Задачи М521—М525; Ф533—Ф537

36

Задачик
кванта

М521—М525; Ф533—Ф537

М521. Обозначим через $a_n$ целое число, близкий к $\sqrt{n}$. Найдите сумму
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{1980}}.$$ (8,9 кл.)
Г. Гуревич

М522. На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим проверить еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающую ломаную. Всегда ли это можно сделать? (8 кл.)
В. Произвольов

М523. Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побила, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
a) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрыает второй.
b) Кто выигравает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним? (8 кл.)
Н. Нечувтаев

М524. Докажите, что ни при каком натуральном $m$ число 1978$^m$ —1 не делится на 1000$^m$ —1. (8 кл.).
С. Конягиин

М525. Докажите, что для любого tetraэдра существует такие две плоскости, что отношение площадей проекций tetraэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$. (10 кл.).
А. Берзины

37

Ф533. Гантелька длины $l$ стоит в углу, образованном гладким плоскостями (рис. 1). Нижний шарик гантельки смешают горизонтальное на очень маленькое расстояние, и гантелька начинает двигаться. Найти скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.

А. Зильберман

Ф534. Астронавты «Скайлэба» с помощью спецального радиолокационного высотомера обнаружили, что поверхность океана в районе «Бермудского треугольника» ниже нормального уровня на 25 метров (см., например, журнал «Наука и жизнь», 1976, № 9). Предполагая, что этот «прогиб» можно обьясить наличием под дом океана шаровой полости, заполненной водой, оценить радиус этой полости. Глубина океана $h = 6$ км, средняя плотность земных пород $\rho = 3 \times 10^3$ кг/м$^3$.

А. Стасенко

Ф535. Потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых загруженных маленьких шариков с зарядами $q_1$ и $q_2$ равна $W_1 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 l}$, где $l$ — расстояние между центрами шариков. Если шарики соединить проволокой, заряды шариков станут одинаковыми, и потенциальная энергия взаимодействия шариков станет равной $W_2 = \frac{(q_1 + q_2)^2}{16 \pi \varepsilon_0 l}$. Так как $(q_1 + q_2)^2 > 4 q_1 q_2$ (при $q_1 \neq q_2$), то $W_2 > W_1$, то есть потенциальная энергия взаимодействия загровов возрастает! Откуда берется дополнительная энергия?

Ф536. Жесткая прямогольная конструкция $AOB$ ($AOB = 90^\circ$) врашает вокруг вертикальной оси $OO'$, так что $AOO' = \alpha$ (рис. 2). С помощью колес, которые могут свободно скользить по сторонам $AO$ и $OB$, на конструкцию надет легкий стержень $KE$ длины $2a$. К середине стержня прикреплен небольший массивный шарик. При какой угловой скорости вращения конструкции стержень займет горизонтальное положение?

С. Кротов

Ф537. Полировкой металлической пластины ее можно сделать зеркальной. Оценить, какова может быть максимальная высота шероховатей, оставшихся после полировки, чтобы пластина зеркальное отражала пучок света с длиной волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-8}$ м, падающий на нее под углом $\alpha = 45^\circ$.