Bài toán M521—M525; F533—F537

36

Vấn đề
lượng tử

M521—M525; F533—F537

M521. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a_n$ một số nguyên gần với $\sqrt{n}$. Tìm số tiền
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{1980}}.$$ (8,9 điểm)
G. Gurevich

M522. Một mặt phẳng có nhiều đoạn thẳng không cắt nhau, trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Chúng tôi muốn kiểm tra thêm một số đoạn nối các đầu của các đoạn này để tất cả các đoạn với nhau tạo thành một đường gãy không tự giao nhau. Điều này có thể luôn luôn được thực hiện? (8 lớp)
V. Proizvolov

M523. Quân cờ đứng ở góc bàn cờ có kích thước $n \times n$ ô. Mỗi người trong số hai người chơi lần lượt di chuyển nó sang một ô liền kề (có một mặt chung với mặt có chip). Bạn không thể vào sân lần thứ hai khi chip đã bị đánh. Người không có nơi nào để đi sẽ thua cuộc.
a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số chẵn thì người bắt đầu trò chơi sẽ thắng, và nếu $n$ là số lẻ thì người thứ hai thắng.
b) Ai thắng nếu ban đầu con chip không nằm ở ô góc mà nằm ở ô liền kề? (8 lớp)
N. Nechuvtaev

M524. Chứng minh rằng không có số tự nhiên $m$ thì số 1978$^m$ -1 chia hết cho 1000$^m$ -1. (8 lớp).
S. Konyagin

M525. Chứng minh rằng mọi tứ diện đều có hai mặt phẳng sao cho tỉ số diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng này không nhỏ hơn $\sqrt{2}$. (lớp 10).
A. Berzin

37

F533. Một quả tạ có chiều dài $l$ đứng ở một góc được tạo bởi một mặt phẳng nhẵn (Hình 1). Quả bóng dưới cùng của quả tạ được di chuyển theo chiều ngang một khoảng rất nhỏ và quả tạ bắt đầu chuyển động. Tìm vận tốc của quả bóng dưới tại thời điểm quả bóng trên rời khỏi mặt phẳng thẳng đứng.

A. Zilberman

F534. Các phi hành gia Skylab, sử dụng máy đo độ cao radar đặc biệt, đã phát hiện ra rằng bề mặt đại dương ở khu vực Tam giác quỷ Bermuda thấp hơn 25 mét so với mức bình thường (ví dụ, xem tạp chí Khoa học và Đời sống, 1976, số 9). Giả sử rằng “sự lệch” này có thể được giải thích bằng sự hiện diện của một khoang hình cầu chứa đầy nước bên dưới ngôi nhà đại dương, hãy ước tính bán kính của khoang này. Độ sâu của đại dương là $h = 6$ km, mật độ trung bình của đá trên cạn là $\rho = 3 \times 10^3$ kg/m$^3$.

A. Stasenko

F535. Thế năng tương tác giữa hai quả bóng nhỏ giống hệt nhau mang điện tích $q_1$ và $q_2$ bằng $W_1 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 l}$, trong đó $l$ là khoảng cách giữa tâm của các quả bóng. Nếu các quả bóng được nối bằng một sợi dây, điện tích của các quả bóng sẽ bằng nhau và thế năng tương tác của các quả bóng sẽ bằng $W_2 = \frac{(q_1 + q_2)^2}{16 \pi \varepsilon_0 l}$. Vì $(q_1 + q_2)^2 > 4 q_1 q_2$ (tại $q_1 \neq q_2$), nên $W_2 > W_1$, tức là thế năng tương tác giữa hai lực tăng lên! Năng lượng bổ sung đến từ đâu?

F536. Cấu trúc hình chữ nhật cứng $AOB$ ($AOB = 90^\circ$) quay quanh trục thẳng đứng $OO'$, sao cho $AOO' = \alpha$ (Hình 2). Sử dụng bánh xe có thể trượt tự do ở hai bên $AO$ và $OB$, một thanh nhẹ $KE$ có chiều dài $2a$ được đặt trên cấu trúc. Một quả bóng nhỏ lớn được gắn vào giữa thanh. Với tốc độ góc quay bao nhiêu thì thanh sẽ ở vị trí nằm ngang?

S. Krotov

F537. Bằng cách đánh bóng một tấm kim loại, nó có thể được làm giống như gương. Ước tính chiều cao tối đa của phần nhám còn lại sau khi đánh bóng có thể là bao nhiêu để tấm phản xạ một cách rõ ràng một chùm ánh sáng có bước sóng $\lambda = 5 \cdot 10^{-8}$ m, tới nó một góc $\alpha = 45^\circ$.