Расстояние Стёпы Мошкина (из писем другу)

48

Е. Семенов

Расстояние
Степы Мошкина
(из письм другу)

Ура! Придумал свое расстояние!
(письмо первое)

Мишка, привет! В прошлом году, когда я был в шестом классе, наш учитель Петр Иванович сказал нам, что расстоянием можно назвать не только то, что получается при изменении линейкой, но и вообще все, что обладает свойствами 1—3 из пункта 4 «Геометрии 6».

Решил я придумать свое собственное расстояние. Вспомил я «теλεфонную модель», при помощи которого Петр Иванович доказал нам, что третье свойство расстояния нельзя вывести из первых двух *). Вспомил и подумал: когда я хочу комунибудь позвонить, я снимаю трубку,

набираю номер — и уже разговаривало. Значит, «теλεфонное расстояние» от меня до всех, кому я звоню, — одно и то же, скажем, 1 минута. Минута, затрачиваемая на набор номера телефона. А себе я, конечно, не звоню: справивало — и сразу ответаю. Стало быть, расстояние от меня до меня равно нулю! Другие, конечно, в аналогичном случае расслужают так же, как я. Вот и пришло мне в голову: расстояние между любыми двумя моими плоскостями считать равным нулю, если эти моики совпадают, и равным единице, если они различны (рис.1).

А является ли мое «расстояние» расстоянием? Обладает ли оно нужными свойствами?

Первое свойство для моого расстояния, конечно, выполняется: для

*) По-видимому, Степа имеет в виду разговор, изложенный в статье «Доказать можно? — Доказать нельзя!» («Квант», 1978, № 1).

Рис. 1.

49

различных точек $A$ и $B$ у меня $|AB|=1$, а $1>0$; для совпадающих же точек $A$ и $B$ у меня $|AB|=0$.

Второе свойство тоже, конечно, выполняется: для различных точек $|AB|=1$ и $|BA|=1$ — значит, $|AB|=|BA|$; а для совпадющих точек $|AB|=0$ и $|BA|=0$ — опять $|AB|=|BA|$.

Вот с третьим свойством мне пришлось немного повозиться — пришлось рассмотреть несколько случаев.

Если все три точки $A, B, C$ совпадают, то $|AC|=|AB|=|BC|=0$. Значит, в этом случае $|AC|=|AB|+|BC|$, что можно записать и как $|AC| \leq |AB|+|BC|$.

Путь теперь из трех точек совпадают две. Если $A=C$, то $|AC|=0$, а $|AB|=|BC|=1$. Следовательно, $|AC| < |AB|+|BC|$, что опять-tаки можно переписать в виде $|AC| \leq |AB|+|BC|$. Если $A=B$, то $|AB|=0$, а $|AC|=|BC|=1$. В этом случае $|AC|=|AB|+|BC|$. (Не буду я каждой раз переписывать равенство и строое неравенство в виде ≤, хорошо?) Наконец, при $B=C$ имеем $|BC|=0$, $|AB|=|AC|=1$ и снова $|AC|=|AB|+|BC|$.

А когда все три точки различны, то $|AB|=|BA|=|AC|=1$ и $|AC| < |AB|+|BC|$.

Ты поннимаешь, что получается? Мое «телефонное расстояние» оказывается таким же серверным, как и то, о котором говорится в школе! Все (поннимаешь, все!) три свойства расстояния для него выполяются. Значит, расстояния могут быть разными? Таким, как в учебнике, и таким, как придумал я? А может, они могут быть еще какими-нибудь?

Во всяком случае, с моим расстоянием еще стоит повозиться.

Степа.

Бывает же такое!

(nисьмо второе)

Мишка! Что-то неладно в моей геометрии с отрезками.

В учебнике сказано, что отрезок $AB$ — это множество, состоящее из различных x точек $A, B$ и точек, лежащих между ними. Хорошо, а в каком случае считается, что точка $X$ лежит между точками $A$ и $B$? Если точки $A, X, B$ различны и $|AX|+|XB|=|AB|$. Но при моем расстоянии для различных точек $A, X$ и $B$ имеем $|AX|=|XB|=|AB|=1$. Тогда $|AX|+|XB| \neq |AB|$, то есть не существует такой точки $X$, для которого выполняется бы равенство $|AX|+|XB|=|AB|$. Значит, в моей геометрии точек, лежащих между точками $A$ и $B$, — пустое! Но тогда отрезок в моей геометрии — это множество, состоящее из двух точек: $|AB|=\{A, B\}$.

