64
Игра «йога»
Игра «йога» *) предназначаена для одного человека.
Она состоит в следующем:
Доска из 33 полей имеет форму, показанную на рисунке 1; на каждое поле ставится по фишке, затем одна фишка убирается; на каждом ходу можно перерывать любой фишкой через любую соседнюю (по горизонтали или вертикали) на пустое поле — при этом перерыгнутая фишка снимается; целый игруш — с доски все фишки, кроме одной.
Нетрудно проверить, что, какую бы фишку мы ни убрали первоначально, снять все фишки, кроме одной, можно. Из сообщений симметрия ясно, что проверку достаточно проверки для случая, когда первоначально снимаются фишки d1, d2, d3, d4, e1, e2, e3 (рис. 1 на 3 с. обложки). Впрочем, некоторые из этих случаев друг к другу.
Пусть вначале удалена фишка d3. Докажем, что, коеда на доске останемся одна фишка, она будет стоять на одном из полей a3, d3, g3, d6.
Раскрасием доску в три цвета, как на рисунке 2. Легко заметить, что при каждом ходе число фишек каких-то двух цветов уменышается на 1, а третьего цвета — возрастает на 1 (рис. 3). Значит, после каждого хода четность числа фишек каждого цвета меняется на противоположную.
В исходном положении у нас 11 фишек стоит на синх полях, 11 — на красных и 10 — на белых. Мы хотим, чтобы осталась одна фишка — для этого надо сделать 31 ход. Когда четность изменится 31 раз, у нас будет четное число фишек, четное число — красных и нечетное — белых. Следовательно, единственная остывающая фишка будет на белом поле.
Чтобы закончить доказательство, раскрасием доску по-другому: как на рисунке 4. Аналогичное рассудение показывает, что и при этой раскраске последняя фишка
*) Раньше она называлась «солитер».
задачи
-
На каких полях может остаться фишка, если вначале мы сначала фишку с поля c1?
-
Раскрасием доску, как на рисунке 5. Удалим вначале фишку с поля c3. a) Какое наименование число «белых» (т. е. стоящих на белых полях) фишек необходимо сьесть, чтобы уничтожить все «черные» фишки? 6) Какое наименование число «черных» фишек необходимо сьесть, чтобы уничтожить все «белые» фишки?
-
В квадрат 11×11 расставлена 81 фишка, как на рисунке 6. Докажите, что, действуюя по правилам игры «йога», нельзя добиться того, чтобы осталась только одна фишка.
-
На шахматной доске расставили 64 фишки и сяли фишку с поля a1; на каждом ходу можно перерывать любой фишкой через две соседние (по горизонтали или вертикали) на пустое поле, снимая с доски обе перерыгнутые фишки. Какого наименование числа фишек можно добиться и как эти фишки будут располагаться? Как изменится ответ, если заполить фишками все 64 поля и добавить к доске еще одно поле (пустое) рядом с клеткой a1?
А. Толпью
Номер домашили:
А. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова,
Ю. Шиханович
Номер оформили:
Е. Барк, М. Дубах, Г. Красников,
Э. Назаров, А. Пономарева, И. Смирнова
Зав. редакцией Л. Чернова
Художественный редактор Т. Макарова
Корректоры О. Бутусова и В. Сорокина
113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, «Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 28/VI-78
Подписано в печать 15/VIII-78 г.
Бумага 70×108/16 Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 6,58. Т-16204
Цена 30 коп. Заказ 1468. Тража 301 160 экз.
Чеховский полигraphический комбинат Союзполигraphпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли,
г. Чехов Московской области
Руководщи не возвращаются