Đuổi theo, va chạm, bắt giữ

Kvant 1979, số 1 tr. 20-25 Thẻ QW8F

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

câu lạc bộ toán học

S. Aztselov, V. Barysheev

Đuổi theo, va chạm, nổ tung

Vào đúng buổi trưa, kim giờ và kim phút của đồng hồ trùng nhau. Lần sau chúng sẽ trùng nhau khi nào? Mặc dù đơn giản nhưng dòng có trọng lượng bài toán này rất đáng nể. Hãy giải quyết nó.

Gọi $v_1$ và $v_2$ là tần số quay của đồng hồ và kim phút. Rõ ràng là $v_1 = \frac{1}{12} \mathrm{q}^{-1}, \quad v_2 = 1 \mathrm{q}^{-1}$ .

Nếu $t$ là thời điểm quay của lần trùng khớp tiếp theo của các kim sau buổi trưa thì $v_2 t = v_1 t + 1$ , hoặc đến thời điểm $t$ kim phút sẽ quay nhiều hơn số giờ một vòng. Kể từ đây,

$t = \frac{1}{v_2 - v_1} \approx 1 \text{ ч } 5 \text{ мин } 27 \text{ с}.$

Chúng ta thấy rằng giá trị $t$ chỉ phụ thuộc vào độ lệch tần số $v_2 - v_1$ . Điều này cho thấy rằng lời giải có thể thu được bằng cách suy luận khác nhau. Trong khoảng thời gian giữa hai lần trùng hợp liên tiếp, kim phút quay so với đồng hồ một vòng. Vì tần số quay của kim phút so với đồng hồ là $v_{21} = v_2 - v_1$ nên người ta có thể kết luận ngay rằng

$t = \frac{1}{v_{21}} = \frac{1}{v_2 - v_1}.$

bài toán này thuộc loại bài toán sau. Trong một số hệ quy chiếu, các đặc tính chuyển động của một số vật thể được xác định. Bạn cần tìm xem vị trí của các vật thể thay đổi như thế nào so với nhau theo thời gian. Trong bài học toán này chúng ta sẽ làm quen với một số bài toán như vậy. Tất cả chúng sẽ được giải quyết bằng cách sử dụng cùng một ví dụ: chọn hệ tọa độ phù hợp.

Ôtô ở ngã tư

Ôtô $A$ và $B$ chuyển động đều với tốc độ như nhau dọc theo đường thẳng 1 và 2 giao nhau tại điểm $O$ . Cần xác định khoảng cách ngắn nhất giữa các ô tô nếu biết vị trí ban đầu của chúng ( $|AO| = a, |BO| = b$ ) và góc α giữa các đường (Hình 1 a).

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của automile $B$ từ quan điểm của một người quan sát ở automile $A$ . Như đã biết, tốc độ của chuyển động như vậy bằng hiệu $\vec{V}_B - \vec{V}_A$ và không đổi về độ lớn và hướng *). Điều này có nghĩa là khung tự động $B$ di chuyển tương đối với khung tự động $A$ dọc theo một đường thẳng nào đó 3. (Trong Hình 1 b, đường 3 được hiển thị dưới dạng đường chấm; nó được vẽ trong hệ quy chiếu được liên kết với khung tự động $A$ .) Do đó, khung tự động chỉ hướng về nhau tại thời điểm khung tự động $B$ ở điểm $B'$ , tức là cơ sở phân phối lại giảm từ điểm $A$ xuống dòng 3. Độ dài của đoạn $AB'$ bằng khoảng cách ngắn nhất mong muốn giữa các tác giả.

Để mô tả vị trí của đoạn $AB'$ trong hệ quy chiếu cố định, chúng ta di chuyển đầu $B'$ của nó song song với đường 1 sao cho đoạn đó chạm điểm $B_1$ trên đường 2 và vẽ $[B_1A_1] \parallel [B'A]$ . Điểm $A_1$ và $B_1$ là vị trí mong muốn của cánh tay tự động (Hình 1 b).

Rõ ràng đường thẳng 3 song song với phân giác của góc giữa hai đường. Không khó để tính ra $|A_1B_1| = |AB'| = |a - b| \sin \frac{\alpha}{2}$ .

