17. r. 18. r. 19. b. 20. 6. 21. a.

Các lựa chọn thi tuyển sinh năm 1977

Viện năng lượng Moscow

Toán học

Tùy chọn 1

1. $a^2$. 2. $\left\{\frac{1}{5}, 6\right\}$. 3. 3. 4. $\left\{- \frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$. 5. $\frac{3}{2} a^2 \sin 2\alpha$.

Tùy chọn 2

1. $-2b$. 2. $[0; 125]$. 3. $\min f(x) = \left| -\frac{3}{2}; 1 \right|$
   $$= f(1) = -19, \quad \max f(x) = f\left(\frac{1}{7}\right) = -5 \frac{38}{49}$$. 4. $\left\{- \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$.
2. $\frac{p^3 \sin \alpha \sqrt{\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}}{128 \cos^6 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}\right) \sin \frac{\beta}{2}}$.

Vật lý

1. Tốc độ ban đầu phải giảm khoảng 2,4 lần.

63

Viện Vật lý Leningrad được đặt theo tên. N. A. Voznesensky

Toán học

Nhiệm vụ từ phiếu thi vấn đáp

4. $50\sqrt{2}$. 5. $T_8 = C_{17}^8$. 6. $A_9^5$.

5. $\left(\frac{V\bar{3}}{3}; -\frac{V\bar{3}}{3}; \frac{V\bar{3}}{3}\right)$ và $\left(-\frac{V\bar{3}}{3}; \frac{V\bar{3}}{3}; -\frac{V\bar{3}}{3}\right)$.

Học viện Bách khoa Yaroslavl

Toán học
Tùy chọn 1

1. Diện tích bằng $\frac{V_{11}}{16} a^2$, độ lớn của góc lưỡng diện là $\left(-\frac{1}{\sqrt{33}}\right)$. 2.5.

2. $x=4,5; y=0,5$.

Tùy chọn 2

1. Gợi ý. Cho $ABCDA_1B_1C_1D_1$ là một hình bình hành, $O$ là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $AB_1D_1$. Phân tách các vectơ $\overrightarrow{A_1O}$ và $\overrightarrow{A_1C}$ thành các vectơ $\overrightarrow{A_1A}$, $\overrightarrow{A_1B_1}$ và $\overrightarrow{A_1D_1}$.

2. $] -\infty; -11 [U] -11; -10 [U] -10; -9 [U] -9; 2 ] U[3; +\infty[$. 3. $S = \int_1 [(x+1) -(x^2-4x+5)] dx = 4,5$.

3. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in Z)$.

Vật lý

1. $h = |\vec{a}| t_1^2/2 + |\vec{a}| t_1 t_2 - |\vec{g}| t_2^2/2 = 101,6$ m.

2. $E = m(|\vec{v}_0|^2 + |\vec{g}|^2 t_2^2)/2 = 302,6$ J.

3. $V_\pi/V = 1 - \rho_B/2\rho_c = 4/5$.

4. $|\vec{F}| = E \Delta l S/l = 21,6$ kN;

$|\vec{F}_{\min}| = \sigma_{\text{np}} S = 78,5$ kN.

5. $\varphi = |\vec{E}| r = 5$ kV.

6. $h = \frac{eUl^2}{2md|\vec{v}|^2} \approx 2,8$ mm.

7. $U = \frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1 + C_2} = 260$ V.

8. $R = \frac{m|\vec{v}|}{e|\vec{B}|} \approx 22,8$cm;

$T = \frac{2\pi R}{|\vec{v}|} \approx 36 \cdot 10^{-9}$ tr.

9. $v = c \sin \alpha_{\text{np}} \approx 2 \cdot 10^8$ m/c.

10. $t = \frac{s(d-F)}{F|v|} \approx 1$ ms.

Viện Bách khoa Mari được đặt theo tên. A. M. Gorky

Toán học
Tùy chọn 1

1. $\{3, 3^9\}$. 2. $x = \frac{\pi}{4} k, x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{7} l (k, l \in \mathbb{Z})$. 3. $] -\infty; \log_3 2[$. 4. $x-1$.

2. $\sqrt[3]{\frac{9\pi V^2}{\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha}}$. 6. $\min y = y (3) = -\frac{5}{13}, \max y = y (0) = 1$. 7. 9.

Tùy chọn 2

1. 4. 2. $x = \pi + 2\pi k, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$. 3. $] -3; 5[$. 4. $\sqrt{2}$.

2. $\sqrt[3]{\frac{4V \sin \alpha}{2}}$

3. $y = -12x + 17$. 7. $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Viện Đường tự trị Siberia được đặt theo tên. V. V. Kuibysheva

Toán học
Tùy chọn 1

1. $\frac{1}{6}$. 2. $-\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \beta$. 4. Bề mặt bên là $4d^2 \sin \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}$, thể tích là $-d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}$.

