Toán trên bàn cờ

59

Toán trên bàn cờ

Năm 1975, nhà xuất bản Nauka đã xuất bản một cuốn sách dành riêng cho cờ vua và toán học *). Lịch sử xuất hiện của cuốn sách này rất thú vị.

Năm 1971, trong «Kvant» số 9-12, “Cờ vua và các ghi chú toán học” của E. Gik được xuất bản. Vì rất khó tìm thấy những đứa trẻ không biết chơi cờ trong số những người trẻ yêu thích toán học và vật lý, nên một ấn phẩm như vậy có vẻ khá hữu ích đối với chúng tôi. Cờ vua, như bạn đã biết, bản thân nó phát triển khả năng giao tiếp, tư duy logic và trí tuệ nhạy bén. Càng thú vị hơn khi xem xét các vấn đề giao thoa giữa cờ vua và toán học. bài toán Toán học và logic liên quan đến cờ vua không được khai báo, nguyên bản và tạo ra nhiều ý tưởng nghiệp dư và sâu sắc. Nhiều phản hồi từ độc giả đã buộc chúng tôi phải tiếp tục xuất bản các bài báo về cờ vua và toán học, và có thể nói E. Gik đã trở thành phóng viên thường trực về cờ vua và toán học của chúng tôi. Sự kết hợp thành công giữa sở thích (tác giả là một nhà toán học, ứng cử viên khoa học kỹ thuật, bậc thầy về thể thao cờ vua và nhà báo) đã cho phép ông

*) E. A. Gik. Toán học trên bàn cờ. M., “Khoa học”, 1975.

Để viết một số tài liệu về chủ đề này, bao gồm cả trong «Kvant» Số 9 năm 1975, cuộc phỏng vấn của ông với một bản sao của thế giới cờ vua M. Tal “Khi chân là chiều dài của cạnh huyền” đã được xuất bản.

Những bài viết này đã hình thành nền tảng của cuốn sách này. Ấn bản đầu tiên của cuốn sách, 10.0000 bản, đã bán hết ngay lập tức và nhà xuất bản đã phát hành thêm 10.0000 bản. Chỉ riêng tình huống này đã cho thấy sự thành công lớn của cuốn sách.

Tài liệu trong cuốn sách đang được xem xét rất đa dạng và khó có thể đi sâu vào chi tiết về nội dung của nó. Thực tế, nó đề cập đến tất cả các điểm tiếp xúc hiện có giữa toán học và cờ vua. Khoảng cách của các bài toán khác nhau về bàn cờ, về đường đi, cách sắp xếp và sức mạnh của các quân cờ, được đưa ra bởi các “hồ sơ” toán học cờ vua, cho biết sự cần thiết của việc chơi trên bàn cờ. Tại đây, bạn có thể tìm thấy bài toán “sự di chuyển của hiệp sĩ” và “tám quân hậu”, được nghiên cứu bởi các nhà toán học L. Euler và K. Gauss. Người đọc tìm hiểu từ cuốn sách về “thành tích” cờ vua của máy tính và các đặc tính hình học của bàn cờ, cho phép các hệ thống dẫn lõi cờ, v.v. Một số vấn đề được thảo luận mang tính chất toán học nhiều hơn, những vấn đề khác sẽ được cả các nhà toán học nghiệp dư và những người yêu thích cờ vua quan tâm. Ví dụ: một chương riêng của cuốn sách dành cho hệ thống toán học của hệ số Elo, hiện được sử dụng rộng rãi để đánh giá và dự đoán kết quả của các kỳ thủ cờ vua trong các giải đấu *).

Cuốn sách “Matematika trên bàn cờ” là kết quả của rất nhiều nghiên cứu và tìm tòi, trong đó có rất ít kiến ​​thức. Bộ truyện bài toán được xuất bản lần đầu tiên. Nhiều cách tiếp cận và ý tưởng được tác giả cho là mới và độc đáo.

Để không im lặng, chúng tôi trình bày một số bài toán từ cuốn sách này, các giải pháp mà chúng tôi hy vọng sẽ mang lại cho độc giả sự thuận tiện tuyệt vời.

1. Trong bao nhiêu nước đi, hai quân hậu trên bàn cờ $n \times n$ có thể giao phối với quân vua gián tiếp (không có quân nào khác trên bàn cờ)? Câu hỏi tương tự cho một bảng vô hạn.