Thợ săn và cáo

Con cáo không có lá chắn với tốc độ không đổi $\vec{V}_1$ trên một đường thẳng l. Một người thợ săn đang đứng yên chú ý đến một con cáo khi nó ở gần đường thẳng l (ở khoảng cách a). Người thợ săn nên di chuyển như thế nào để bắn một phát từ khoảng cách ngắn nhất nếu anh ta có thể chạy với tốc độ bằng $|\vec{V}_2|$ ? Khoảng cách ngắn nhất này là gì?

Không khó để báo cáo rằng với điều kiện $|\vec{V}_2| \leq |\vec{V}_1|$ người thợ săn phải. chạy thẳng về phía trước. Chúng ta hãy xem xét chuyển động của người thợ săn trong hệ quy chiếu gắn với con cáo, tức là chuyển động với tốc độ $\vec{V}_1$ (Hình 2 a). Tốc độ săn bắn $\vec{V}_{21}$

*) “Vật lý 8”, đoạn 8.

nằm trên đường tròn bán kính $|\vec{V}_2|$ có tâm tại điểm $O$ .

Trong hệ quy chiếu bên ngoài, đường thẳng mà người thợ săn nằm dọc phải có các điểm chung với đường tròn này và đi càng gần điểm $A$ càng tốt.

Nếu $|\vec{V}_2| < |\vec{V}_1|$ , thì các điều kiện này được thỏa mãn bởi tiếp tuyến vẽ từ điểm $B$ tới đường tròn. Trong trường hợp này, hướng chuyển động mong muốn của người thợ săn (góc φ; xem Hình 2 a) và khoảng cách ngắn nhất đến con cáo $R_{\min}$ như sau ([AC] $\perp$ [BC]):

$\cos \varphi = \frac{|\vec{V}_2|}{|\vec{V}_1|}, \quad R_{\min} = |AC| = a \sin \varphi.$

Nếu $|\vec{V}_2| > |\vec{V}_1|$ , thì người thợ săn có thể nằm trong khu vực bóng mờ theo bất kỳ hướng nào nếu anh ta di chuyển thẳng (Hình 2 b): điều kiện bài toán không cấm người thợ săn chạm tới một điểm nào đó trên mặt cao hơn con cáo sẽ chạy qua điểm này, và ở nơi này hãy bình tĩnh chờ con cáo *).

Cuối cùng, với điều kiện $|\vec{V}_1| = |\vec{V}_2|$ , một người có thể chạy đến gần mặt nhất có thể bằng cách chọn góc nhỏ f tương ứng.

Mời người đọc tự mình chứng minh những nhận định này và vẽ ra những hình ảnh cần thiết.

Tàu hơi nước và thuyền

Một con kênh chạy vuông góc với bờ biển thẳng tắp. Tàu hơi nước đang chạy dọc bờ biển với tốc độ không đổi $\vec{V}$ . Thuyền bắt đầu di chuyển dọc theo kênh từ điểm $B$ khi tàu chạy bằng hơi nước ở điểm $A$ - tại cửa kênh. Với tốc độ không đổi là bao nhiêu

*) Trong điều kiện $|\vec{V}_2| > |\vec{V}_1|$ , quỹ đạo chuyển động cong của người thợ săn cũng có thể xảy ra. Ví dụ, nhóm các quỹ đạo này có thể được mô tả theo cách sau. Nhập bất kỳ số dương $t$ nào. Sau đó, trong khoảng thời gian từ khi bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t$ , người thợ săn có thể nằm dọc theo bất kỳ quỹ đạo nào; bắt đầu từ thời điểm $t$ người thợ săn có thể di chuyển dọc theo bất kỳ tập hợp quỹ đạo thẳng vô hạn nào thỏa mãn điều kiện bài toán.

Những con tàu trong sương mù

Bốn con tàu $A, B, B$ và $\Gamma$ đang di chuyển trong sương mù với tốc độ không đổi trên đường thẳng. Tàu $A$ và $B$ gần như bằng không; Hãy gọi sự kiện này là một “sự va chạm”. Được biết, vụ va chạm sau sẽ xảy ra: $A$ và $B, A$ và $B, A$ và $\Gamma, B$ và $B, B$ và $\Gamma$ , và không quá hai tàu va chạm vào một nơi cùng một lúc. Chứng minh rằng nếu

*) Cách đây vài năm, bài toán này đã được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh môn toán (viết) cho các khoa tự nhiên của Đại học Leningrad. Các tác giả của các biến thể cho rằng bài toán sẽ được giải bằng đại số. Lời giải hóa ra lại cồng kềnh. Hãy tự mình thử nó.

