Khoảng cách của Styopa Moshkin (từ thư gửi bạn bè)

48

E. Semenov

Khoảng cách
thảo nguyên Moshkin
(từ những lá thư gửi một người bạn)

Hoan hô! Tôi đã nghĩ ra khoảng cách của riêng mình!
(chữ cái đầu tiên)

Mishka, xin chào! Năm ngoái, khi tôi học lớp sáu, giáo viên Pyotr Ivanovich của chúng tôi đã nói với chúng tôi rằng khoảng cách không chỉ có thể được gọi là những gì thu được khi thay đổi bằng thước, mà nói chung là mọi thứ có tính chất 1-3 trong đoạn 4 của “Hình học 6”.

Tôi quyết định tìm ra khoảng cách của riêng mình. Tôi nhớ đến “mô hình điện thoại”, với sự trợ giúp của Pyotr Ivanovich đã chứng minh cho chúng ta thấy rằng thuộc tính thứ ba của khoảng cách không thể suy ra từ hai thuộc tính đầu tiên *). Tôi nhớ lại và nghĩ: khi tôi muốn gọi cho ai đó, tôi nhấc máy,

Tôi bấm số và họ đã nói chuyện rồi. Điều này có nghĩa là “khoảng cách điện thoại” từ tôi đến mọi người tôi gọi là như nhau, chẳng hạn như 1 phút. Một phút để quay số điện thoại. Nhưng tất nhiên, tôi không gọi điện cho mình: khi tôi hỏi, tôi trả lời ngay. Vì vậy, khoảng cách từ tôi đến tôi bằng không! Tất nhiên, những người khác trong trường hợp tương tự sẽ phục vụ theo cách tương tự như tôi. Vì vậy, tôi chợt nghĩ: coi khoảng cách giữa hai mặt phẳng bất kỳ của tôi bằng 0 nếu các mặt phẳng này trùng nhau và bằng 1 nếu chúng khác nhau (Hình 1).

“Khoảng cách” của tôi có phải là khoảng cách không? Liệu nó có các thuộc tính phù hợp?

Tất nhiên, tính chất đầu tiên cho khoảng cách của tôi được thỏa mãn: với

*) Rõ ràng, Styopa đang đề cập đến cuộc trò chuyện được nêu trong bài viết “Bạn có thể chứng minh điều đó không? “Bạn không thể chứng minh điều đó!” («Kvant», 1978, số 1).

Hình 1.

49

các điểm khác nhau $A$ và $B$ đối với tôi $|AB|=1$ và $1>0$; đối với các điểm trùng nhau $A$ và $B$ Tôi có $|AB|=0$.

Tất nhiên, tính chất thứ hai cũng được thỏa mãn: đối với các điểm phân biệt $|AB|=1$ và $|BA|=1$, điều này có nghĩa là $|AB|=|BA|$; và đối với các điểm trùng nhau $|AB|=0$ và $|BA|=0$ - lại $|AB|=|BA|$.

Tôi đã phải mày mò một chút về tính chất thứ ba - tôi phải xem xét một số trường hợp.

Nếu cả ba điểm $A, B, C$ trùng nhau thì $|AC|=|AB|=|BC|=0$. Vì vậy, trong trường hợp này, $|AC|=|AB|+|BC|$, cũng có thể được viết là $|AC| \leq |AB|+|BC|$.

Bây giờ đường đi của ba điểm trùng với hai. Nếu $A=C$ thì $|AC|=0$ và $|AB|=|BC|=1$. Do đó, $|AC| < |AB|+|BC|$, có thể được viết lại thành $|AC| \leq |AB|+|BC|$. Nếu $A=B$ thì $|AB|=0$ và $|AC|=|BC|=1$. Trong trường hợp này $|AC|=|AB|+|BC|$. (Tôi sẽ không viết lại đẳng thức và bất đẳng thức nghiêm ngặt mọi lúc ở dạng ≤, được chứ?) Cuối cùng, với $B=C$ chúng ta có $|BC|=0$, $|AB|=|AC|=1$ và một lần nữa $|AC|=|AB|+|BC|$.

