Về lợi ích của sự phi lý

Kvant 1981, số 3 tr. 38-41 Thẻ IHKC

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

F. Bartenev, I. Nikolskaya

Về người Ba Lan
những điều vô lý

Một ngày nọ, mẹ và Katya đến thăm, và Petya, chờ đợi một buổi tối vui vẻ, đã trèo lên kệ trên cùng để xem một tập truyện hấp dẫn về Sherlock Holmes. Trong lúc lấy sách ra, anh vô tình làm rơi một chiếc bình ra khỏi kệ, vỡ thành từng mảnh. Tâm trạng vui vẻ của Petya có phần sa sút, nhưng quyết định không tỏ ra khó chịu trước, anh gạt những mảnh vỡ vào một góc và thoải mái đặt một cuốn sách trên ghế sofa. Buddy ngồi xuống cạnh anh. Ngay khi mở cuốn sách ra, Petya lập tức quên đi mọi thứ trên đời và lao thẳng vào thế giới của những ý tưởng bí ẩn mà Sherlock Holmes đã khéo léo làm sáng tỏ nhờ sự trợ giúp của phương pháp thám tử của mình. Tiếng kêu phẫn nộ của Katya đưa anh trở lại thực tế:

Mẹ nhìn xem, Petka đã làm vỡ chiếc bình con tặng mẹ!
Bạn có thấy nó không? - Petya hỏi theo thói quen. - Bằng chứng là tôi!
Ở đây có gì để chứng minh? - Katya nhún vai. - Chỉ có bạn và Buddy ở nhà. Giả sử rằng không phải bạn đã làm vỡ chiếc bình; Điều đó có nghĩa là Druzhok đã phá vỡ nó. Nhưng bạn không thể nói rằng Druzhok đã có thể lên được vị trí cao nhất. Sẽ thật vô lý: Buddy vẫn là một con chó chứ không phải một con mèo. Vậy là bạn đã làm vỡ chiếc bình rồi, không còn ai nữa.

“Phải,” Petya nghĩ, “bạn không thể tranh luận với cô ấy, logic của cô ấy giống như của Sherlock Holmes; và chẳng có ích gì khi tranh cãi - tôi thực sự đã làm vỡ chiếc bình. Tôi sẽ đến gặp Mitya và hỏi anh ấy bài tập toán là gì.”

Anh học được từ Mitya rằng trong hình học có một định lý: Hai đường thẳng không có nhiều hơn một điểm chung, bằng chứng mà Mitya đã phân tích và tính toán.

“Những câu chuyện,” Petya hỏi (đọc một cuốn sách giáo khoa hình học mà các em mới bắt đầu học, đối với anh ấy có vẻ khó và nhàm chán).

“Không có gì,” Mitya đồng ý. — Giả sử rằng phát biểu của định lý là sai; Sau đó…

“Đợi đã, đợi đã,” Petya nói trước, “Tôi sẽ kể cho bạn nghe thêm.” Nếu hai đường thẳng có nhiều nhất một điểm chung là không đúng thì chúng có nhiều hơn một điểm chung, tức là hai, ba hoặc có thể nhiều hơn. Nhưng hóa ra hai điểm nối hai đường thẳng. Nhưng điều này không thể xảy ra - chúng ta đã biết rằng chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm. Điều này có nghĩa là hai đường thẳng không thể có nhiều hơn một điểm chung, nghĩa là chúng không có nhiều hơn một điểm chung.

“Chà, bạn thật tuyệt,” Mitya ngạc nhiên. - Cậu điên ở đâu thế?

“Tôi thực sự phát điên,” Petya cười. “Katka vừa chứng minh theo cách tương tự rằng chính tôi chứ không phải con chó đã phá vỡ con mèo nhỏ.”

Bằng cách nào? - Mitya bắt đầu quan tâm. - Nó bao gồm những gì? Và nói chung, việc chứng minh một định lý hình học có điểm gì chung với việc điều tra vụ chiếc bình nhỏ bị vỡ?