Hình 4.
Tốc độ của tàu B và D khác nhau về độ lớn nhưng cũng chậm lại.

Chúng ta hãy xem xét các sự kiện được liệt kê dưới góc nhìn của người quan sát trên tàu A. Trong hệ thống báo cáo này, quỹ đạo của tàu B là một đường thẳng đi qua điểm A (bản thân tàu A bất động trong hệ thống báo cáo này). Quỹ đạo của tàu B cũng là một đường thẳng đi qua điểm A. Giả sử quỹ đạo của tàu B và tàu B không trùng nhau (chúng ta sẽ vẽ quỹ đạo của tàu B bằng một đường chấm; xem Hình 4).
Trong trường hợp này, tại điểm A có ba tàu va chạm cùng một lúc: A, B và B (nếu không tàu B và B sẽ không va chạm), mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Do đó, trong hệ thống báo cáo của chúng tôi, quỹ đạo của tàu B và B trùng nhau, và vụ va chạm của B và B không xảy ra ở điểm A mà ở một nơi khác. Theo cách tương tự, bạn có thể đảm bảo rằng quỹ đạo của tàu D trùng với quỹ đạo của tàu B và B. Vì tàu B và G có các giá trị tốc độ khác nhau tùy theo điều kiện nên giá trị tốc độ của chúng trong hệ thống báo cáo đã chọn cũng khác nhau.
Do đó, trong hệ thống báo cáo này, tàu B và D di chuyển trên cùng một đường thẳng với tốc độ khác nhau và do đó chắc chắn sẽ bị dừng lại *).

Thợ săn và cáo thận trọng
Con cáo chạy với tốc độ không đổi theo đường thẳng l. Người thợ săn chú ý đến con cáo khi nó ở cách anh ta một khoảng a theo hướng tạo một góc α với đường thẳng l (Hình 5 a), và bắt đầu

*) Để biết một phương pháp khác lời giải, xem cuốn sách “Hỗn hợp toán học” của J. Litt Wood (M., “Hayka”, 1965), tr. 10.

Hình 5.
thuê người truy đuổi, nổi bật với tốc độ ngang ngửa với con cáo. Vì người thợ săn không biết chiến thuật của cáo nên liên tục săn ngay phía sau cáo. Người thợ săn có thể chạy đến gần con cáo đến mức nào *)?

Hãy xem xét các sự kiện trong hệ Oxy, trong đó con cáo đứng yên và nằm ở gốc tọa độ O (trục Oxy hướng dọc theo đường đi của con cáo theo hướng chuyển động của con cáo). Tốc độ của người đi săn trong hệ thống này là $\vec{V}_{BA} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ , trong đó $\vec{V}_A$ và $\vec{V}_B$ là tốc độ của con cáo và người đi săn trong hệ thống báo cáo cố định. Giả sử tại một số thời điểm, người thợ săn ở điểm $B_1$ (Hình 5 b). Hãy biểu thị các hình chiếu của

*) Điều thú vị bài toán này đã từng được thảo luận chi tiết trong «Kvant» (1973, số 2, trang 39).

Phát triển $\vec{V}_{BA}$ của thợ săn theo hướng $\vec{OB}_1$ và $\vec{Oy}$ (xem Hình 5 b) đến $V_1$ và $V_2$ . Nếu $\vec{OB}_1$ tạo một góc $\varphi$ với hướng $\vec{Oy}$ , thì

$V_1 = -|\vec{V}_{BA}|(1 + \cos \varphi)$

Và

$V_2 = -|\vec{V}_{BA}|(1 + \cos \varphi),$

nghĩa là, $V_1 = V_2$ tại bất kỳ thời điểm nào. Do đó, tại bất kỳ thời điểm nào người thợ săn đều cách đều gốc tọa độ $O$ của hệ tọa độ $Oxy$ và một đường thẳng nào đó song song với trục $Ox$ . Hãy tìm phương trình của đường thẳng này. Tại thời điểm ban đầu, người thợ săn được đưa ra khỏi con cáo (tức là khỏi gốc tọa độ) ở khoảng cách $a$ , do đó đường thẳng mong muốn sẽ ở khoảng cách $a$ tính từ điểm $B$ (Hình 5 b). Như vậy, phương trình của đường thẳng này trong hệ tọa độ $Oxy$ có dạng $y = -(a - a \cos \alpha) = a(\cos \alpha - 1)$ , đường thẳng nằm cách gốc một khoảng $a$ (1—cos $\alpha$ ). Do đó, vị trí của thợ săn ở gần mặt là điểm $C$ , nằm trên trục $Oy$ cách nhau $a(1 - \cos \alpha)/2$ từ $O$ và tính từ đường thẳng tìm được: $R_{\min} = a(1 - \cos \alpha)/2$ ; nó đạt được khi người thợ săn đi trên một đường thẳng $l$ .