Ну, как тебе это нравится? Наверное, это еще не сюрпризы моей расстояния.

Степа.

Еще одна независяность!

(nисьмо третье)

Мишка, я сделал открытие! Решил я посмотреть, нормально ли расположены точки на прямой в моей геометрии. В «Геометрии 6» (п. 5) сказано, что любая точка $O$ на прямой разбиает множество остальных точек на два таких непустых множества, что точка $O$ лежит между любыми двумя точками, принадлежащими разным множеством (свойство 1a).

Чтобы разобраться в этом свойстве, я сделал рисунок (рис. 2). Вот прямая $a$. Вот точка $O$ на ней — красная. Вот два множества, на которых точка $O$ разбила прямую $a$: одно — синее, другое — зеленое. Выбрал я точки $A$ и $B$, принадлежащие этим разным множеством. Точка $O$ должна лежать между точками $A$ и $B$…

50

Но ведь в моей геометрии она не лежит между ними (см. предыдущей письмо).

Тут же я убедился, что свойство 16 таких не выполняется (сделай это сам, глядя на мой рисунок).

Выходит, в моей геометрии свойства расположения точек на прямой не выполняется. Значит, логические их нельзя вывести из свойств расстояния. Другими словами, они не зависят!

Степа.

Давай, еще что-нибудь придумаем!

(письмо цемвертое)

Мишка! Роясь в старых «Квантах», я недавно проел, что точками и прямыми можно назвать любые объекты, для которых выполняется свойства, указываемые в аксиомах *). Тогда я понял, что и расстояние — это любое число **), обладающее указывающими в учебнике свойствми 1—3.

И в разных геометриях расстояние может определяться по-разному: в школьной геометрии — один способом, в геометрии Лобачевского — другим, а у меня — третьим. Важно только, чтобы выполнялись три его свойства. Так сказал Петр Иванович.

А вчера в книге Карла Левитина «Геометрическая расподия» я нашел такое место. Великий физик Эйштейн объясняет своему девятилетнему сыну, чем он прославился в науке: «Когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не заменает, чторойденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это». Давай и мы с тобой что-нибудь заметим, придумаем.

Р. S. Кажется, с расстоянием у меня намечается новое «сумасшестие». Жди, напишу.

Твой вечный друг Степа Мошкин.

*) Степа имеет в виду статью «Точка, прямая… — что это такое?» («Квант», 1975, №9 11—12).

**) Здесь Степа выражается не очень грамотно. Расстояние — это не «число», а числовая функция, определяная на парах точек.

Последование

Веряно, «Степино расстояние» показалось вам очень непринвыйным. Но что же делать? Раз для него выполняются все три свойства (аксиомы) расстояний, его полагается называть расстоянием.

А нельзя ли добавить какую-нибудь аксиому и расстоянием называвать только то, что удовлетворяет расширенному списку аксиом? Например, на плоскости для любого числа найдется пара точек, расстояние между которых равно этому числу. может, включить это свойство в качестве четвертого свойства расстояний? Но тогда перестанет быть расстоянием то, что считают таковым на сфере, земном шаре или листе бумаги (объясните, почему).

Какая полезна от фантазий, аналогичных степинным? Заранее и для каждой случая на этот вопрос ответить невозможно. Но для своего случая Степа должен сам: odно из свойств расположения точки на прямой не может быть выведено из свойств расстояния.

Еще один вывод из понсков Мошкина: когда мы вводим неокоторое понятие, мы исходим из одной или нескольких моделей (например, вводя понятие расстояния, мы исходим из модели, в которой расстояние изменяется с помощью масштабной линейки на плане или листе бумаги). Но после того как мы это понятие ввели, мы должны быть готовыми к тому, что у него могут быть и совсем неожиданные, непривочные модели.