Petya hơi bối rối nhưng chỉ trong giây lát. Được khích lệ bởi sự thành công và lời chào của bạn mình, anh bắt đầu suy nghĩ khô khan:

Trong cả hai trường hợp, tôi đều chứng minh một số khẳng định $P$ (trong trường hợp đầu tiên - Petya đã phá vỡ Vasochka, trong trường hợp thứ hai - Hai đường thẳng có nhiều nhất một điểm chung);
bằng chứng bắt đầu bằng việc giả định rằng không phải $P$ (phủ định của câu $P$ ) là đúng;
giả định sự thật không phải $P$ trong cả hai trường hợp đều dẫn đến sự bất tuân (trong trường hợp đầu tiên - thực tế là một con chó có thể trèo lên kệ trên cùng, và điều này mâu thuẫn với ý tưởng của chúng ta về khả năng và thói quen của chó; trong trường hợp thứ hai - thực tế là hai đường thẳng có thể được vẽ qua hai điểm và điều này mâu thuẫn với tiên đề nổi tiếng).
Thế thì sao? - Mitya hỏi. - Tại sao điều này lại chứng tỏ $P$ ?
Đây là lý do: vì giả định rằng không $P$ đúng dẫn đến sự không vâng lời, điều đó có nghĩa là không $P$ không thể đúng. Nhưng nếu không $P$ là sai thì $P$ là đúng!

“Mọi thứ đều đúng,” Mitya nói. — Nếu phủ định của câu $P$ là sai thì bản thân câu $P$ đó là islada.

Tinino; Bạn có nhớ chúng ta vừa nói về điều này không?*). Do đó, thay vì chứng minh tính đúng của $P$ , có thể chứng minh tính sai của $P$ , nhưng từ đó chúng ta có thể rút ra kết luận về tính chân thực của $P$ .

“Có thể,” Petya nhận xét, “nhưng có cần thiết không?” Không phải là đi theo con đường trực tiếp sẽ dễ dàng hơn sao? Ví dụ, đây là cách Katya và tôi làm bài kiểm tra đại số để chứng minh rằng số 13 không phải là nghiệm của phương trình $x^3-17x^2+119x-1000=0$ : chúng tôi đã tính giá trị của biểu thức ở vế trái của phương trình tại $x=13$ và đảm bảo rằng nó không bằng 0.

Và chẳng phải bạn quá lười để nhân và cộng sao? - Mitya cười toe toét. — Rốt cuộc, người ta chỉ cần giả sử rằng 13 là nghiệm của phương trình này, và người ta sẽ ngay lập tức nhận được một kết luận phi lý: 1000 chia hết cho 13 ( $13^3-17 \cdot 13^2+119 \cdot 13=1000$ ). Vì vậy, 13 không phải là nghiệm của phương trình này.

“Vậy,” Petya hỏi, “có phải cách chứng minh này luôn ngắn hơn cách chứng minh trực tiếp không?”

“Không, không phải luôn luôn,” Mitya trả lời, “nhưng khá thường xuyên.” Hãy thử, chứng minh, chẳng hạn, rằng ở Moscow có những người có số lượng tóc trên đầu như nhau (không tính đầu hói). Bạn sẽ không lấy từng sợi tóc của mọi người. Nhưng nếu chúng tôi cho rằng không có những người như vậy, thì có tính đến khoảng 8 triệu người sống ở Moscow và số lượng tóc trên đầu một người không vượt quá 500.000, chúng tôi sẽ đi đến một kết luận khó xử: 500.000 $\geq$ 8 $\cdot$ 10^6. Do đó, ở Moscow có những cư dân có số lượng tóc trên đầu như nhau.

Chứng minh mệnh đề $P$ bằng cách chứng minh tính sai của phủ định nó chứ không phải $P$ được gọi là bằng chứng gián tiếp; Nó còn được gọi là bằng chứng bằng phản chứng. Bây giờ hãy thử chứng minh bằng phản chứng rằng không có số chẵn lớn nhất.