Câu chuyện buồn của chú thỏ

Trên một đường thẳng với tốc độ không đổi $\vec{V}$ vô gia cư. Tại thời điểm thỏ rừng ở điểm $A$ , sói bắt đầu đuổi theo nó từ điểm $B$ với tọa độ $(a; \alpha)$ (Hình 6 a), di chuyển với tốc độ không đổi $|\vec{U}| = n|\vec{V}|(n > 1)$ , luôn hướng về phía thỏ rừng. Liệu chúng ta có bị bắt không, và nếu vậy thì chúng ta có ăn thịt nó không *)?

Hãy chuyển sang hệ thống báo cáo, nơi thỏ rừng bất động và nằm ở gốc tọa độ $O$ . (Con thỏ rừng có lẽ rất đáng sợ trong hệ thống báo cáo này - xét cho cùng, nó không hoạt động!). Để trục $Oy$ hướng dọc theo đường đi của thỏ theo hướng chuyển động của thỏ. Tốc độ của sói trong hệ thống này là $\vec{U}' = \vec{U} - \vec{V}$ . Trước hết chúng ta hãy chứng minh rằng con thỏ sẽ bị bắt.

Đặt điểm $B_1$ là vị trí của con sói tại một thời điểm nào đó và để $\vec{OB}_1$ tạo một góc $\varphi$ với trục $Oy$ (Hình 6 b). Chiếu tốc độ $\vec{U}'$ lên hướng $\vec{OB}_1$

$U_{\vec{OB}_1} = |\vec{V}|(\sin \varphi - n).$

Theo điều kiện $n > 1$ ; Điều này có nghĩa là với mọi $\varphi$ thì số lượng $U_{\vec{OB}_1}$ là âm và $|U_{\vec{OB}_1}| \geq |\vec{V}|(n - 1)$ . Vì vậy, sói nhất thiết phải tiếp cận thỏ rừng trong thời gian không quá $\frac{a}{n - 1}$ (tại thời điểm ban đầu sói ở khoảng cách $a$ so với thỏ rừng).

Bây giờ chúng ta hãy tính thời gian để sói tiếp cận thỏ rừng. Để làm điều này, chúng tôi chiếu vận tốc $\vec{U}'$ lên hướng của trục $Oy$ của hệ tọa độ đã chọn. Chúng ta có (xem hình 6 b):

$U_{\vec{Oy}} = -|\vec{V}| + n|\vec{V}| \sin \varphi.$

Đặt $(x; y)$ là tọa độ của con sói trong hệ $Oxy$ . Vào thời điểm $T$ ,

*) Lời giải trong số bài toán này, các kỹ thuật toán học cao hơn được sử dụng, được đưa ra trong cuốn sách “Selected bài toán” (M., “Mir”, 1977)—xem. bài toán 154.

Khi thỏ rừng bị bắt, $x_T = y_T = 0$ . Tại thời điểm ban đầu $y_0 = a \cos \alpha$ . Như vậy, hình chiếu lên trục $Oy$ chuyển động của con sói trong thời gian $T$ cần thiết để bắt được thỏ rừng bằng $y_0 = a \cos \alpha$ . Do đó, giá trị trung bình của hình chiếu tốc độ của con sói lên trục $Oy$ trong thời gian $T$

$\bar{U}'_{\rightarrow Oy} = -y_0 / T = -a (\cos \alpha) / T.$

Bây giờ chúng ta hãy tìm từ (1) và (2) sự tương ứng giữa $U'_{\rightarrow OB_1}$ và $U'_{\rightarrow Oy}$ . Chúng tôi có:

$U'_{\rightarrow OB_1} = U'_{\rightarrow Oy} / n + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}|.$