2. Trên các trường của bảng $n \times n$, các số từ 1 đến $n^2$ được viết tuần tự (trên dòng ngang đầu tiên từ trái sang phải từ 1 đến $n$, dòng thứ hai từ $n + 1$ đến $2n$, v.v.). Trên bảng này, $n$ quân được coi là không có hai quân nào đe dọa nhau. Tổng các số trên các ô do quân xe chiếm có thể có những giá trị nào?

3. Trên một bàn cờ vô hạn, các con tốt được xét qua ba ô ở ô thứ tư.

*) Tác giả đã làm lại chương về hệ số Elo dành riêng cho «Kvant» và sẽ đăng trên một trong những số sắp tới của tạp chí.

61

Kiến thức về thủy văn
diễn giả, tác giả nói
hình xuyến, là hoàn toàn cần thiết cho tất cả những người làm việc với biển và bầu khí quyển, đặc biệt là các thủy thủ và phi công. Anh ấy ủng hộ tuyên bố của mình bằng nhiều sự thật, chủ yếu là những sự thật đáng buồn. Do đó, việc bỏ qua các quy luật vốn có trong sự kiểm soát của Bernoulli đã trở thành lý do khiến chiến hạm hàng trăm năm tuổi “Hawk” với siêu tàu “Olympic”, đồng thời coi thường định luật Archimedes và “nguyên tắc không thể thay thế” dựa trên nó, do Viện sĩ Krylov phát triển, đã gây ra một trong những thảm kịch khủng khiếp nhất trong toàn bộ lịch sử hàng hải - cái chết của “Titanic”.

Trong tự nhiên và thực tiễn hàng ngày, chuyển động xoáy của chất lỏng và chất khí đóng một vai trò quan trọng. Lốc xoáy là cái chết hủy diệt trên biển và xoáy nước an toàn trong bồn tắm, đánh thức máy bay nguy hiểm và xoáy nước trên sông. Hiện tượng xoáy được hình thành như thế nào, chúng có tác động gì đến chuyển động của tàu thủy và máy bay, đến hoạt động của động cơ và du lịch, đến độ bền của các công trình - tất cả những điều này đều được mô tả trong cuốn sách.

Một nơi rộng lớn không kém được dành cho một hiện tượng phức tạp khác - caitation, hay theo định nghĩa tượng hình của tác giả là “sôi nguội”. Caitation là sự xuất hiện và “sụp đổ” nhanh chóng của các bong bóng khí, dẫn đến sự gia tăng áp suất cục bộ tức thời lên tới 100.000 atm. Trong trường hợp này, cánh quạt tàu, cánh tuabin và máy bơm cũng như các bộ phận của lò phản ứng hạt nhân bị bao phủ bởi các “vết loét” và cuối cùng bị phá hủy. Hóa ra hiện tượng xâm thực không chỉ ảnh hưởng đến các bộ phận chuyển động trong chất lỏng ở tốc độ cao mà còn gây hư hại cho các vật thể đứng yên được ngâm trong chất lỏng đứng yên! Tác giả giới thiệu chi tiết nguyên nhân gây bệnh, biện pháp phòng và điều trị căn bệnh nguy hiểm này.

Hai chương—“Chất lỏng cản trở” và “Không chỉ chim bay”—kể về lịch sử cuộc đấu tranh vì tốc độ trong ngành hàng hải và hàng không. Con người học hỏi từ thiên nhiên - luận điểm này chạy như một sợi chỉ đỏ xuyên suốt lời kể. Hóa ra lớp vảy của cá không chỉ là lớp bảo vệ mà còn là vật tham gia tích cực vận động, là phương tiện làm giảm sức cản của môi trường nước. Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là mang cũng thực hiện chức năng tương tự. Khi nắp mang hơi nhấc lên (hành động tương tự như van của máy bơm), nước từ miệng cá sẽ chảy vào mang. Ở đó, nó tách oxy hòa tan và chảy ra từ mang dưới dạng tia mạnh, “thổi bay” lớp ranh giới. Ý tưởng “thổi bay” hoặc “hút” lớp ranh giới của shriko hiện được sử dụng trong ngành hàng không và du hành vũ trụ. Tương tự như vậy, ý tưởng về các thanh và cánh tà, những yếu tố không thể thiếu của máy bay hiện đại, được mượn từ loài chim. Gần đây, cá heo, có khả năng đạt tốc độ lên tới 65 km một giờ, đã trở thành đối tượng bị các nhà khoa học, bao gồm cả các nhà thủy động lực học, đổ lỗi thêm. Những chú cá heo đã chia sẻ một số “bí mật” của chúng, nhưng chúng vẫn muốn tìm hiểu phần còn lại, và khi đó các con tàu sẽ học cách bơi nhanh hơn và lâu hơn hiện tại.