*) Xem bài “Không đúng là… - làm sao mà rõ được?” («Kvant», 1980, số 9).

“Chà,” Petya nói, “không khó đâu.” Giả sử rằng tồn tại một số $n$ như vậy. Khi đó mọi số chẵn khác phải nhỏ hơn $n$ . Tuy nhiên, thêm hai vào số $n$ , chúng ta sẽ có số chẵn $n+2$ , lớn hơn $n$ . Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng giả định về sự tồn tại của số chẵn nhất là sai; Điều này có nghĩa là không có số chẵn nhất.

“Anh biết đấy,” Mitya nói, “vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, Euclid đã chứng minh rằng số đơn giản nhất không tồn tại.” Giả sử rằng một số $p_n$ như vậy tồn tại, anh ta đã xây dựng số $p=p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n+1$ , trong đó $p_1, p_2, \dots$ là số nguyên tố, mâu thuẫn với $p_n$ ; $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào trong số $p_1, p_2, \dots p_n$ (phần còn lại sẽ luôn là 1), có nghĩa là chính nó là số nguyên tố hoặc chia hết cho số nguyên tố $q$ , lớn hơn $p_n$ . Mâu thuẫn thu được ( $p_n$ là số đơn giản nhất, đồng thời, $p$ hoặc $q$ là số nguyên tố lớn hơn $p_n$ ) chứng tỏ giả định được đưa ra là sai lầm và do đó, khẳng định số nguyên tố lớn nhất không tồn tại.

“Điều đó xảy ra,” Mitya tiếp tục, “rằng sự giả dối của $P$ đã không tồn tại được lâu, rằng người ta có thể ngay lập tức đưa ra kết luận về sự thật của $P$ .” Bạn có nhớ hồi lớp 4 người ta đã dạy chúng ta rằng tập trống là tập con của bất kỳ tập hợp nào không? Nghe có vẻ lạ lùng, thiếu thuyết phục. Hãy thử chứng minh phát biểu này bằng phản chứng. Hãy nhớ rằng tập hợp $M$ được gọi là tập hợp con của tập hợp $N$ nếu mọi phần tử của tập hợp $M$ đều thuộc tập hợp $N$ . Giả sử tập rỗng $M$ không phải là tập con của tập $N$ , tức là có một phần tử của tập $M$ không thuộc $N$ . Nhưng đây là một điều rất tệ, vì trong tập rỗng, theo định nghĩa của nó, không có phần tử nào cả. Do đó, tập rỗng là tập con của tập $N$ .

“Và thực sự thuyết phục,” Petya nói.

Bạn bè chia tay, đánh nhau.

Chẳng bao lâu, trong một bài học vật lý, giáo viên kể cho bọn trẻ nghe cách Galileo đã chứng minh một cách hợp lý giả thuyết của mình rằng trong chân không mọi vật thể đều rơi nhanh như nhau, và từ đó bác bỏ giả thuyết của Aristotle, người tin rằng vật thể rơi càng nhanh thì càng nặng.

Galileo nói: “Giả sử một viên đạn pháo nặng rơi nhanh hơn một viên đạn nhẹ”. Điều gì xảy ra nếu bạn liên kết hai hạt nhân này lại với nhau? Một mặt, hạt nhân nhẹ sẽ làm chậm sự rơi của hạt nhân nặng, mặt khác, tốc độ rơi của hạt nhân liên kết phải lớn hơn tốc độ rơi của hạt nhân nặng. Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng giả định về sự khác biệt về vận tốc rơi của hạt nhân nặng và hạt nhân nhẹ là sai. Do đó, các lõi sẽ bắn với tốc độ như nhau.

“Điều này có nghĩa là việc quy giản thành một mâu thuẫn không có trong vật lý,” Petya tự lưu ý.

Một lúc sau, giáo viên dạy tiếng Nga yêu cầu Petya chứng minh rằng trong câu Hầu như tất cả các từ trong lớp chúng tôi đều bị loại bỏ

Từ “gần như” là một từ thể thao.

