Задачи наших читателей

29

Рис. 8.

лельным переносом дискриминантной параболы.

Из (9) видно, что уравнения с корнями вида $n + bi$ (n — целое число) соответствуют на плоскости $n$ точки лучей $p = -2n$ с вершинами на дискриминантной параболе (рис. 8).

Поэтому уравнения $x^2 + px + q = 0$, имеющим комплексный корень $a + bi$, удовлетворяющий, например, условиям:
$$1 < a < 2, \quad 1 < b < 2,$$
на плоскости $n$ соответствуют точки $(p; q)$, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
$$\begin{cases} q > \frac{1}{4} p^2, \\ -4 < p < -2, \\ \frac{1}{4} p^2 + 1 < q < \frac{1}{4} p^2 + 4. \end{cases}$$

Таким образом, чтобы при помощи сетчатой номограммы, изображенной на рисунке 8, решить конкретное уравнение $x^2 + px + q = 0$, у которой $q > \frac{1}{4} p^2$, надо посмотреть, между какими лучами и между какими параболами на плоскости $n$ лежит точка $(p; q)$.

Занитересовавшимся читателем мы предлагаем рассмотреть в плоскости $n$ области комплексный корней для уравнения $x^3 + px + q = 0$ и $x^4 - x^2 + px + q = 0$.