Và khi cả ba điểm đều khác nhau thì $|AB|=|BA|=|AC|=1$ và $|AC| < |AB|+|BC|$.

Bạn có hiểu chuyện gì đang xảy ra không? “Khoảng cách điện thoại” của tôi hóa ra cũng giống như khoảng cách máy chủ mà họ nói ở trường! Tất cả (bạn thấy đấy, tất cả!) ba thuộc tính của khoảng cách đều được đáp ứng cho nó. Vậy khoảng cách có thể khác nhau? Giống như trong sách giáo khoa và giống như tôi nghĩ ra? Hoặc có thể chúng có thể là cái gì khác?

Dù sao đi nữa, khoảng cách của tôi vẫn đáng để mày mò.

Styopa.

Nó xảy ra!

(chữ thứ hai)

Con gấu! Đã xảy ra sự cố với hình dạng phân đoạn của tôi.

Sách giáo khoa nói rằng đoạn $AB$ là một tập hợp gồm các điểm x phân biệt $A, B$ và các điểm nằm giữa chúng. Được rồi, trong trường hợp nào thì được coi là điểm $X$ nằm giữa điểm $A$ và $B$? Nếu điểm $A, X, B$ và $|AX|+|XB|=|AB|$ khác nhau. Nhưng với khoảng cách của tôi cho các điểm khác nhau $A, X$ và $B$ thì chúng ta có $|AX|=|XB|=|AB|=1$. Khi đó $|AX|+|XB| \neq |AB|$, tức là không có điểm nào $X$ mà đẳng thức $|AX|+|XB|=|AB|$ có ​​thể giữ được. Điều này có nghĩa là trong hình học của tôi, các điểm nằm giữa các điểm $A$ và $B$ đều trống! Nhưng sau đó, một đoạn trong hình học của tôi là một tập hợp gồm hai điểm: $|AB|=\{A, B\}$.

Vâng, bạn thích nó như thế nào? Có lẽ đây vẫn chưa phải là điều ngạc nhiên về khoảng cách của tôi.

Styopa.

Một sự độc lập khác!

(chữ thứ ba)

Gấu ơi, tôi đã có một khám phá! Tôi quyết định xem liệu các điểm trên một đường thẳng trong hình học của tôi có nằm ở vị trí bình thường hay không. Trong “Hình học 6” (mục 5), người ta nói rằng bất kỳ điểm $O$ nào trên một đường thẳng sẽ chia tập hợp các điểm còn lại thành hai tập hợp không trống sao cho điểm $O$ nằm giữa hai điểm bất kỳ thuộc một tập hợp khác (thuộc tính 1a).

Để hiểu tính chất này, tôi đã vẽ (Hình 2). Đây là đường thẳng $a$. Đây là dấu chấm $O$ trên đó - màu đỏ. Đây là hai bộ mà điểm $O$ phân chia đường $a$: một bộ có màu xanh lam, bộ còn lại có màu xanh lục. Tôi đã chọn các điểm $A$ và $B$ thuộc các bộ khác nhau này. Điểm $O$ phải nằm giữa điểm $A$ và $B$…

50

Nhưng trong hình học của tôi, nó không nằm giữa chúng (xem lá thư trước).

Ngay lập tức tôi bị thuyết phục rằng tính chất của 16 số đó không được thỏa mãn (bạn hãy tự làm, nhìn vào bản vẽ của tôi).

Hóa ra trong hình học của tôi, tính chất vị trí của các điểm trên đường thẳng không được thỏa mãn. Điều này có nghĩa là các giá trị logic của chúng không thể được suy ra từ các thuộc tính về khoảng cách. Nói cách khác, họ độc lập!