“Của bạn đây,” Petya nghĩ. - Tôi hiểu, nó là hạt, hay là hạt, có phải là hạt không, nhưng gần như - nó là loại hạt gì? Một từ giống như một từ. Tuy nhiên, đây chắc chắn là một phần dịch vụ của lời nói, tức là giới từ, hoặc liên từ, hoặc quốc tế, hoặc một hạt. Chúng ta hãy giả sử rằng từ hầu như không phải là một hạt; thì đó là một cái cớ, hoặc một liên minh, hoặc quốc tế. Nhưng từ này không dùng để kết nối các từ hoặc các phần của câu; Điều này có nghĩa là nó không phải là một giới từ hay một sự kết hợp. Việc cho rằng từ gần như mang tính quốc tế cũng không đúng: nó không thể hiện bất kỳ cảm xúc nào và không khuyến khích hành động. Do đó, từ gần như là một hạt, và tôi đã chứng minh điều này bằng cách lập luận bằng mâu thuẫn. Cô giáo chỉ khen Petya đáp số.

Rất nhiều thời gian đã trôi qua. Petya và Mitya tốt nghiệp lớp sáu và chuyển đến Selmoy. Trong một bài học hình học đầu tiên ở lớp trung học của tôi, định lý đã được giải thích: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. Để chứng minh định lý này theo cách này: Giả sử hai đường thẳng a và b, vuông góc với đường thẳng p, cắt nhau tại điểm M. Khi đó hai đường vuông góc với đường thẳng p đi qua điểm M, điều này mâu thuẫn với định lý “Qua một điểm bất kỳ cũng có một và chỉ một đường vuông góc với một đường thẳng cho trước”. Giáo viên nói rằng đây là bằng chứng mâu thuẫn.

“Aha,” Petya nghĩ, nhớ lại cuộc trò chuyện năm ngoái với Mitya, “định lý này được xây dựng dưới dạng một câu điều kiện: Nếu A, thì B, và phủ định của câu đó là câu A và (không phải B), nghĩa là, a và b vuông góc với đường thẳng p và cắt nhau. Chúng tôi đã chứng minh rằng câu A và (không phải B) là sai, vì nó mâu thuẫn với định lý đã được chứng minh trước đó. Vì vậy, Nếu A, thì B là đúng. Mọi thứ đều đúng. đúng.

Trong bài đại số, cần chứng minh khẳng định: Nếu số tự nhiên n nhỏ hơn 1 thì $\frac{1}{n} > n$ .

Giáo viên gọi cách suy luận này là chứng minh mâu thuẫn: giả sử rằng $\frac{1}{n} \leq n$ ; sau đó $\frac{1}{n} - n \leq 0$ ; từ đó suy ra $\frac{1 - n^2}{n} \leq 0$ , từ đó $1 - n^2 \leq 0$ , $1 \leq n^2$ và $n \geq 1$ . Đối với Petya, dường như đây không hẳn là điều mà anh đã được dạy phải coi đó là bằng chứng mâu thuẫn, và anh quyết định thảo luận vấn đề này với Mitya. Anh đã xóa bỏ những nghi ngờ của mình.

“Hãy nhìn xem,” anh ấy nói, “chúng tôi giả định rằng sự phủ định của mệnh đề ban đầu là đúng: Số tự nhiên n nhỏ hơn 1 và $\frac{1}{n} \leq n$ .”

Từ câu này dẫn đến mâu thuẫn bác bỏ nó: $n < 1$ và $n \geq 1$ cùng một lúc. Vì vậy, câu ban đầu là đúng. Như bạn có thể thấy, đây là bằng chứng thực sự mâu thuẫn. Nhưng vấn đề này có thể được tiếp cận theo cách khác. Gần đây chúng tôi đã đề cập đến chủ đề “Các câu tương đương”. Vì vậy, các câu If A, then B và If (không phải B), thì (không phải A) là tương đương, nghĩa là đối với mọi A và B, chúng đồng thời đúng hoặc đồng thời sai. Có nghĩa,