Những “đồ chơi” mà các nhà khoa học ưa thích “chơi đùa” sẽ được bàn đến trong chương “Tạo mô hình”. Tác giả viết: “Trong quá trình thử nghiệm mô hình, các hiện tượng thực tế xuất hiện trước mắt chúng ta ở một quy mô đã được sửa đổi, nghĩa là với các kích thước hình học khác nhau và kích thước của dùi vận hành. Điều này cho phép các nhà khoa học “trải nghiệm” một thế kỷ trong một giờ hoặc một giây trong một tuần, giúp chúng ta có thể tăng cường hoặc làm suy yếu các hiện tượng tự nhiên trong chừng mực cần thiết, khiến các giác quan của chúng ta có thể tiếp cận được chúng thông qua thiết bị.”

Thật không may, khi đi sâu vào mô hình vật lý và hình học, tác giả đã không nói một lời nào về mô hình toán học, mà trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của máy tính, đã trở thành một công cụ mạnh mẽ lời giải khoa học và kỹ thuật bài toán trong động lực học chất lỏng.

Cuốn sách được minh họa phong phú bằng các bức ảnh về các quá trình thủy động lực. Nhưng chất khí và chất lỏng, như một quy luật, không độc hại! Làm thế nào những con chimki này có được, trên đó không có đường hoặc sóng xung kích? Các phương pháp thí nghiệm hiện đại về thủy động lực học, khoa học từ phương pháp Pitot đơn giản nhất đến thiết bị laser, được mô tả trong cuốn sách “Chúng ta có thể nhìn thấy dòng chảy không?”

Để tóm tắt bài đánh giá về cuốn sách nhỏ của K. Kuzov, tôi xin trích dẫn lời của tác giả, người đã xây dựng mục tiêu của mình như sau: “bài toán chính của cuốn sách này là góp phần tiếp thu thủy động lực học, phá bỏ rào cản sợ hãi trước những hình thức văn học chuyên ngành phức tạp và thu hút sự chú ý của giới trẻ đối với một nhánh tri thức quan trọng của nhân loại, tầm quan trọng của nó trong đời sống thực tiễn của con người không ngừng quay trở lại.”

Chà, chúng ta có thể nói với phần mở rộng rằng cuốn sách của K. Kuzov hoàn toàn là đáp số trong số bài toán này.

I. Zorich

63

Hình 4.

Vì vậy, hãy để các điểm $A_1, A_2, A_3, A_4$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Xoay $\Delta A_1A_4A_5$ xung quanh ($A_1A_4$), chúng ta có một hình ngũ giác phẳng $A_1A_2A_3A_4A_5$ có các cạnh bằng nhau, trong đó $\hat{A}_2 = \hat{A}_3 = \hat{A}_5$. Từ định nghĩa của đa giác đều, đường đứt nét $A_1A_2A_3A_4$ không có điểm tự giao nhau. Do đó $\hat{A}_2 \geq 90^\circ$ (Hình 2).

$\Delta A_1A_5A_4 \cong \Delta A_2A_3A_4$ ngụ ý $[A_2A_4] \cong [A_1A_4]$. Vì vậy, $A_4\hat{A}_2A_1 = \hat{A}_4A_1A_2$. Từ $A_4\hat{A}_2A_3 = A_4\hat{A}_1A_5$ bây giờ nó theo sau $A_2\hat{A}_1A_5 = A_1\hat{A}_2A_3$. Do đó, hình ngũ giác phẳng $A_1A_2A_3A_4A_5$ là hình ngũ giác đều. Nhưng, rõ ràng, từ một hình ngũ giác đều phẳng, bằng cách uốn nó quanh đường chéo, không thể thu được một hình ngũ giác đều không phẳng.