Styopa.

Hãy nghĩ ra cái gì khác đi!

(thư làm đôi)

Con gấu! Lục lọi «Kvant» cũ, gần đây tôi nhận ra rằng điểm và đường có thể được gọi là bất kỳ đối tượng nào thỏa mãn các thuộc tính được chỉ định trong tiên đề *). Sau đó, tôi nhận ra rằng khoảng cách là bất kỳ số **) nào có các thuộc tính 1-3 được nêu trong sách giáo khoa.

Và trong các hình học khác nhau, khoảng cách có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau: trong hình học trường học - theo một cách, theo hình học của Lobachevsky - theo cách khác, và trong hình học của tôi - theo cách thứ ba. Điều quan trọng là ba thuộc tính của nó được thỏa mãn. Đó là điều Pyotr Ivanovich đã nói.

Và ngày hôm qua tôi đã tìm thấy một chỗ như vậy trong cuốn sách “Sự lan truyền hình học” của Karl Levitin. Nhà vật lý vĩ đại Einstein giải thích cho cậu con trai chín tuổi của mình lý do tại sao cậu trở nên nổi tiếng trong khoa học: “Khi một con bọ mù bò dọc theo bề mặt của một quả bóng, điều đó không thay thế được sự thật rằng đường đi của nó là đường cong, nhưng tôi đã đủ may mắn để nhận thấy điều này”. Thôi nào, bạn và tôi sẽ nhận thấy điều gì đó và nghĩ ra điều gì đó.

R.S. Có vẻ như với khoảng cách, tôi đang phát triển một “sự điên rồ” mới. Đợi đã, tôi sẽ viết.

Người bạn vĩnh cửu của bạn Styopa Moshkin.

*) Styopa đang đề cập đến bài viết “Điểm, đường thẳng… - nó là gì?” («Kvant», 1975, số 9 11-12).

**) Ở đây Styopa thể hiện bản thân không thành thạo cho lắm. Khoảng cách không phải là một “con số” mà là một hàm số được xác định trên các cặp điểm.

Theo dõi

Tôi chắc chắn rằng “Khoảng cách của Stepino” có vẻ rất khác thường đối với bạn. Nhưng phải làm gì? Vì cả ba tính chất (tiên đề) của khoảng cách đều được thỏa mãn nên nó được gọi là khoảng cách.

Có thể thêm một số loại tiên đề và chỉ gọi loại tiên đề nào thỏa mãn danh sách mở rộng khoảng cách tiên đề không? Ví dụ, trên mặt phẳng cho bất kỳ số nào cũng có một cặp điểm, khoảng cách giữa chúng bằng số này. có thể bao gồm thuộc tính này làm thuộc tính khoảng cách thứ tư? Nhưng khi đó những gì được coi là như vậy trên một quả cầu, quả địa cầu hoặc một tờ giấy sẽ không còn là khoảng cách nữa (giải thích tại sao).

Những tưởng tượng tương tự như của Stepina có lợi ích gì? Không thể trả lời trước câu hỏi này và cho từng trường hợp. Nhưng đối với trường hợp của mình, bản thân Stepa phải: một trong những tính chất về vị trí của một điểm trên đường thẳng không thể suy ra từ tính chất khoảng cách.

Một kết luận khác từ lời nói của Moshkin: khi chúng tôi giới thiệu một khái niệm nhất định, chúng tôi bắt đầu từ một hoặc nhiều mô hình (ví dụ: khi giới thiệu khái niệm khoảng cách, chúng tôi bắt đầu từ một mô hình trong đó khoảng cách được thay đổi bằng cách sử dụng thanh tỷ lệ trên sơ đồ hoặc tờ giấy). Nhưng sau khi chúng tôi giới thiệu khái niệm này, chúng tôi phải chuẩn bị cho thực tế là nó có thể có những mô hình hoàn toàn bất ngờ, khác thường.