Непрерывно изгибаемый многогранник

Квант 1978, №9 с. 13-18 Тег QCDL

В. Залгаалер

Многогранник
Многогранником мы будем здесь называть поверхность (не тело!), составленную из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники — грани многогранника. Стороны граней — ребра многогранника. Предполагается, что по каждому ребру прилегают друг к другу не более двух граней. (Так, поверхность, изобравенная на рисунке a) на заставке не многогранник.) Многогранник должен состоять из одного куска: от любой его грани можно перейти к любой другой, переходя от грани к грани последовательно через ребра, по которой соседние грани прилегают.

Если у многогранника есть ребро, принадлежшее всего одной грани, то это — многогранник с краем (рис. 6). Если же каждое ребро принадлежит двум граням, многогранник называют замкнутым (рис. 8). У замкнутого многогранника края нет.

Многогранник будем называть выпуклым, если он является границей выпуклого тела. Такой многогранник — обязаательно замкнутый. Как правило, мы будем рассматривать только многогранники, чьи грани

Изгибание многогранника

Будем считать, что форму и размеры каждой грани многогранника изменять запрещено, т. е. грани будем рассматривать как твердые матерIALные пластинки. Двугранные углы при ребрах разрешим изменять. Если изменением углов при ребрах исходный многогранник можно перестроить так, чтобы при сохранинии порядка прилегания граней его форма изменилась, то говорят, что новый многогранник получается из исходного конечным изгибанием.

Изгибание многогранника с краем представить себе легко. Например, у многогранника, составленного из двух треугольников, можно произвольно изменить угол при обшем ребре.

Приведем пример конечного изгибания замкнутого многогранника. Многогранник на рисунке 1, а составлен из пяти граней куба, шестая же грань заменена боковой поверхностью невысокой правильной четырехугольной прямиды, поставленной на куб. Многогранник на рисунке 1, б построен аналогично, только теперь та же пирамида входит внутри куба. В этом примере при изгибании многогранника двугранные углы при некоторых ребрах не только изменили свою величины, но стали из выстрашших — входящими. Интересный пример конечного изгибания многогранника изобажен на рисунке 2*). Здесь при изгибании выступающие двугранные углы остаются выступающими, а входящие — выходящими.

В обих примерах изгибание осуществляется с качком, не перерывно. Если, например, скленть много

*) Этот пример занимает из заметки А. Д. Алексаидрова и С. М. Владимировой («Вестник Ленинградского университета», 1962, № 13).

Рис. 3.

Рис. 4.

$a \approx 5,3752$ см; $b \approx 5,9103$ см; $c \approx 9,0935$ см. К центру звезды подходят ребра $b$ и $c$ .

В дальнейшем мы будем считать, что в замкнутом многогранике все грани абсцилтоно твердые, а по ребрам соседние грани соединины шарниро, подобно пластинам дверной петли. Допускаем ли хоть один малый замкнутый многограник непрерывное избытие?

Первый октаэдр Брикара

Рассмотрим на плоскости $P$ четырехзвенный механизм $ABCD$ (рис. 3). Вершины $A, C, B, D$ , в которых размещены шарниры, служат вершинами равновойной трапеции. Четырехугольник $ACBD$ подвижен: угол $\alpha$ можно менять в некоторых пределах; при этом звенья $AB$ и $CD$ свободно скольает друг по другу. При изменении $\alpha$ вершины четырехугольника продолжают составлять равновойную трапецию. Поэтому воокруг четырехугольника $ACBD$ в каждой момент можно описать окружность.

Зафиксируем теперь на плоскости $P$ положение ребра $AB$ . Тогда радиус $R(\alpha)$ описанной окружности непрерывно зависит от $\alpha$ . Центр окружности $O(\alpha)$ также непрерывно зависит от $\alpha$ (в том смысле, что мало изменение $\alpha$ приводит к малому сдвигу точки $O(\alpha)$ ).

Проведем через точку $O(\alpha)$ перпендикуляр к плоскости и отложим на этом перпендикуляре вверх и вниз от плоскости $P$ отрезки $O(\alpha) M$

Немного истории

Еще в 1813 году известный французский математик Огюстен Коши доказал, что выпуклый многограник вообще не допускает избытие с сохранением выпуклости (если не считать изгибанием его зеркальное отражение) *. Пытаясь ответить на вопрос, может ли непрерывно изгибаться замкнутый невыпуклый многограник, Р. Брикар в 1897 году построил примеры такого рода многограников. Но это были многограники с самопересечениями. Ниже мы опишем две конструкции Брикара.

Вопрос о существовании непрерывно изгибемого замкнутого многограника без самопересечения оставался открытым. Многие геометры предполагали, что такой многограника не существует. Однако в 1977 году американский математик Р. Коелли **) такой многограник построил! Его построение опирается на результаты Брикара.

Первый октаэдр Брикара

*) Ostroymное доказательство Коши изложено, например, в книге Адамара «Элементная геометрия», том 2 (Учредгиз, 1952).