Và không. Có thể chứng minh rằng các $n$-giác đều tồn tại cho tất cả $n > 3$ ngoại trừ $n = 5$. Trên thực tế, đối với $n = 2k$, trong đó $k \geq 3$, có thể thu được đa giác được sử dụng (với các góc vuông) bằng cách uốn cong $k - 2$ lần một hình chữ nhật phẳng, một cạnh của nó lớn hơn cạnh kia $k - 1$ lần, dọc theo các đường $P_1Q_1, P_2Q_2, \dots, P_{k-2}Q_{k-2}$ (Hình 3). Đối với $n = 2k + 1$, trong đó $k \geq 3$, một đa giác như vậy (tất cả các góc của chúng lại là góc vuông) có thể thu được từ đa giác (không lồi) $ABCDEFG$ được hiển thị trong Hình 4 với các góc vuông $A, B, E$, trong đó cạnh thứ 5 bằng nhau và $|BC| = |GA|$ lớn hơn $k - 2$ lần; nó phải được chuyển dọc theo các phân đoạn $P_1Q_1, P_2Q_2, \dots, P_{k-3}Q_{k-3}, CG, DF$.

Rõ ràng, không ai biết các góc của một $n$-gon đều không phẳng, trong đó $n \geq 6$, có thể bằng bao nhiêu.

4. Đặt bất kỳ đoạn $AB$ nào được ánh xạ tới một đoạn bằng nhau $A'B'$ cùng hướng. Hãy chứng minh rằng ánh xạ này là một phép truyền song song. Hãy lấy điểm $M_0$; hãy để nó đi đến điểm $M'_0$. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó, bất kể quan điểm $M$, $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M_0M'}$. Vì đoạn $M_0M$ đi vào đoạn $M'_0M'$ trong khi vẫn giữ nguyên hướng, tức là $\overrightarrow{M_0M} = \overrightarrow{M'_0M'}$, nên chúng ta thu được $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M'_0M'} + \overrightarrow{M_0M'} = \overrightarrow{M_0M} = \overrightarrow{M_0M} + \overrightarrow{M'_0M'}$.

Định nghĩa thứ hai thuận tiện hơn: thành phần ánh xạ có thuộc tính nhất định cũng có thuộc tính này.

5. Hãy để ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó có thuộc tính được chỉ định. Hãy lấy điểm tùy ý $M$ và $N$. Vì $MN \parallel M'N'$ (Hình 5) và $k \neq 1$, các đường $MM'$ và $NN'$ giao nhau. Chúng ta hãy biểu thị điểm giao nhau của chúng bằng $O$. Từ sự giống nhau của các tam giác $OMN$ và $OM'N'$ suy ra $\frac{|OM'|}{|OM|} = k$. Nếu chúng ta cũng lấy điểm $P$ thì dễ dàng chứng minh rằng $(PP') \cap (MM') = O$, tức là điểm $O$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $M, N$.

Ô chữ “Tổ ong” *)

(xem «Kvant» số 8)

1. Độ lệch 2. Nylon. 3. Euclid. 4. Farad. 5. Sử dụng. 6. gallon. 7. Quang học. 8. Vectơ. 9. Skyr. 10. Kurako. 11. Mô-đun. 12. Rybkin. 13. Proton. 14. Jun. 15. Lotbak. 16. Tám. 17. Làm việc. 18. Delaunay. 19. Phương pháp. 20. Cảm biến. 21. Volta. 22. Tikond. 23. Oersted. 24. Gỗ mun. 25. Thận. 26. Krylov. 27. Đám mây. 28. Edison. 29. Đàn ghi-ta. 30. La bàn. 31. Kozlov. 32. Cầu vồng. 33. Passat. 34. Landdu. 35. Sao Thổ. 36. Lĩnh vực. 37. Quart. 38. Huyết tương. 39. Lacroix. 40. Sao Diêm Vương. 41. Nút chai. 42. Cato. 43. Lăng kính. 44. Kapitsa. 45. Linnik. 46. ​​Cung hoàng đạo. 47. Phân tích. 48. Quỹ đạo.

*) Tác giả trò chơi ô chữ là V. Shestakov