Решения задач ВЗМШ

33

Решения задач ВЗМШ

В этой статье приведется решение некоторых задач из вступительного работы в ВЗМШ 1978 года («Квант», 1978, № 1).

3. Какие значения может принимать a, если
   $$|a + b| \leq 1 \quad \text{и} \quad |a - 3b| \leq 2$$
   Ответ: $-\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{5}{4}$.

Проще всего решать эту задачу графически. Возьмем на плоскости системы координат и найдем область, состоящую из точек $(a; b)$, удовлетворяющих неравенству. Легко сообщить, что это параллелограмм с вершинами $(\frac{5}{4}; -\frac{1}{4}), (\frac{1}{4}; \frac{3}{4}), (-\frac{5}{4}; \frac{1}{4})$ и $(-1/4; -3/4)$.

4. На плоскости данной квадрат с центром в точке O. В этой точке расположен проектор, который освещает угол вершины 90°. В начальной моменте проектор освещает угол, стороны которого проходит через две вершины квадрата. Затем проектор нанал врачается вокруг точки O. В какой момент времени площадь освещенной части квадрата будет больше: когда проектор повернется на 45° или на 72°?

Площадь освещенной части все время одинакова и составляет четверть площади квадрата. Действительно, стороны угла в 90° с вершиной в центре квадрата вместе с их продолжениями делят квадрат на 4 конгрузные части, переходящие друг в друга при поворотах на 90°, 180°, 270°.

5. Ивана Александровича Хлестакова приласили управляемом и в течение трех дней прислали 30 000 курьеров. Известно следующие: если бы в первый день было прислано ввое больше курьеров, то общее число курьеров было бы чемвертой степенью много числа, на котором в третьий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров было прислано Хлестакову в каждой день? (Приведите все возможные ответы.)

Пусть в первый день прислали x, во второй y, в третьий z курьеров. Из условия следует, что
$$2x + y + z = (z - y)^4.$$
С другой стороны, очевидно, что
$$30 000 \leq 2x + y + z \leq 60 000,$$
откуда
$$30 000 \leq (z - y)^4 \leq 60 000.$$
Подсчетом убеждаемся, что в этом промежутке лежат только
$$14^4 = 38 616 \quad \text{и} \quad 15^4 = 50 625.$$
В каждом из этих случаях легко ответить:
$$\begin{cases} x = 8 616, \\ y = 10 685, \\ z = 10 699 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 20 625, \\ y = 4 680, \\ z = 4 695. \end{cases}$$

7. Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению
   $$x^2 - xy - 2y^2 = 18.$$
   Левую часть можно разложить:
   $$(x + y)(x - 2y) = 18.$$
   Заметим, что разность множителей, стоящих в левой части, равна 3. Итак, 18 надо разложить на 2 множители, разность которых делится на 3. Это можно сделать четрьмя способами, каждый из которых дает свой ответ:
   $$18 = 3 \cdot 6, \quad 18 = (-3) \cdot (-6),$$
   $$18 = 6 \cdot 3, \quad 18 = (-6) \cdot (-3),$$
   $$\begin{cases} x = 4 \\ y = -1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = -4 \\ y = 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = -5 \\ y = -1. \end{cases}$$

8. Дан прямуюольник ABCD. Внутри него берется произвольная точка и через нее проводится две прямые, параллельные сторонам AB и BC. Эти прямые разбиают прямуюольник на 4 меньших прямых. Доказать, что площадь хотя