Vì các số hạng $|\vec{V}| / n$ và $n |\vec{V}|$ không phụ thuộc vào thời gian nên sự tương ứng tương tự cũng có giá trị đối với các giá trị trung bình của các phép chiếu đang được xem xét, nghĩa là

$\bar{U}'_{\rightarrow OB_1} = \bar{U}'_{\rightarrow Oy} / n + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}| = -a (\cos \alpha) / n T + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}|.$

Ở phía bên kia,

$\bar{U}'_{\rightarrow OB_1} = -a / T.$

Từ (3) và (4) chúng ta tìm thấy ngoại lệ bắt:

$T = \frac{a}{|\vec{V}|} \cdot \frac{n}{n^2 - 1} \left(1 - \frac{\cos \alpha}{n}\right).$

Hãy kiểm tra đáp số này để biết các trường hợp đặc biệt được đánh giá.

$1^\circ$ $\alpha = 0$ : con sói đang chọc tức con thỏ. Trong trường hợp này, tốc độ chuyển động tương đối của con sói bằng $|\vec{V}| / (n + 1)$ , vì vậy nó sẽ vượt qua con thỏ trong thời gian $T_1 = \frac{a}{|\vec{V}| / (n + 1)}$ .

Kết quả tương tự thu được từ (5) với sự thay thế $\alpha = 0$ .

$2^\circ$ $\alpha = \pi$ : sói đang đánh thỏ. Trong trường hợp này, giá trị tốc độ tương đối của anh ta là $|\vec{V}| / (n - 1)$ ( $n > 1$ ) và anh ta sẽ kết thúc con thỏ rừng trong thời gian $T_2 = \frac{a}{|\vec{V}| / (n - 1)}$ .

Thay thế $\alpha = \pi$ vào biểu thức (5), chúng ta thu được đáp số tương tự.

Trong thời gian $T$ zac bao phủ khoảng cách

$S_3 = |\vec{V}| T = \frac{an}{n^2 - 1} \left(1 - \frac{\cos \alpha}{n}\right),$

vì vậy sói LOB đánh bại thỏ tại một điểm trên đường $l$ , cách xa điểm $A$ ở khoảng cách này $S_3$ .

Nhiệm vụ và

Một đường cao tốc thẳng mở vào đồng cỏ vuông góc với khu rừng phát quang.

Một chiếc xe buýt rời khỏi rừng với tốc độ $\vec{V}$ . Liệu việc đi bộ từ mọi nơi trên đồng cỏ để bắt kịp xe buýt có hợp lý không nếu bạn có thể di chuyển với tốc độ $\vec{U} (|\vec{U}| < |\vec{V}|)$ ?

Chứng minh rằng cả bốn tàu $A, B, B$ và $\Gamma$ của bài toán 5 đều nằm trên cùng một đường thẳng tại bất kỳ thời điểm nào.
Mỗi đỉnh của $n$ -gon thông thường chứa một con chó. Theo lệnh, tất cả các con chó đồng loạt bắt đầu di chuyển, mỗi con đuổi theo người hàng xóm gần nhất theo chiều kim đồng hồ. Mất bao lâu để hai con chó gặp nhau và mỗi con chó chạy được quãng đường bao nhiêu nếu chạy với tốc độ $|\vec{V}|$ ?
Khu vườn hình vuông có hàng rào bao quanh. Ở trên cùng $A$ của hàng rào có một con chó nhỏ. Ở đỉnh đối diện $B$ có một cái lỗ đủ lớn cho thỏ rừng nhưng quá hẹp cho chó. Một tên trộm zatz lẻn vào vườn, để ý đến con chó, chạy thẳng đến lỗ với tốc độ $|\vec{V}|$ ; con chó đuổi theo anh ta với tốc độ $n |\vec{V}|$ , $n > 1$ và luôn chạy thẳng như một con thỏ rừng. Xác định (khoảng) phần nào của khu vườn mà chú thỏ có thể cảm thấy an toàn.
Một số con chó vây quanh con thỏ. Tốc độ của chó không vượt quá tốc độ của thỏ. Tất cả các con chó đều có thể nhìn thấy được đối với thỏ rừng. Thỏ rừng có thể thoát khỏi môi trường được không, và nếu có thì làm thế nào nếu những con chó khi đuổi theo chạy sao cho tốc độ của mỗi con luôn hướng về điểm mà con thỏ hiện đang ở?