Tùy chọn 2

1. Phần đầu tiên - 48 phần, phần thứ hai - 20.

2. ] 2; 3[U] 3; 9]. 3. $S = \int_0^2 x^2 dx + \int_0^2 (6-x) dx = 10 \frac{2}{3}$. 4. $\frac{\pi}{3} S \sqrt{S \cdot tg \alpha}$.

Vật lý

1. $T_2 = \frac{p_2 T_1}{p_1} = 633,6$ K, $t_2 = 360,6^\circ$ C.

2. $\tau = \frac{\rho V (c \Delta t + \alpha L)}{\eta P} \approx 0,75$ h, trong đó $\rho = 10^3 \text{ кг}/\text{м}^3$ là mật độ, $c = 4200 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$ là nhiệt dung riêng và $L = 2,26 \cdot 10^6 \text{ Дж}/\text{кг}$ là nhiệt dung riêng của sự hóa hơi của nước.

3. Nó sẽ tan chảy.

64

Hình 1.

Hình 2.

4. $m = \frac{Pl}{vq\eta} \approx 1,3 \cdot 10^3$ kg, trong đó $q = 4,5 \times 10^7$ J/kg là nhiệt lưu trữ của bezine.

Nhiệm vụ của độc giả của chúng tôi

(xem «Kvant» số 5)

6. Các điểm $A$ và $B$ chuyển động dọc theo hai đường tròn đồng tâm với vận tốc góc bằng nhau. Nếu tại thời điểm ban đầu các điểm có cùng bán kính thì khoảng cách $|AB|$ giữa các điểm sẽ luôn không đổi.

7. E.m.f. một pin có nhiều emf hơn đáng kể. khác. Dòng điện do pin “mạnh” tạo ra một phần đi qua đèn và một phần đi qua pin “yếu”, đóng vai trò như một gã hề có ít điện trở. Điện trở rất thấp được nối nối tiếp với pin “mạnh”, và điện trở rất cao được nối nối tiếp với mục tiêu của pin “yếu”. Kết quả là dòng điện chạy qua pin “yếu” giảm và dòng điện chạy qua đèn tăng lên.

8. Công thực hiện được khi nâng một khúc gỗ chỉ bằng một đầu bằng $A_1 = mgh_1$, trong đó $h_1$ là khoảng cách từ đầu mỏng đến trọng tâm của khúc gỗ. Khi nâng một khúc gỗ bằng đầu mỏng $A_2 = mgh_2$, trong đó $h_2$ là khoảng cách từ đầu khúc gỗ đến trọng tâm. Theo điều kiện $A_1 - A_2 = A$. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{align*} h_1 + h_2 &= l \\ mg(h_1 - h_2) &= A, \end{align*}$$

chúng tôi tìm thấy
$$h_1 = \frac{1}{2}\left(l + \frac{A}{mg}\right).$$

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 6)

1. Fedor nhận được 9 điểm, Nikolai - 8, Victor - 7, Klim - 6, Ivan - 5, Andrey - 4, Zakhar - 3, Mikhail - 2, Efim - 1, Timofey - 0. Do đó, việc giải mã chuỗi kỹ thuật số
   67480, 2401240564, 953564

Kế tiếp:

LƯỢNG TỬ, TOÁN HỌC, VẬT LÝ.

2. Xem Hình 1.

3. Cô gái thứ hai phải làm cho bông hoa cúc đối xứng với nước đi đầu tiên của mình. Tùy theo số cánh hoa có đều nhau và số cánh hoa mà cô gái thứ nhất xé một hoặc hai cánh hoa (Hình 2, a) - f). Sau đó, cô gái thứ hai lặp lại đối xứng các động tác của cô gái đầu tiên. Vì cánh hoa rụng cùng lúc với cả hai nửa bông hoa cúc nên cô gái đầu tiên sẽ thua cuộc.

4. Sergei và Agei 44 tuổi, Andrey 41 tuổi, Stepan 47 tuổi và Ivan 50. Vì từ các số 41, 44, 47 và 50 chỉ có 50 là bội số của gót chân nên chúng ta thấy tên con trai của Andrey là Ivan.

Đã làm việc trên số:
A. Villenkin, I. Klimova, T. Petrova,
A. Sosinsky, V. Thomirova,
Yu. Shikhanovich

Số đã được phát hành:
M. Dubach, G. Krasnikov, E. Nazarov,
I. Smirnova,

Giám đốc biên tập L. Chernova

Biên tập nghệ thuật T. Makarova

Người hiệu đính L. Borovina

113035, Mátxcơva, M-35, B. Ordynka, 16/21,
«Kvant», điện thoại. 231-83-62.
Giao ngày 28/IV năm 1978.
Đăng thành bản in ngày 14 tháng 6 năm 1978.
Giấy 70×108’/16. Vật lý. lò nướng l. 4
Lò nướng có điều kiện l. 5.6 Biên tập học thuật. tôi. 6,88. T-11680 Giá 30 kopecks.
Đặt mua 941 Phát hành 300.606 bản.

Nhà máy in Chekhov Soyuzpoligraphproma
trực thuộc Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách,
Chekhov, khu vực Moscow

Hướng dẫn viên không quay trở lại