**) R. Connelly, A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra (Publ. Math., IHEE, 1978, v. 47. c. 333—338).

и $O(\alpha) M'$ длины $h(\alpha) = \sqrt{L^2 - R^2}(\alpha)$ , где $L$ — некоторая постоянная. На каждом из звенев $AB, BC, CD, DA$ , как на основании, построим по два треугольника: с вершиной $M$ и с вершиной $M'$ . Все боковые стороны этих треугольников имеют длину $L$ (независимо от $\alpha$ !). Эти восемь треугольников составляют первый самопересекающий октаэдр Брикара (рис. 4). С изменением $\alpha$ он непрерывно изгибается.

К сожалению, даже если мы сумем изготовить шарнирный механизм $ABCD$ , построить из бумаги действующего модель первого октаэдра Брикара нам не удалось: моделировать переменное пересечение треугольников ( $AMB$ и $DMC$ , $AM'B$ и $DM'C$ ) листами бумаги нельзя! Однако, если эти треугольники построить, натянув на их боковые стороны горизонтально сеть нитей, то на полученной модели будет видно, как треугольники непрерывно проскальзывают друг сквозь друга (рис. 4).

Зарубка Конелли

Рассмотрим двугранный угол $QlQ'$ , состоящий из прямолинейного ребра $l$ и полупоскостей $Q$ и $Q'$ (рис. 5). Его bicсекторialную плоскость обозначим через $P$ . Построим первый октаэдр Брикара так, чтобы звоно $AB$ лежало на прямой $l$ , четырехугольник $ACBD$ — в плоскости $P$ , а треугольники $AMB, AM'B$ — в полупоскостях $Q$ и $Q'$ . После этого удалим из ребра $l$ участок $AB$ , а из граней $Q$ и $Q'$ — треугольники $AMB$ и $AM'B$ . Эти же два треугольника удалим и из октаэдра Брикара. Останется фигура, изображенная на рисунке 5. Будем говорить, что на ребре двугранного угла сделана зарубка Конелли.

Многогранник с краем, изображенный на рисунке 5, допускает непрерывное изгибание: с изменением $\alpha$ изгибается октаэдр Брикара и, одновременно с этим, непрерывно меняется расстояние $MM'$ , а также (в некоторых пределах) изменяется величины двугранного угла $QlQ'$ .

В отличие от первого октаэдра Брикара, изготовить действующее

Рис. 7.

Рис. 8.

≤ α ≤ 180°. Часть CDMB соответствующего переломом по ребру MC, при котором образуется угол β (α), выбираемый для каждой α так, чтобы угол между отрезками BM и MD в обенях частях оказывался одинаковым. После этого приложим эти две части друг к другу по линии BMD.

Зафиксируем положение одной грани (например, грани ABM) в пространстве. Тогда изменению α в пределах 179° ≤ α ≤ 180° соответствует непрерывное изгибание четырехгранного многограника с краем. Если считать, что в ходе изгибания двумя углы при ребрах AM, MC направлены ребром вниз, то хотя бы один из углов при ребрах AM, MD будет направлен ребром вверх (рис. 7). При α=180° все эти углы распрямляются, и мы приходим к плоскому положению четырехгранника, показанному на рисунке 6.

Рис. 9.

Многогранник Конелли

Рассмотрим второй октаэдр Брикара в том его положении, когда α=180° и он выродился в дважды покрытый прямогольник. Заменим каждую из его восмит們 треугольных

«граней» боковой поверхности треугольной парамиды, поставленной на эту грань. При этом парамиды, основаниями которых служат треугольники с вершиной $M$ , помещим на д плоскостью $ABCD$ (рис. 9), а парамиды с треугольными основаниями, имеющими вершину $M'$ , — по од это плоскостью.

Полученный многограник (составленный боковым поверхностями всех восемми парамид) уже «почти» не имеет самопересечений: его части, расположенные над и под плоскостью $ABCD$ , содержаются (кроме контура $ABCD$ ) всего в двух «лишних» точках (точки $a$ и $b$ на рисунке 8). На рисунке 10 изображено это соприкосовение в точке $a$ (он имеет вид внешнего одноточного соприкосовения ребер двух двумя углов).

Устраним теперь самоприкосовение многограника в точке $a$ , сделав на ребре $BM'$ зарубку Конелли. Аналогично вычисли точки $b$ сделаем зарубку на ребре $DM'$ .

Многограник Конелли готов: он, очень длин, допускает непрерывное изгибание! Его общий вид показан на рисунке 12; его можно изготовить из чертежной бумаги.

У критических настроенного читателя могут возникнуть сомнения в том, что с помощью зарубки Конелли действительное можно установить соприкосовения в точках $a$ и $b$ ; это, однако, будет очень тем, кто изготовит модель зарубки Конелли или внимательно изучит рисунок 11. Дотошный читатель сумет дать и строгое доказательство этого факта.

В заключение отметим, что в процессе изгибания объем многограника Конелли не меняется (он сможет изгибаться, даже если его наполить нежимаемой жидкость!). Попробуйте это доказать самостояльно.

Пока эта заметка готовилась к печати, геометр из Харькова А. Д. Милка прислад нам сделанную им и его товаризами модель многограника Конелли. При изготовлении модели харьковане пользовались следующие дополнительными «конструкторскими» сообщениями.

Положение точки $M$ в прямоугольнике $ABCD$ (рис. 6) произволь-